申航 周航 劉漢龍

摘 要：隨著城市建設(shè)的發(fā)展，矩形隧道的應(yīng)用越來(lái)越多，但針對(duì)矩形隧道的理論研究卻鮮有見(jiàn)聞。針對(duì)矩形隧道，建立了半無(wú)限空間矩形隧道的彈性理論計(jì)算模型，采用最小二乘迭代方法確定共形映射函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)，并將計(jì)算區(qū)域映射為復(fù)平面上的一個(gè)同心圓環(huán);運(yùn)用Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)方法，將計(jì)算區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)展開(kāi)成為L(zhǎng)aurant級(jí)數(shù)的形式，給定了地表零應(yīng)力邊界和矩形孔口徑向位移邊界，求得了半無(wú)限空間矩形隧道在給定位移條件下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。分析了不同高寬比、不同泊松比、不同埋深對(duì)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的影響，總結(jié)了矩形隧道位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的一般規(guī)律。結(jié)果表明：高寬比偏小、泊松比偏大、埋深偏小都會(huì)使得沉降槽不再是類(lèi)高斯曲線的形狀，這些參數(shù)的變化也會(huì)在不同程度上影響應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的大小和分布。

關(guān)鍵詞：孔收縮;半無(wú)限空間;共形映射;位移條件;應(yīng)力場(chǎng);位移場(chǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU431? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ??文章編號(hào)：2096-6717（2020）04-0001-11

收稿日期：2020-11-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51978105）;重慶市技術(shù)創(chuàng)新與應(yīng)用發(fā)展專(zhuān)項(xiàng)（cstc2019jscx-msxmX0107）

作者簡(jiǎn)介：申航（1996- ），男，主要從事隧道開(kāi)挖對(duì)樁基的影響研究，E-mail：457570774@qq.com。

周航（通信作者），男，副教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：zh4412517@163.com。

Received：2020-11-27

Foundation items：National Natural Science Foundation of China （No. 51978105）; Chongqing Technical Innovation and Application Development Special Project （No. cstc2019jscx-msxmX0107）

Author brief：SHEN Hang （1996- ）， main research interest： influence of tunnel excavation on pile foundation， E-mail： 457570774@qq.com.

ZHOU Hang （corresponding author）， associate professor， doctorial supervisor， E-mail： zh4412517@163.com.

Solution of complex function of rectangular hole contraction in elastic semi-infinite space

SHEN Hang， ZHOU Hang， LIU Hanlong

（Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education; School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract： With the development of urban construction in China， more and more applications of rectangular tunnel are emerging， but there are few theoretical studies on rectangular tunnels. In this paper， the elastic theoretical calculation model of the semi-infinite space rectangular tunnel was established. The coefficients of conformal mapping function were determined by the least squares iterative method. And the calculated area was mapped to a concentric ring on the complex plane. Afterwards， The Muskhelishvili complex function method was used to expand the stress function in the calculation area into the form of Laurant series， which gives the zero stress boundary on the ground surface and the radial displacement boundary of the rectangular hole. The stress field and displacement field of the rectangular tunnel in the semi-infinite space under the given displacement condition were also obtained by the method. In this paper， the influence of aspect ratios， Poisson's ratios， and buried depths on the displacement field and stress field was analyzed， and the general rules of the displacement field and stress field of rectangular tunnels has been summarized. The results show that a smaller aspect ratio， a larger Poisson's ratio， and a smaller buried depth will make the settlement curve no longer similar to a Gaussian curve. The variation of these parameters will also affect the size and distribution of the stress field and displacement field to varying degrees.

Keywords：constraction of hole; semi-infinite space; conformal mapping; displacement condition; stress field; displacement field

近年來(lái)，中國(guó)城市隧道建設(shè)突飛猛進(jìn)，不僅數(shù)量上上了新臺(tái)階，而且越來(lái)越多的隧道類(lèi)型不斷涌現(xiàn)。其中，矩形頂管隧道相較傳統(tǒng)圓形隧道，有著埋深淺、斷面面積利用率高、施工時(shí)對(duì)地面交通影響小、無(wú)污染、無(wú)噪音等優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái)，在城市地下過(guò)街通道、地下綜合管廊、地鐵隧道、中短距離的城市地下道路、地下空間的互聯(lián)互通、地鐵暗挖車(chē)站等工程中，矩形頂管隧道都得到了廣泛運(yùn)用。矩形頂管隧道的發(fā)展，代表著中國(guó)未來(lái)城市中短程隧道建設(shè)的新方向。2002年，日本京都地鐵工程采用了矩形盾構(gòu)機(jī)，首次成功建成了矩形單洞雙線隧道[1];1995年，中國(guó)的矩形隧道開(kāi)始起步，2015年，寧波軌道交通3號(hào)線采用類(lèi)矩形盾構(gòu)，并圓滿完工，標(biāo)志著中國(guó)在類(lèi)矩形盾構(gòu)技術(shù)方面取得重大突破并處于世界領(lǐng)先行列。2004年，波士頓中央大道矩形頂管隧道工程順利完成，這項(xiàng)工程連接了美國(guó)兩條主要洲際公路干線，工程進(jìn)行中沒(méi)有影響道路的正常運(yùn)營(yíng)。中國(guó)也有許多矩形頂管的應(yīng)用，比如武漢地鐵2號(hào)線王家墩東站4號(hào)出入口工程，通道總長(zhǎng)62.4 m，僅用22 d便施工完成[2]。

雖然當(dāng)前矩形隧道的工程實(shí)踐較為豐富，但對(duì)應(yīng)的淺埋矩形隧道理論研究工作卻明顯薄弱。目前，淺埋隧道的理論研究以圓形隧道為主。Jeffery[3]和Mindlin[4]采用雙極坐標(biāo)法研究了圓形隧道洞周的應(yīng)力分布，但由于雙極坐標(biāo)法的局限性，無(wú)法求出復(fù)雜隧道的應(yīng)力場(chǎng)，也不能得出位移場(chǎng)的分布;而且雙極坐標(biāo)法在隧道埋深較淺時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差[5]。Sagasete[6]采用鏡像法，假設(shè)土體為不可壓縮的彈性半無(wú)限體，得到了土體的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)，隨后Verruijt等[7]在Sagasete研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了土體位移場(chǎng)隨隧道橢圓化變形的影響，但Sagasete的方法基于土體不可壓縮的假設(shè)，只能計(jì)算泊松比為0.5時(shí)的情況，有其局限性。曾彬等[8-9]、魏剛等[10]基于隨機(jī)介質(zhì)理論，分析了雙圓盾構(gòu)隧道和類(lèi)矩形隧道的土體位移規(guī)律，然而受制于隨機(jī)介質(zhì)理論的特點(diǎn)，只能得到位移場(chǎng)的結(jié)果，難以明確圍巖的應(yīng)力分布規(guī)律。

利用彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法，可以通過(guò)保角映射將一些較為復(fù)雜的幾何單連通域映射為復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單幾何單連通域（單位圓或同心圓環(huán)等），然后，在這些域內(nèi)，可以結(jié)合給定的邊界條件，較為方便地解出復(fù)應(yīng)力函數(shù)。許多學(xué)者基于復(fù)變函數(shù)理論的這一特征，對(duì)圓形隧道以及其他異型隧道進(jìn)行了很多有意義的研究。Verruijt[11-12]通過(guò)保角映射將半無(wú)限空間上的圓形孔洞映射為同心圓環(huán)，利用彈性力學(xué)方法，分別得到了不考慮體力情況下的給定孔邊均布徑向位移和給定孔邊均布徑向壓力的兩種解析解。隨后，Strack等[13]考慮了體力的影響，在應(yīng)力解析函數(shù)中添加了可以計(jì)算由于土體自重產(chǎn)生的開(kāi)挖引起的不平衡力系的項(xiàng)，得到了孔邊位移邊值問(wèn)題的解。路文超[14]、蔚立元等[15]、張永興等[16]在此基礎(chǔ)上考慮了不同荷載作用的情況，并作出了解答。王立忠等[17]基于Verruijt解法分析了Pack[18]提出的4種不同的圓形隧洞邊界位移邊界條件，并將其解答與隧道實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比對(duì)，指出第3和第4邊界條件更加符合實(shí)際工程結(jié)果。此前基于復(fù)變函數(shù)方法的研究多針對(duì)圓形隧道，而對(duì)于非圓孔隧道進(jìn)行的研究較少。曾癸森[19]提出了新的保角映射函數(shù)，可以將半無(wú)限空間上的任意異型孔映射成同心圓環(huán)，并給出了橢圓形隧道的解答，驗(yàn)證了其可靠性。

筆者基于曾癸森[19]給出的保角映射函數(shù)，將半無(wú)限空間上的矩形隧道映射成復(fù)平面上的同心圓環(huán)，假設(shè)問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題，忽略體力的影響，假設(shè)地表邊界為零應(yīng)力邊界，孔口邊界為均勻徑向收縮的矩形位移邊界，通過(guò)彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法得到問(wèn)題的解析解。通過(guò)與有限元結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證解析解的可靠性，并基于得出的解答進(jìn)一步分析矩形淺埋隧道開(kāi)挖的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，總結(jié)矩形淺埋隧道位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的一般規(guī)律，為之后的矩形隧道研究打下基礎(chǔ)。

1 半無(wú)限空間矩形淺埋隧洞問(wèn)題描述

圖1為z平面（直角坐標(biāo)系）下，半無(wú)限空間中矩形孔洞的示意圖。b為矩形隧道的寬，h為隧道的高，d為孔洞中心到地表水平線的距離，A（O）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)為地表水平線的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C點(diǎn)和D點(diǎn)分別為矩形隧道頂部和底部輪廓線與隧道中軸線的交點(diǎn)，E點(diǎn)和F點(diǎn)為矩形孔洞在右半平面的兩個(gè)角點(diǎn)。θ為矩形孔洞的角點(diǎn)F相對(duì)矩形中心點(diǎn)所在的角度。R域?yàn)榘霟o(wú)限空間中矩形孔洞以外的區(qū)域。假設(shè)土體為均質(zhì)各向同性彈性材料，將問(wèn)題簡(jiǎn)化成平面應(yīng)變問(wèn)題進(jìn)行討論。

根據(jù)Muskhelishvili[20]給出的平面應(yīng)變問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)方法，彈性解答可以由R域內(nèi)的兩個(gè)解析函數(shù)φ（Z）和ψ（Z）表示出來(lái)。其中，應(yīng)力分量為

σx+σy=2φ′（Z）+φ′（Z） （1）

σy-σx+2iτxy=2z-φ″（Z）+ψ′（Z） （2）

位移分量為

2G（u+iv）=κφ（Z）-zφ′（Z）-ψ（Z） （3）

式中：G=E/（2+2μ）是剪切模量;E為土體的彈性模量;κ是與泊松比μ相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，在該平面應(yīng)變問(wèn)題中，取κ=3-4μ。

在z平面中，地表平面無(wú)應(yīng)力作用，故采用應(yīng)力邊界條件控制;矩形孔周采用均勻收縮的位移邊界條件，故采用位移邊界條件控制。邊界條件為

z=z-：φ（Z）+z·φ′（Z）+ψ（Z）=0 （4）

z∈l：κ·φ（Z）-z·φ′（Z）-ψ（Z）=2G（u+iv）（5）

式中：l為矩形孔周線上的點(diǎn)形成的集合。

2 復(fù)變函數(shù)解法

2.1 共形映射

采用曾癸森[19]提出的共形映射公式（6），將z平面上的R區(qū)域映射為ζ平面上的同心圓環(huán)，其中，圓環(huán)內(nèi)外半徑分別為α和1，圓環(huán)內(nèi)邊界對(duì)應(yīng)矩形孔洞邊界，圓環(huán)外邊界對(duì)應(yīng)地表邊界。如圖2所示，z平面上的A、B、C、D、E、F點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)ζ平面上的A′、B′、C′、D′、E′、F′點(diǎn)。1和2分別為E′點(diǎn)和F′點(diǎn)在ζ平面上對(duì)應(yīng)的幅角。

z=ω（ζ）=ia1+ζ1-ζ+i∑nk=1βk（ζk-ζ-k） （6）

式中：

z=x+iy=reiθ （7）

ζ=ξ+iη=ρei （8）

式中：a和β為待定系數(shù)，以及圓環(huán)域的內(nèi)半徑α也為待定系數(shù)。曾癸森[19]只計(jì)算了橢圓形隧洞，由于孔洞形狀比較簡(jiǎn)單，所取的映射函數(shù)項(xiàng)較少，很容易求解，但矩形隧洞需要的映射函數(shù)項(xiàng)較多，大大提升了需要求解的非線性方程組的未知數(shù)數(shù)量，直接求解存在困難。Zhou等[21]曾采用基于最小二乘法迭代計(jì)算方法來(lái)確定任意空腔保角映射方程的常系數(shù)，參考其方法進(jìn)行迭代計(jì)算，并作出一些改進(jìn)。

1）首先，沿著矩形孔洞邊界從D點(diǎn)開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较虻乳g距取m+1個(gè)取樣點(diǎn)（其中，第一個(gè)和最后一個(gè)取樣點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)），這樣，就將孔洞輪廓均等地分成了m段，得到了m+1個(gè)取樣點(diǎn)在z平面上的坐標(biāo)。同時(shí)，在ζ平面上將圓環(huán)域的內(nèi)邊界從D′點(diǎn)開(kāi)始，沿逆時(shí)針?lè)较颍瑯拥乳g距地劃分成m段，這樣，也就得到了ζ平面上的m+1個(gè)取樣點(diǎn)的坐標(biāo)。將z平面和ζ平面上得到的取樣點(diǎn)，按照從起點(diǎn)處逆時(shí)針依次經(jīng)過(guò)的先后順序進(jìn)行編號(hào)，并一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。在圓環(huán)域內(nèi)邊界取點(diǎn)的過(guò)程中，由于圓環(huán)域的內(nèi)半徑α?xí)呵椅粗?，不妨先假設(shè)一個(gè)初值（α0=0.5），再在之后的計(jì)算中迭代逼近真實(shí)值。

2）將m個(gè)取樣點(diǎn)的坐標(biāo)代入共形映射公式（6）中，將會(huì)得到一個(gè)由m+1個(gè)方程，k+1個(gè)未知數(shù)組成的方程組，這個(gè)方程組可以寫(xiě)成矩陣形式

AX=B （9）

式中：

A=i·1+ζ01-ζ0ζ0-ζ0-1ζ02-ζ0-2…ζ0k-ζ0-k1+ζ11-ζ1ζ1-ζ1-1ζ12-ζ1-2…ζ1k-ζ1-k1+ζ21-ζ2ζ2-ζ2-1ζ22-ζ2-2…ζ2k-ζ2-k ?? ??? ?? ?? 1+ζm1-ζmζm-ζm-1ζm2-ζm-2…ζmk-ζm-k（10）

X=[aβ1β2…βk]T （11）

B=[z0z1z2…zm]T （12）

根據(jù)最小二乘法原理，式（9）可以寫(xiě)成

X=（ATA）-1ATB （13）

3）通過(guò)過(guò)程1）中得到的z平面和ζ平面中取樣點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到一個(gè)初始的A和B矩陣，代入式（13）中便可解得第1組系數(shù)矩陣X。但得到的第1組系數(shù)是不準(zhǔn)確的，需要進(jìn)行進(jìn)一步的迭代，以提高精度。

4）將上一步過(guò)程中得到的X矩陣再代入式（9）中，得到一組新的z平面上的參考點(diǎn)坐標(biāo)。這組坐標(biāo)代表了采用當(dāng)前系數(shù)矩陣X的情況下，ζ平面中圓環(huán)內(nèi)邊界上的點(diǎn)投射到z平面上的情況。在僅進(jìn)行了第一次迭代的情況下，會(huì)發(fā)現(xiàn)新的參考點(diǎn)偏離所需要的輪廓線較多。

5）為了進(jìn)行下一次迭代，需要將新得到的參考點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行修正。首先，需要計(jì)算當(dāng)前參考點(diǎn)輪廓線的周長(zhǎng)，將m個(gè)參考點(diǎn)中相鄰的兩兩參考點(diǎn)間的距離都疊加起來(lái)便可得到;隨后，計(jì)算從起點(diǎn)處沿逆時(shí)針?lè)较虻礁鱾€(gè)參考點(diǎn)所走過(guò)的路程;最后，根據(jù)各個(gè)參考點(diǎn)對(duì)應(yīng)路程在周長(zhǎng)中的占比，找到在精確的矩形輪廓上同樣占比的取樣點(diǎn)，由此便可得到一組修正后的取樣點(diǎn)坐標(biāo)。

6）由上一步可得到修正后的B矩陣，隨后重復(fù)3）、4）、5）的迭代過(guò)程，直到第t次迭代產(chǎn)生的系數(shù)矩陣Xt和第t-1次迭代產(chǎn)生的系數(shù)矩陣Xt -1之間的誤差滿足精度要求，則認(rèn)為迭代收斂。

7）以上過(guò)程是針對(duì)α0=0.5進(jìn)行的迭代，此時(shí)在5）中得到的迭代收斂后的輪廓線還不是需要的矩形孔洞邊界，需要進(jìn)一步對(duì)α值進(jìn)行修正，才能得到滿足需要的α值。經(jīng)過(guò)試算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α值偏大時(shí)，輪廓線將會(huì)位于矩形孔洞邊界的外側(cè)，且α值越大，外擴(kuò)的現(xiàn)象越明顯;反之，當(dāng)α值偏小時(shí)，輪廓線將會(huì)位于矩形孔洞邊界的內(nèi)側(cè)，且α值越小，內(nèi)縮的現(xiàn)象越明顯。因此，通過(guò)計(jì)算判斷輪廓線周長(zhǎng)與精確矩形孔洞邊界周長(zhǎng)的大小關(guān)系，便可確定當(dāng)前設(shè)定的α值與精確值之間的大小關(guān)系。當(dāng)輪廓線周長(zhǎng)大于孔洞周長(zhǎng)時(shí)，說(shuō)明當(dāng)前α值偏大，將α值適當(dāng)縮小，反之，則將α值適當(dāng)放大，然后重新進(jìn)行1）至6）的迭代過(guò)程。當(dāng)?shù)玫降男螺喞€周長(zhǎng)與孔洞周長(zhǎng)之間的誤差滿足精度要求時(shí)，停止迭代過(guò)程，此時(shí)得到的待定系數(shù)a、βk、α能夠精度較高地完成共形映射。

2.2 洞周位移收斂條件

隧道在開(kāi)挖的過(guò)程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生土體損失，一般來(lái)說(shuō)，隧道的開(kāi)挖面相比最終的隧道斷面要略大一些。在矩形隧道開(kāi)挖過(guò)程中，由于土體損失的存在，將會(huì)引發(fā)矩形孔收縮的問(wèn)題，通過(guò)給定孔收縮的位移條件，對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行分析。對(duì)于圓形隧道的位移邊界條件，Park[18]給出過(guò)簡(jiǎn)化的4種徑向位移邊界條件，但矩形隧道的位移邊界條件更加復(fù)雜，目前鮮有研究。采用如圖3所示的矩形徑向位移收斂模式，設(shè)定邊界條件位移參數(shù)u0，圖3中孔口位移值ub=b·u0、uh=h·u0，位移模式表述為

u+iv=[-b-2i（y+d）]·u0，∈（1，2）

（-2x-ih）·u0，∈（2，3）

[b-2i（y+d）]·u0，∈（3，4）

（-2x+ih）·u0，∈（0，1）∪（4，2π）（14）

式中：1、2、3、4為矩形4個(gè)角點(diǎn)在ζ平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的幅角。1和2已在圖2中標(biāo)出，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性有3=2π-2、4=2π-1。

將ζ=αei=α（cos +isin ）代入共形映射函數(shù)式（6），使其展開(kāi)成實(shí)部和虛部的形式。

z=ω（ζ）=x+iy （15）

x=2a·αsin 1+α2-2αcos -∑nk=1βk（αk+α-k）sin k （16）

y=a（1-α2）1+α2-2αcos +∑nk=1βk（αk-α-k）cos k （17）

圖2中，通過(guò)矩形邊界角點(diǎn)F（x，y）在z平面中對(duì)應(yīng)的角度θ，可以推出

tan θ=hb=y+dx （18）

將式（16）、式（17）代入式（18）中，可以計(jì)算出F′在ζ平面對(duì)應(yīng)的幅角1，同理可得E′對(duì)應(yīng)的幅角2。

至此，矩形位移收斂模式分段函數(shù)的分段區(qū)間已經(jīng)完全確定，可將其用傅里葉級(jí)數(shù)表示，方便后續(xù)計(jì)算。

u+iv=f（ασ）=∑+SymboleB@k=-SymboleB@Akσk（19）

2.3 應(yīng)力函數(shù)的求解

由于φ（Z）和ψ（Z）是R域上的解析函數(shù)，映射函數(shù)ω（ζ）也是解析函數(shù)，因此，φ（Z）和ψ（Z）可以用ζ來(lái)表示。

φ（Z）=φ（ω（ζ））=φ（ζ）（20）

ψ（Z）=ψ（ω（ζ））=ψ（ζ）（21）

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可以得出，在ζ平面的環(huán)形域γ上，φ（Z）和ψ（Z）可以展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)的形式。

φ（ζ）=∑+SymboleB@k=-SymboleB@akζk（22）

ψ（ζ）=∑+SymboleB@k=-SymboleB@bkζk（23）

同樣，邊界條件在進(jìn)行一些微分代換后，也可以寫(xiě)成ζ表示的形式。

ζ=1∶φ（ζ）+ω（ζ）ω′（ζ）·φ′（ζ）+ψ（ζ）=0（24）

ζ=α∶κ·φ（ζ）-ω（ζ）ω′（ζ）·φ′（ζ）-ψ（ζ）=

2G（u+iv）=f（ζ）（25）

式（25）中，f（ζ）是由矩形孔口位移邊界條件確定的位移函數(shù)。

在ζ平面上，有ζ=ρσ=ρei，因此ζ-=ρσ-1，由此可得

ω（ζ）ω′（ζ）=

a（1+ρ σ）/（1-ρ σ）+∑nk=1βk（（ρ σ）k-（ρ σ）-k）-2a/（1-ρ σ-1）2-∑nk=1kβk（（ρ σ-1）k-1+（ρ σ-1）-k-1）（26）

式中：ω（ζ）/ω′（ζ）較為復(fù)雜，無(wú)法直接寫(xiě)成級(jí)數(shù)形式，但可以轉(zhuǎn)換為傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算。

ζ=1∶ω（σ）ω′（σ）=∑SymboleB@k=-SymboleB@δkσk （27）

ζ=α∶ω（ασ）ω′（ασ）=∑SymboleB@k=-SymboleB@γkσk（28）

將式（22）、式（23）、式（27）代入地表應(yīng)力邊界條件式（24）中，可以得到

∑+SymboleB@k=-SymboleB@ak+∑+SymboleB@v=-SymboleB@（vδk+v-1av）+b-k·σk=0（29）

由此可得ak和bk的關(guān)系式

b-k=-ak-∑+SymboleB@v=-SymboleB@（v δk+v-1av）（30）

令f（ζ）=∑+SymboleB@k=-SymboleB@Akσk，再把式（22）、式（23）、式（28）、式（30）代入孔口位移邊界條件式（25）中，解得

Ak=ak（καk+α-k）+∑+SymboleB@v=-SymboleB@v（δk+v-1α-k-γk+v-1αv-1）·av（31）

Verruij[11]根據(jù)半無(wú)限空間圓形孔洞問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，假定所有系數(shù)均為純虛數(shù)，矩形邊界的問(wèn)題也具有同樣的對(duì)稱(chēng)性，因此，可以做出同樣的假定，有ak=-ak、bk=-bk。

通過(guò)式（30）、式（31）可以求解所有的ak、bk，由此獲得問(wèn)題的彈性解答。

根據(jù)式（3）、式（20）、式（21），得到位移表達(dá)式

u=Re12Gκφ（ζ）-ω（ζ）ω′（ζ）·φ′（ζ）-ψ（ζ）

v=Im12Gκφ（ζ）-ω（ζ）ω′（ζ）·φ′（ζ）-ψ（ζ）（32）

同樣，可以得到應(yīng)力表達(dá)式

σx=Re2φ′（ζ）ω′（ζ）-ω（ζ）·φ″（ζ）ω′（ζ）2-

φ′（ζ）·ω″（ζ）ω′（ζ）3-ψ′（ζ）ω′（ζ）

σy=Re2φ′（ζ）ω′（ζ）+ω（ζ）·φ″（ζ）ω′（ζ）2-

φ′（ζ）·ω″（ζ）ω′（ζ）3+ψ′（ζ）ω′（ζ）

τxy=Imω（ζ）·φ″（ζ）ω′（ζ）2-φ′（ζ）·ω″（ζ）ω′（ζ）3+ψ′（ζ）ω′（ζ）（33）

利用式（32）、式（33）可以求得土體的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。其中，位移場(chǎng)包括了土體整體的剛體位移，假設(shè)地表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的位移為零，則各點(diǎn)的位移再減去地表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的位移后才得到最終的位移場(chǎng)結(jié)果。

3 結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性，利用ABAQUS建立了矩形孔收縮的有限元模型，將其得到的有限元解答與理論解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。模型寬取100 m，高取50 m，隧道中心點(diǎn)深度d取3 m，矩形隧道寬b取1.5 m，高h(yuǎn)取1 m，泊松比μ取0.3，u0取0.1，彈性模量E取10 MPa。限制模型左右兩側(cè)的水平位移，Verruij指出有限元模型需要將底部的位移釋放，以消除剛體位移對(duì)模型的影響，因此，底部不設(shè)置邊界條件。矩形孔洞周邊區(qū)域采用自由網(wǎng)格劃分技術(shù)，遠(yuǎn)離孔口的區(qū)域采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分技術(shù)，網(wǎng)格劃分后總計(jì)9 057個(gè)單元。有限元模型如圖4所示。

圖5為有限元解和本文解產(chǎn)生的地表沉降曲線、地表水平位移曲線、矩形孔周第一主應(yīng)力分布以及位移場(chǎng)和最大切應(yīng)力τmax云圖。圖5（a）中，有限元解和理論解都產(chǎn)生明顯的沉降曲線，地表最大沉降值分別為70.1、68.7 mm，誤差僅為2.85%，且兩種方法計(jì)算的地表沉降曲線從中軸線一直到地表遠(yuǎn)端都保持著較好的一致性。圖5（b）中，地表的土體都產(chǎn)生了朝中軸線方向的位移，有限元解和本文解的最大位移分別為距中軸線3.7、3.8 m處，誤差為2.7%;有限元解和本文解的最大位移值分別為48、54 mm，誤差為11.1%，相比沉降曲線的誤差來(lái)說(shuō)要偏大;這是由于有限元的邊界條件限制了邊界處的水平位移，但沒(méi)有限制豎向位移，因此，有限元解得到的水平位移結(jié)果的誤差將會(huì)大于豎向位移結(jié)果，本文解得到的水平位移解將比有限元解的精度更高。圖5（c）中，橫坐標(biāo)為沿著矩形孔周，以矩形底邊中點(diǎn)為起點(diǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛩哌^(guò)的路徑長(zhǎng)度占總周長(zhǎng)的比值;縱坐標(biāo)為第一主應(yīng)力值;本文解和有限元解在底邊中點(diǎn)、側(cè)邊中點(diǎn)和頂邊中點(diǎn)處的第一主應(yīng)力誤差分別為7.4%、3%和1.5%，具有較好精度;在矩形角點(diǎn)處，有較為明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，本文解的應(yīng)力集中現(xiàn)象比有限元解要更加明顯，這是由于有限元解在處理應(yīng)力集中問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力集中的結(jié)果受網(wǎng)格影響較大，同時(shí)，本文解的映射函數(shù)精度也會(huì)對(duì)應(yīng)力集中的結(jié)果產(chǎn)生影響，但總體而言，這部分誤差可以接受。

圖5（d）、（e）為有限元解和本文解的位移場(chǎng)云圖和最大切應(yīng)力云圖，左半部分為有限元解的結(jié)果，右半部分為本文解的結(jié)果。很明顯可以看出，有限元解和本文解得出的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)基本吻合，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文解的可靠性。

如果假設(shè)土體為彈塑性土體，采用Tersca屈服準(zhǔn)則來(lái)判斷土體的屈服面，那么最大切應(yīng)力的等值線可以作為土體彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線。觀察到塑性區(qū)最早會(huì)出現(xiàn)在矩形孔洞的4個(gè)角點(diǎn)，隨著矩形孔洞的位移逐漸增加，塑性區(qū)將會(huì)從4個(gè)角點(diǎn)向外拓展相連，形成類(lèi)矩形狀的塑形區(qū)。

經(jīng)過(guò)上述對(duì)比，可以看出本文的理論解與有限元解之間具有很高的一致性，從而驗(yàn)證了理論方法的正確性和可靠性，可以采用該理論方法繼續(xù)深入矩形頂管的研究工作。

4 參數(shù)分析

4.1 位移場(chǎng)分析

4.1.1 高寬比對(duì)矩形隧道沉降槽的影響

算例保證矩形隧道的截面面積為π m2，取高寬比h/b分別為1/2、2/3、1、3/2、2，隧道深度d取3 m，土體泊松比μ取0.3，彈性模量E取10 MPa，位移參數(shù)u0取0.1。同時(shí)，根據(jù)Verruij給出的方法，計(jì)算一組圓形隧道來(lái)對(duì)比，圓形隧道的中心點(diǎn)深度和矩形隧道相同，圓形半徑為1 m，圓形孔周收斂模式為均勻徑向收斂，采用與矩形隧道相同的土體損失率來(lái)計(jì)算。

圖6給出了圓形隧道以及不同高寬比的矩形隧道所形成的沉降槽，結(jié)果表明：若保證相同隧道的橫截面積和土體損失率，則圓形隧道產(chǎn)生的沉降槽與高寬比h/b為1時(shí)的矩形隧道（正方形）產(chǎn)生的沉降槽基本接近。對(duì)于矩形隧道，隨著高寬比的增加，沉降槽的寬度逐漸減小，而沉降槽的深度逐漸增加。隨著高寬比的改變，沉降槽的形狀將會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)高寬比減小到某一個(gè)值以下時(shí)，沉降槽將不再是一個(gè)類(lèi)高斯曲線的形狀，最大沉降點(diǎn)不再位于隧道中軸線處，軸線處的沉降值將小于兩側(cè)。這種現(xiàn)象隨著高寬比的減少，將會(huì)越來(lái)越明顯。這種沉降槽形狀受高寬比影響的現(xiàn)象，可能是因?yàn)槌两挡凼艿骄匦嗡淼纻?cè)邊和上下邊位移的共同作用疊加，其中頂邊向下的位移對(duì)沉降槽的影響較大，而側(cè)邊的橫向位移也會(huì)對(duì)位移場(chǎng)產(chǎn)生影響。當(dāng)高寬比較小時(shí)，側(cè)邊較短，側(cè)邊位移對(duì)位移場(chǎng)影響較小，影響區(qū)域集中在兩條側(cè)邊處，所以，此時(shí)沉降槽的最大沉降點(diǎn)位于沉降槽中心兩側(cè)（對(duì)應(yīng)兩條側(cè)邊所在位置）;而當(dāng)高寬比較大時(shí)，側(cè)邊較長(zhǎng)，側(cè)邊位移對(duì)位移場(chǎng)影響較大，兩條側(cè)邊的影響區(qū)域相互疊加，使得側(cè)邊橫向位移產(chǎn)生的地表沉降最大值依舊在沉降槽中心處。

4.1.2 不同泊松比對(duì)沉降槽和橫向位移的影響

選用泊松比μ分別為0.1、0.25、0.35、0.5，彈性模量E取10 MPa，矩形隧道寬b取1.5 m，高h(yuǎn)取1 m，隧道中心點(diǎn)深度d取3 m，邊界條件位移參數(shù)u0取0.1。

圖7給出了不同泊松比條件下形成的沉降槽，結(jié)果表明：泊松比對(duì)沉降槽深度的影響較大，隨著泊松比的增大，沉降槽的深度將會(huì)明顯加大，同時(shí)，沉降槽的寬度也會(huì)增加。沉降槽的形狀也會(huì)跟隨泊松比的變化而變化，當(dāng)泊松比很小時(shí)（如圖7中μ=0.1時(shí)的曲線），沉降槽的形狀很接近類(lèi)高斯曲線;隨著泊松比的增大，沉降槽的形狀將會(huì)逐漸發(fā)生改變（如圖7中μ=0.35時(shí)的曲線，明顯沉降槽底部趨于平緩）;而泊松比的值超過(guò)某一界限，沉降槽的最低點(diǎn)將會(huì)向隧道軸線兩側(cè)偏移，沉降槽軸線處的土體相較于其兩側(cè)的土體發(fā)生輕微隆起（如圖7中μ=0.5曲線所示），這種現(xiàn)象伴隨泊松比的增大愈發(fā)明顯。這種現(xiàn)象在高寬比分析中，推測(cè)是由于側(cè)邊橫向位移造成的，而泊松比是橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變絕對(duì)值的比值，泊松比的取值大小將會(huì)很大程度地反映側(cè)邊橫向位移對(duì)地表豎向位移（沉降槽）的影響。泊松比越大，側(cè)邊橫向位移對(duì)沉降槽的影響越大，因此，沉降槽形狀發(fā)生改變的現(xiàn)象會(huì)越明顯。

圖8為不同泊松比條件下，x=b位置處土體的橫向位移曲線圖，結(jié)果表明：從整體上看，泊松比越大，得到的橫向位移越小。橫向位移的最大值點(diǎn)集中在隧道中心點(diǎn)深度d附近，泊松比對(duì)于橫向位移的最大值影響很小。泊松比對(duì)橫向位移的影響主要體現(xiàn)在隧道以上的土體，泊松比不僅會(huì)極大地影響隧道以上土體的橫向位移值，而且會(huì)改變橫向位移曲線的形狀。當(dāng)泊松比偏大時(shí)，隧道以上土體的最小橫向位移點(diǎn)出現(xiàn)在地表;當(dāng)泊松比減小到某個(gè)值以下，最小橫向位移點(diǎn)將會(huì)向下偏移。

4.1.3 不同埋深對(duì)沉降槽的影響

選用隧道埋深D分別為1、3、5、7 m，隧道埋深D為隧道頂部到地表的距離;泊松比μ取0.3，彈性模量E取10 MPa，矩形隧道寬b取1.5 m，高h(yuǎn)取1 m，邊界條件位移參數(shù)u0取0.1。

圖9為不同埋深的矩形隧道產(chǎn)生的地表沉降曲線，結(jié)果表明：隧道埋深對(duì)沉降槽最大沉降值影響很大，埋深越淺，最大沉降值越大;同時(shí)埋深也會(huì)影響沉降槽的寬度，沉降槽的寬度隨著埋深的增加逐漸減小。埋深較淺時(shí)，沉降槽的形狀會(huì)發(fā)生變化，變化情況和低泊松比和較大的高寬比時(shí)相同，中軸線上的地表沉降將會(huì)略大于其兩側(cè)的沉降值。

4.2 應(yīng)力場(chǎng)分析

4.2.1 不同泊松比對(duì)孔周應(yīng)力的影響

泊松比μ分別取0.1、0.3、0.5，對(duì)高寬比h/分別b為2/3、1、1.5進(jìn)行分析。u0取0.1，彈性模量E取10 MPa，埋深D取3 m，隧道截面面積取π m2。

圖10為高寬比分別為2/3、1、1.5的隧道在泊松比0.1、0.3、0.5下的孔周σ1分布。橫坐標(biāo)為孔周點(diǎn)的相對(duì)位置，0代表底邊中點(diǎn)，0.5為頂邊中點(diǎn)。分析結(jié)果可知：不同的泊松比將會(huì)影響孔周σ1的大小。泊松比越大，孔周σ1整體數(shù)值越小，但應(yīng)力集中的現(xiàn)象將會(huì)更加明顯，反之亦然。取不同泊松比時(shí)，矩形孔洞各個(gè)邊中點(diǎn)處的第一主應(yīng)力值相互的比值不會(huì)發(fā)生改變，這說(shuō)明泊松比不會(huì)影響孔周應(yīng)力的分布情況，只會(huì)影響孔周應(yīng)力的大小。

4.2.2 不同埋深對(duì)孔周應(yīng)力的影響

矩形隧道埋深D取1、3、5 m，對(duì)高寬比h/b為2/3、1、1.5進(jìn)行分析。位移參數(shù)u0取0.1，彈性模量E取10 MPa，泊松比μ取0.3，隧道截面面積取π m2。

圖11為高寬比h/b分別為2/3、1、1.5的隧道在埋深1、3、5 m下的孔周σ1分布。結(jié)果表明：無(wú)論對(duì)于哪種工況，埋深越小，矩形隧道孔周在各個(gè)位置的第一主應(yīng)力值都會(huì)越小，反之亦然。很明顯，埋深1 m相對(duì)于埋深3 m時(shí)的應(yīng)力變化非常大，而埋深3 m相對(duì)于埋深5 m時(shí)的應(yīng)力變化相對(duì)小很多。這是由于埋深較淺時(shí)，隧道孔周應(yīng)力受地表影響較大，對(duì)于埋深相對(duì)敏感;而埋深較深時(shí)，隧道的孔周應(yīng)力受地表影響較小，隨著埋深的加大，孔周應(yīng)力的變化將會(huì)趨于收斂。矩形隧道的埋深和高寬比都會(huì)影響孔周應(yīng)力分布情況。埋深越小，隧道頂邊第一主應(yīng)力的最大值相對(duì)于底邊的比值將會(huì)越大，隨著埋深的增大，這一比值將會(huì)趨向于1，這與隧道從淺埋到深埋的變化規(guī)律相一致。同時(shí)，埋深越小，側(cè)邊第一主應(yīng)力的最大值相對(duì)于底邊的比值將會(huì)越大，隨著埋深增大，這一比值也會(huì)趨向于一個(gè)固定值。這說(shuō)明，當(dāng)隧道屬于超淺埋時(shí)，最大第一主應(yīng)力往往會(huì)出現(xiàn)在頂部。

5 結(jié)論

基于復(fù)變函數(shù)方法得出了可以適用于平面應(yīng)變條件下半無(wú)限空間中矩形隧洞的位移邊界條件解析解，且通過(guò)有限元的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了解析解的可靠性;然后基于該方法對(duì)不同埋深、不同高寬比、不同泊松比對(duì)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的影響進(jìn)行了敏感性分析，得到以下主要結(jié)論：

1）提出的方法是一種解決半無(wú)限空間矩形孔收縮問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解法，該方法經(jīng)過(guò)與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證，保證了其可靠性。解析解與有限元解相比，應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)都比較一致，僅在應(yīng)力集中的結(jié)果上偏于保守，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)運(yùn)用中，采用解析解的結(jié)果會(huì)更安全;分析了半無(wú)限空間矩形隧洞問(wèn)題的塑性區(qū)發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)塑性區(qū)最早會(huì)在矩形孔洞的4個(gè)角點(diǎn)產(chǎn)生，隨著位移的增大，逐漸拓展連通，最后，塑性分界面將在矩形孔洞外圍呈類(lèi)矩形分布。

2）在本文的邊界位移條件下，對(duì)沉降槽的參數(shù)分析結(jié)果表明：沉降槽的深度與土體泊松比和矩形隧洞埋深呈負(fù)相關(guān)，與矩形隧洞的高寬比呈正相關(guān);而沉降槽的寬度與土體泊松比和矩形隧洞的高寬比呈負(fù)相關(guān)，與矩形隧洞埋深呈正相關(guān);在泊松比較大、埋深較淺、高寬比較大時(shí)，矩形隧洞的沉降槽曲線的形狀將不再是類(lèi)高斯曲線，主要表現(xiàn)為沉降槽的中心處相較于其兩側(cè)將會(huì)產(chǎn)生輕微隆起現(xiàn)象，沉降槽的最大沉降點(diǎn)不再位于沉降槽中心。

3）土體泊松比不會(huì)影響孔周應(yīng)力的分布，只會(huì)影響孔周應(yīng)力的大小。土體泊松比越大，孔周第一主應(yīng)力的值越大，反之，泊松比越小，孔周第一主應(yīng)力的值越小。隧道埋深不僅會(huì)影響孔周應(yīng)力的大小，還會(huì)影響孔周應(yīng)力的分布。隧道屬于淺埋時(shí)，埋深對(duì)于孔周應(yīng)力的影響較大，當(dāng)埋深較大時(shí)，埋深對(duì)孔周應(yīng)力的影響較小。隧道埋深越小，孔周第一主應(yīng)力的值越小，反之亦然。隨著埋深的加大，頂邊最大第一主應(yīng)力的值相較于底邊將會(huì)逐漸減小，最終兩者比值趨向于1，頂邊最大第一主應(yīng)力與側(cè)邊的比值也會(huì)逐漸減小，最終趨向于一個(gè)常數(shù)。參考文獻(xiàn)：

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（編輯 王秀玲）