李一飛 尹益輝 張 丹

(1.青海民族大學(xué)土木與交通工程學(xué)院 青海西寧 810007；2.中國工程物理研究院總體工程研究所四川綿陽 621900；3.青海大學(xué)土木工程學(xué)院 青海西寧 810016)

小孔節(jié)流空氣靜壓支承軸承廣泛使用于超精密加工或測量設(shè)備，如各類超精密光學(xué)鏡面的加工設(shè)備、光刻機(jī)等[1-3]。該類軸承的力學(xué)性能對相關(guān)設(shè)備的使用性能有直接的影響，例如，良好的動力學(xué)性能有助于提升軸承運(yùn)行時的穩(wěn)定性，并可有效提升加工精度[4-5]。軸承力學(xué)性能即軸承氣膜抵抗載荷的能力，包括靜力學(xué)性能與動力學(xué)性能，靜力學(xué)性能主要為軸承的承載力與靜剛度，反映氣膜抵抗靜載荷的能力；動力學(xué)性能則包括與外激勵相關(guān)的氣膜剛度、阻尼，反映氣膜對動載荷的抵抗能力。軸承具備良好的動力學(xué)性能，能夠更加有效地抵抗動載荷、維持穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)，在工程實(shí)踐中具有重要價值。

對于空氣靜壓軸承的靜、動力學(xué)性能，目前已有廣泛的研究[6-12]。但由于計算、分析的復(fù)雜性，目前對軸承氣膜剛度、阻尼等動力學(xué)性能的認(rèn)識仍然不足，尚無法有效支撐軸承設(shè)計，故目前在設(shè)計中，仍以靜力學(xué)性能為主要設(shè)計目標(biāo)。在動力學(xué)性能研究中，將氣膜等效為剛度-阻尼系統(tǒng)[13]，其中剛度、阻尼與外激勵頻率、節(jié)流尺寸、運(yùn)行參數(shù)等軸承參數(shù)密切相關(guān)，可采用有限元、有限差分法或CFD(Computational Fluid Dynamics)數(shù)值仿真方法進(jìn)行計算[2]。對于有限元或有限差分法，首先利用小擾動理論，引入小位移擾動，將雷諾潤滑方程分解為穩(wěn)態(tài)與擾動方程，并根據(jù)給定的計算區(qū)域與邊界條件進(jìn)行求解，即可得到氣膜剛度、阻尼。BHAT等[14]使用有限差分法進(jìn)行計算，討論軸承尺寸參數(shù)、激勵頻率等對氣膜剛度、阻尼的影響。BOFFEY[15]、ARGHIR和MATTA[16]分別針對小孔節(jié)流空氣靜壓支承止推軸承與導(dǎo)軌展開研究，求解擾動雷諾方程，分析了氣膜的剛度、阻尼性能。

對于軸頸軸承，動力學(xué)性能的計算是軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)[4-5]，但由于相對止推軸承具有更加復(fù)雜的氣膜構(gòu)型，因此針對軸頸軸承動力學(xué)性能的分析也更加復(fù)雜，不易計算。雷諾潤滑方程由流體連續(xù)性方程與動量方程簡化推出，采用了層流假設(shè)且忽略壓力、密度沿氣膜厚度方向的變化；此外，在基于有限元或有限差分的求解中，通常忽略孔尺寸，并且在流量計算中使用經(jīng)驗(yàn)流量系數(shù)進(jìn)行修正。這些假設(shè)與簡化削弱了分析精度，尤其在使用帶腔軸承的情況下，更容易引入誤差[2]。因此，在軸承氣膜的動力學(xué)性能計算中，研究人員引入了直接數(shù)值仿真方法，基于CFD仿真進(jìn)行動力學(xué)性能計算，由于不需引入上述假設(shè)與簡化，因此具有更高的精度。CHEN等[17]基于CFD仿真對多孔空氣靜壓支承止推軸承進(jìn)行分析，討論了軸承尺寸參數(shù)、位移激勵幅值、頻率等對動力學(xué)性能的影響。YU等[18]通過實(shí)驗(yàn)校核了采用數(shù)值仿真求解軸承動力學(xué)性能的準(zhǔn)確性。由于軸頸軸承氣膜的幾何構(gòu)型遠(yuǎn)復(fù)雜于止推軸承，數(shù)值仿真規(guī)模激增，LI等[13]結(jié)合傳統(tǒng)靜力學(xué)性能計算的工程簡化方法與CFD數(shù)值仿真，提出了針對軸頸軸承動力學(xué)性能計算的ESA-CFD方法，并討論了軸承參數(shù)對力學(xué)性能的影響。

氣膜的剛度、阻尼與外激勵頻率密切相關(guān)；此外，節(jié)流參數(shù)、氣膜厚度等軸承參數(shù)對動力學(xué)性能也有顯著影響。由于分析的復(fù)雜性，目前尚無法獲取以軸承參數(shù)表示的動力學(xué)性能解析表達(dá)式，因此，在軸承設(shè)計中無法有效考慮動力學(xué)性能，不利于軸承性能的進(jìn)一步提升。

本文作者以圓柱腔小孔節(jié)流空氣靜壓支承軸承為研究對象，首先利用CFD數(shù)值仿真，結(jié)合動網(wǎng)格技術(shù)，對軸承氣膜剛度、阻尼特性進(jìn)行分析；其次，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(Radial Basis Functions Model，RBF)，建立氣膜剛度、阻尼與軸承參數(shù)的相關(guān)性數(shù)學(xué)模型；最后，基于得到的RBF近似模型，針對軸承氣膜的動力學(xué)性能展開進(jìn)一步討論，尤其討論了氣腔尺寸對動力學(xué)性能的影響。

1 軸承幾何與數(shù)值仿真模型

單孔圓柱腔空氣靜壓支承止推軸承如圖1所示，軸承直徑D=40 mm，小孔長度l=0.5 mm。其余參數(shù)作為變量，其中小孔直徑0.1 mm≤do≤0.25 mm、腔直徑5 mm≤dc≤8.5 mm、腔深0.02 mm≤hp≤0.12 mm、氣膜厚度5 μm≤h≤22.5 μm。在運(yùn)行中，考慮供氣壓范圍為：0.3 MPa≤ps≤0.65 MPa，外激勵頻率范圍為：10 Hz≤ω≤10 000 Hz。

圖1 單孔圓柱腔空氣靜壓支承軸承

針對軸承間隙流場進(jìn)行數(shù)值仿真，由于流場幾何具有旋轉(zhuǎn)軸對稱特性，因此，考慮旋轉(zhuǎn)軸對稱二維模型建立流場。邊界條件如圖2所示：在入口處為壓力入口，壓力等于供氣壓力；在出口為壓力出口，壓力等于大氣壓；對稱軸處設(shè)置軸對稱邊界條件，其余均設(shè)置為壁面，為絕熱不可穿透無滑移邊界。

圖2 軸承間隙流場邊界條件設(shè)置示意

在軸承間隙流場中，流動介質(zhì)為空氣，為理想可壓氣體，黏度滿足蘇士蘭公式[19-20]。由于軸承間隙流場中流動復(fù)雜，尤其氣腔中的流動為內(nèi)部射流，空氣自小孔進(jìn)入氣腔后撞擊止推壁面，形成大量漩渦，因此，在計算中采用湍流。在湍流數(shù)值仿真中采用k-ε湍流模型進(jìn)行計算，該模型廣泛使用于軸承間隙湍流流場的模擬中[20]，能較好模擬射流、管流、通道與噴管內(nèi)流動等內(nèi)部流場。在數(shù)值分析中，還需使用動網(wǎng)格技術(shù)模擬外界位移激勵，故采用瞬態(tài)流計算。

2 軸承氣膜動力學(xué)性能的數(shù)值仿真求解

在軸承設(shè)計中，其力學(xué)性能包含靜力學(xué)與動力學(xué)性能，靜力學(xué)性能指承載力、靜剛度等，表征軸承氣膜抵抗靜載荷的能力。動力學(xué)性能體現(xiàn)在2個方面，首先為由流場內(nèi)激勵引起的微振動、氣錘振動特性；其次為反映軸承氣膜抵抗動載荷能力的剛度、阻尼性能。在計算剛度、阻尼時，通常將氣膜等效為彈簧-阻尼系統(tǒng)，可采用數(shù)值求解雷諾潤滑方程或CFD數(shù)值仿真的方法進(jìn)行計算。前者引入簡諧時變小位移擾動，首先將雷諾方程分解為穩(wěn)態(tài)與擾動方程，再根據(jù)邊界條件進(jìn)行求解；后者在數(shù)值仿真中直接施加位移激勵，基于氣膜的動載荷響應(yīng)計算剛度、阻尼，具有更高的計算精度。

文中采用數(shù)值仿真的方法，計算軸承氣膜的動力學(xué)性能，采用軟件FLUENT數(shù)值求解流體連續(xù)性方程、動量方程與能量方程[21]，并采用k-ε湍流模型進(jìn)行湍流模擬。在軸承的動力學(xué)性能計算中，給予軸承氣膜簡諧位移激勵，膜厚h的變化滿足：

(1)

其中：

h′=hceiωt

(2)

則壓力p滿足：

(3)

軸承承載力為壓力在止推面上的積分，因此，當(dāng)施加簡諧位移激勵后，承載力隨之變化。若將軸承氣膜等效為剛度-阻尼系統(tǒng)，則擾動承載力即為彈性力與阻尼力的合力，在動力學(xué)性能求解中，根據(jù)輸入激勵的幅值、頻率與輸出動承載力的幅值、相位與頻率，即可等效求出氣膜剛度、阻尼。在數(shù)值仿真中施加時變正弦位移激勵，使用動網(wǎng)格技術(shù)，采用鋪層算法，設(shè)置分割因子為0.4，合并因子為0.2。在計算中采用瞬態(tài)流計算，考慮不同激勵頻率下氣膜的力學(xué)性能，為平衡計算效率與精度，在一個激勵周期內(nèi)設(shè)置100個時間步，并依此確定時間步長。當(dāng)位移激勵為小擾動時，幅值對于動力學(xué)性能的計算結(jié)果影響較小[13-14]，故后續(xù)仿真計算中，位移激勵幅值取為0.1 μm。當(dāng)氣膜厚h=5 μm，小孔孔徑do=0.1 mm，氣腔直徑dc=5 mm，腔深hp=0.1 mm，供氣壓ps=0.5 MPa時，在不同的激勵頻率下，動承載力隨時間的變化如圖3所示。

圖3 不同激勵頻率下動承載力隨時間變化

由圖3可見，當(dāng)輸入正弦激勵且頻率變化時，動承載力也相應(yīng)發(fā)生變化，其時均值即靜承載力保持不變，而動承載力幅值隨激勵頻率增大而增大，相位角發(fā)生改變，使軸承氣膜在不同激勵頻率下的剛度、阻尼發(fā)生改變，如圖4所示。

由圖4可見，當(dāng)激勵頻率較低時氣膜剛度較小，而阻尼較大，隨著激勵頻率增加至某一特定值，剛度開始顯著增加，而阻尼相應(yīng)減小，直至達(dá)到另一更大特定值時，剛度的增加與阻尼的減小趨于平緩。形成這種現(xiàn)象的機(jī)制在于靜壓軸承氣膜中存在的擠壓膜效應(yīng)。當(dāng)激勵頻率較低時，在擠壓作用下，氣膜內(nèi)空氣有足夠時間流出外邊界，故剛度接近于靜剛度；而激勵頻率較高時，在擠壓作用下，氣膜內(nèi)空氣來不及以對應(yīng)速度流出，氣膜剛性變大，導(dǎo)致剛度顯著增加，而阻尼相應(yīng)減小?？梢?，氣膜的剛度、阻尼與激勵頻率有密切關(guān)系。

圖4 氣膜剛度、阻尼隨激勵頻率的變化趨勢

為了校核數(shù)值分析的準(zhǔn)確性，文中采用與文獻(xiàn)[22]相同的軸承尺寸進(jìn)行數(shù)值仿真，將時均承載力計算結(jié)果與其承載力實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。仍采用瞬態(tài)流仿真，激勵頻率取為1 000 Hz，由數(shù)值仿真計算得到時均承載力。如圖5所示，數(shù)值計算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最大誤差相差8.3%，位于小氣膜厚度(h<5 μm)處，其余誤差均小于5%，可見數(shù)值仿真方法具有足夠的準(zhǔn)確度[22]。對于空氣靜壓軸承的力學(xué)性能，在小氣膜厚度下實(shí)測值與數(shù)值仿真結(jié)果間常存在一定誤差，其原因?yàn)椋菏紫?，在小氣膜厚度的?shí)測狀態(tài)下，氣膜的厚度尺寸較難設(shè)定、測量，易引起誤差[23]；其次，在小氣膜厚度下，軸承表面粗糙度對力學(xué)性能的影響顯著增加，也會引起測量誤差[24-25]。

圖5 仿真、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

3 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的軸承力學(xué)性能研究

對于空氣靜壓支承軸承的動力學(xué)性能，目前尚無法獲取以軸承參數(shù)表示的動力學(xué)性能解析解，故尚不能在軸承設(shè)計，尤其是優(yōu)化設(shè)計中有效考慮動力學(xué)性能的設(shè)計。因此，文中基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)模型[26]，建立以軸承參數(shù)表示的力學(xué)性能分析數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)一步對動力學(xué)性能進(jìn)行研究。

RBF模型廣泛應(yīng)用于工程分析之中，是一種高精度擬合模型[27]。文中利用RBF模型擬合軸承靜承載力、氣膜剛度、阻尼與軸承參數(shù)間的數(shù)學(xué)模型。其中，靜承載力為圖3中動承載力的時均值，反映軸承氣膜對靜載的承受能力，與激勵頻率無關(guān)。因此，考慮軸承氣膜厚度h、氣腔直徑dc、腔深hp、小孔孔徑do、激勵頻率ω，需擬合的力學(xué)性能包括靜承載力W=W(h,dc,hp,do)，剛度K=K(h,dc，hp,do,ω)，阻尼C=C(h,dc,hp,do,ω)。由于動力學(xué)性能關(guān)于激勵頻率有如圖4的變化規(guī)律，為增加擬合準(zhǔn)確性，針對lgK與lgC進(jìn)行擬合，并且以lgω代替ω，在實(shí)際分析中求反函數(shù)即可得對應(yīng)剛度、阻尼。RBF模型插值函數(shù)為

(4)

式中：G在擬合中分別表示W(wǎng)、lgK、lgC；x為擬合變量。對于W，x=(h,dc,hp,do)T；對于lgK與lgC，x=(h,dc,hp,do,lgω)T。α=(α1,α2,......,αn+1)T，為未知系數(shù)。φj(x)滿足：

φj(x)=‖x-xj‖m

(5)

m系數(shù)以最小化殘差得到。在擬合中采集樣本點(diǎn)xi與對應(yīng)的樣本值yi，將其代入式(4)，利用內(nèi)插法求解式(6)：

(6)

在變量范圍內(nèi)，針對剛度與阻尼，建立5因素、9水平正交表，即L121(95)，針對承載力，建立4因素、9水平正交表，即L121(94)，共進(jìn)行121組數(shù)值仿真，采集樣本點(diǎn)并基于RBF模型進(jìn)行擬合。通過建立近似模型，得到了以軸承參數(shù)表示的氣膜剛度、阻尼、承載力數(shù)學(xué)模型。如圖6所示為do=0.1 mm、dc=6 mm、hp=0.1 mm、ps=0.5 MPa時氣膜剛度、阻尼關(guān)于氣膜厚度與激勵頻率的變化規(guī)律?？梢?，由于存在擠壓膜效應(yīng)，使激勵頻率增加時氣膜剛性變大，氣膜剛度顯著增加，而阻尼減小，在氣膜厚度更小時這種變化規(guī)律更加明顯?；趶较蚧窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到以軸承參數(shù)表示的動力學(xué)性能數(shù)學(xué)模型，可詳細(xì)揭示參數(shù)對力學(xué)性能的影響特性，為后續(xù)討論軸承氣腔尺寸、氣膜厚度對力學(xué)性能的影響提供了分析基礎(chǔ)。

圖6 剛度、阻尼隨激勵頻率、氣膜厚度的變化規(guī)律

4 腔尺寸對軸承氣膜動力學(xué)性能的影響研究

在工程應(yīng)用中，較關(guān)注氣腔尺寸對軸承力學(xué)性能的影響，因此，文中對此進(jìn)行著重討論。

如圖7和圖8所示，為分別取小孔孔徑do為0.1、0.15、0.2 mm，并取供氣壓為0.5 MPa時小腔(dc=5 mm、hp=0.02 mm)與大腔(dc=8.5 mm、hp=0.12 mm)軸承剛度、阻尼隨氣膜厚度、激勵頻率的變化規(guī)律。

由圖7可見，當(dāng)采用小腔時，在高頻激勵下(ω>300 Hz)軸承剛度大于采用大腔時的剛度。如前所述，由于存在擠壓膜效應(yīng)，氣膜剛度隨激勵頻率的增加而增加；對于較低激勵頻率，氣膜內(nèi)空氣在受到激勵時有足夠時間流出軸承外邊界，故剛度較小，接近于靜剛度；而對于較高的激勵頻率，氣膜內(nèi)的空氣來不及以相應(yīng)速度流出，故氣膜剛性變大，不易被擠壓，導(dǎo)致剛度增加。氣腔的存在增加了軸承間隙的氣容，由圖7可見，對應(yīng)于給定激勵頻率，若氣腔越小，則軸承間隙氣容越小，剛度變化對于激勵更加敏感，剛度隨激勵頻率增加更快。同理，當(dāng)氣膜厚度越小時，軸承間隙氣容越小，則剛度更大，且隨激勵頻率增長更快。由圖8可見，阻尼具有與剛度類似但相反的變化規(guī)律。在高頻激勵下，不論使用大氣腔還是小氣腔，阻尼均較??；在低頻時，隨孔徑的增加，大腔軸承的阻尼較大，即使用大腔時，在低頻，且采用更大的小孔孔徑時，具有更大的阻尼。

圖7 不同腔尺寸下剛度對比

圖8 不同腔尺寸下阻尼對比

圖9所示為孔徑do取0.2 mm時承載力隨供氣壓力、氣膜厚度的變化趨勢。可見，當(dāng)氣腔變大時，承載力相應(yīng)提升，與CHEN和HE[19]的研究結(jié)論相同，即增加氣腔容積可提高承載力。

圖9 不同腔尺寸下承載力對比

5 結(jié)論

(1)首先基于動網(wǎng)格方法進(jìn)行數(shù)值仿真，分析軸承參數(shù)、激勵頻率對力學(xué)性能的影響規(guī)律。結(jié)果表明：當(dāng)氣膜受簡諧位移激勵時，剛度隨激勵頻率增加而增加，阻尼隨激勵頻率增加而減小，這是由于擠壓膜效應(yīng)而導(dǎo)致。

(2)采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立軸承動力學(xué)性能分析的數(shù)學(xué)模型，可為軸承力學(xué)性能的分析與設(shè)計提供有效支撐，尤其相應(yīng)的近似模型可進(jìn)一步應(yīng)用于優(yōu)化設(shè)計，尋求使軸承力學(xué)性能最優(yōu)的設(shè)計點(diǎn)。

(3)利用近似模型討論分析軸承氣腔尺寸對力學(xué)性能的影響規(guī)律，結(jié)論表明：當(dāng)采用小氣腔時，軸承承載力較小，但剛度隨激勵頻率的增加更快，而在低頻、大節(jié)流小孔孔徑下，氣膜阻尼更小。同樣，基于擠壓膜效應(yīng)，當(dāng)氣膜厚度增加時，剛度隨激勵頻率增加的速度減緩。即采用小腔或小氣膜厚度時，軸承間隙氣容變小，剛度隨激勵頻率的增加變快。