周亮，甘楊俊杰

(中車株洲電機有限公司，湖南 株洲 412000)

磁懸浮軸承因具有無摩擦、無磨損以及無需潤滑等一系列優(yōu)點，在高速主軸、氣體壓縮機、人工心臟泵、飛輪儲能等領域廣泛應用[1]。磁懸浮軸承本質上是一個非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要設計控制器構成閉環(huán)反饋控制。除了工業(yè)上常用的PID型控制器(比例-積分-微分控制器)及其改進類型，模糊控制、神經網絡控制、滑模控制、魯棒控制等現(xiàn)代控制方法也可實現(xiàn)磁懸浮軸承的穩(wěn)定控制，控制精度取決于控制器參數(shù)[2-6]?？刂破鲄?shù)可以通過試錯法或根據(jù)工程經驗確定，也可通過極點配置法設計，極點配置法設計的控制器控制性能取決于模型的準確性。

磁懸浮軸承建模時的簡化處理會導致理論模型與系統(tǒng)實際特性有較大差異,主要體現(xiàn)在兩方面：1)理論模型的結構與實際系統(tǒng)有差異[7]；2)模型參數(shù)的理論值與實際值有差異[8]。故基于模型進行控制器設計時，提高控制器性能的前提是獲取精確的系統(tǒng)模型。

模型辨識是獲取精確系統(tǒng)模型的方法之一，具有操作簡單，辨識精度高等優(yōu)點。模型辨識將辨識對象看成一個“黑盒子”，通過施加特定的激勵以及測量其響應，得到準確的系統(tǒng)輸入輸出關系。模型辨識分為兩大類：1)已知系統(tǒng)的模型結構，只需通過辨識確定模型的參數(shù)值；2)模型的結構和參數(shù)均未知，兩者都需要通過辨識確定。如文獻[9]采用基于轉子不平衡響應的方法對磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)進行辨識。文獻[10]采用電磁力測量法和自由振蕩法對磁懸浮軸承的電流剛度和位移剛度系數(shù)進行辨識。為了獲取電流剛度和位移剛度的精確值，文獻[8]采用開環(huán)辨識的方法，文獻[11]采用了基于LMS(自適應濾波)算法的在線辨識方法，這些辨識都屬于模型的參數(shù)辨識。而為了得到精確的系統(tǒng)模型，模型結構辨識非常關鍵。如文獻[12]通過對一個磁懸浮工作平臺進行辨識，得到了系統(tǒng)的精確傳遞函數(shù)，并基于此模型重新設計控制器，優(yōu)化了控制性能。文獻[13]通過頻域辨識方法，對實心結構磁懸浮軸承進行辨識，得到了系統(tǒng)的分數(shù)階模型，并基于辨識模型設計了分數(shù)階控制器，控制性能進一步提升。文獻[14]對疊片結構和實心結構磁懸浮軸承進行系統(tǒng)辨識，得到了兩者的精確模型，并做了對比，基于模型差異又討論了實心結構中渦流的影響。

由上述分析可知，模型辨識法在獲取系統(tǒng)特性、優(yōu)化控制性能方面都起到了重要作用。在此基于理論模型設計了PID控制器，實現(xiàn)對磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制。為優(yōu)化控制性能，采用頻域辨識法對實際系統(tǒng)進行模型辨識，并對辨識數(shù)據(jù)進行模型擬合。得到精確的系統(tǒng)模型后，重新設計控制器對轉子進行懸浮控制。最后對模型辨識的結果進行分析，并對2種控制器的控制性能進行對比。

1 建模與PID控制

以某四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)為研究對象，如圖1所示，其包括轉子、2套徑向磁懸浮軸承、位移傳感器、保護軸承等零部件。徑向磁懸浮軸承為轉子提供徑向無接觸支承，位移傳感器檢測轉子的位移變化。保護軸承通常為常規(guī)軸承，在轉子未懸浮時起支承作用，在轉子懸浮后因故障發(fā)生跌落時則起到保護作用。

圖1 四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of four-DOF active magnetic bearing system

2套徑向磁懸浮軸承均為八磁極疊片結構(圖2)，圖中：x0為磁懸浮軸承轉子與定子之間的額定間隙，i0為線圈偏置電流。以豎直方向為例說明其工作原理，當轉子偏離平衡位置時，位移傳感器檢測轉子位移x，并將信號傳送至控制器，控制器根據(jù)控制算法計算控制信號，控制信號經功率放大器轉換為作用在電磁線圈上的控制電流i，電磁鐵產生可控的電磁力，迫使轉子回到平衡位置，從而維持轉子的穩(wěn)定懸浮。

圖2 八磁極徑向磁懸浮軸承結構示意圖Fig.2 Structure diagram of eight-pole radial active magnetic bearing

圖2結構在豎直方向的電磁力為[1]

(1)

式中：k為電磁力系數(shù)，與電磁鐵的結構和尺寸有關。

(1)式在平衡位置(x=0,i=0)處泰勒展開，并略去高次項，可得到電磁力的線性表達式。拉普拉斯變換后得到磁懸浮軸承在一個自由度上的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)

式中：m為轉子質量；ki為力-電流系數(shù)；ks為力-位移系數(shù)，與電磁鐵的結構參數(shù)有關;s為拉普拉斯算子。

(2)式為電流控制下磁懸浮軸承的理論模型。對于文中徑向磁懸浮軸承，取m=60 kg，ki=2 283.4 N/A，ks=4.57×106N/m。

(3)

式中：A0,B0,B1,C0為控制器參數(shù)。

針對圖1的磁懸浮軸承系統(tǒng)，設計了4個控制器對4個自由度進行分散控制。控制器參數(shù)通過極點配置法確定，實際控制時根據(jù)控制效果做適當調整。

磁懸浮軸承試驗平臺如圖3所示，控制硬件包括磁懸浮軸承位移采樣電路、數(shù)字信號處理模塊及開關型功率放大器，轉子四自由度的懸浮位移變化通過示波器顯示。試驗表明設計的PID控制器能實現(xiàn)轉子的穩(wěn)定懸浮，穩(wěn)定懸浮后的位移曲線如圖4所示(x軸為時間，每格表示100 ms，y軸為位移，每格表示500 mV),由圖可以看出：轉子實現(xiàn)了穩(wěn)定懸浮，但位移曲線波動比較明顯，A端豎直方向位移波動最大，其峰值為61.6 mV，根據(jù)標定關系，對應位移波動量14.67 μm。這是由于(3)式是基于(2)式的理論模型建立的，理論模型與實際系統(tǒng)之間存在誤差，導致控制精度較低。

圖3 磁懸浮軸承試驗平臺Fig.3 Test rig of active magnetic bearing

圖4 PID控制的轉子四自由度位移曲線Fig.4 Four-DOF displacement curve of rotor under PID control

2 模型辨識

2.1 辨識原理

為準確獲取磁懸浮軸承系統(tǒng)的模型，在此采用頻域辨識方法，精確獲取系統(tǒng)的頻率特性。根據(jù)線性系統(tǒng)理論，對于線性定常系統(tǒng)，若系統(tǒng)輸入為一系列不同頻率的諧波信號，則系統(tǒng)輸出也是一系列對應頻率的諧波信號，只是幅值和相位發(fā)生了變化。系統(tǒng)輸出與輸入的比值即為系統(tǒng)的頻率特性。

頻域辨識原理框圖如圖5所示，在閉環(huán)系統(tǒng)的位移參考端注入一系列諧波信號A0sin(ωt)，分別采集辨識對象的輸入信號S1和輸出信號S2。對信號S1，S2進行離散傅里葉變換，兩者的比值即為辨識對象的頻率特性，將其表示成幅值與相位的形式,即

圖5 頻域辨識原理框圖Fig.5 Principle block diagram of frequency domain identification

(4)

式中：|G(iω)|為辨識對象的幅值；φ(ω)為辨識對象的相位;i為虛數(shù)單位；ω為角頻率。

根據(jù)幅值與相位，即可繪制出系統(tǒng)的伯德圖。諧波信號幅值A0應適當選取，幅值太大易引起系統(tǒng)高頻失穩(wěn)，太小則不易區(qū)分干擾信號而引入誤差，通常取轉子最大運動間隙的5%～10%?？紤]到閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬，諧波信號頻率取600 Hz內的一系列頻率，且這些頻率按照一定的倍率變化，以便數(shù)據(jù)在伯德圖上呈等距變化。辨識的對象除了磁懸浮軸承外，還包括功率放大器和位移傳感器。

2.2 辨識結果

對圖1和圖3所示磁懸浮軸承系統(tǒng)的4個自由度做頻域辨識,辨識結果如圖6所示。由圖6可知：

圖6 磁懸浮軸承伯德圖Fig.6 Bode plots of active magnetic bearing

1)同一端磁懸浮軸承水平方向與豎直方向的頻率特性接近，在高頻段有較小的誤差。

2)兩端磁懸浮軸承的頻率特性具有相似性。以A端磁懸浮軸承為例,隨頻率增大，系統(tǒng)頻率特性呈光滑變化，但在200 Hz以上的某些頻率點，數(shù)據(jù)出現(xiàn)跳變，這是因為這些頻率點與轉子的某些固有頻率重合，轉子發(fā)生了諧振，導致采集的時域數(shù)據(jù)有較大的誤差。

3)系統(tǒng)幅頻曲線在低頻時基本保持不變，反映了系統(tǒng)的直流增益，但隨頻率增大，幅頻曲線逐漸衰減。相頻曲線在低頻時基本上保持不變，表明系統(tǒng)相位滯后180°，為二階系統(tǒng)的特性，但隨頻率增大，相位滯后持續(xù)增加，在高頻段相位滯后接近270°，呈三階系統(tǒng)的特性。

2.3 模型擬合與分析

得到辨識對象的頻率特性后，需對數(shù)據(jù)進行擬合，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。關于傳遞函數(shù)的擬合方法，文獻[15-17]都做了詳細介紹，文獻[17]中提出的擬合方法專門針對磁懸浮軸承，在此采用文獻[17]的擬合方法。

考慮到磁懸浮軸承理論模型為二階模型，首先用二階模型對頻率數(shù)據(jù)進行擬合，其傳遞函數(shù)為

(5)

式中：b0，b1，b2為模型系數(shù)。

因為兩端磁懸浮軸承的頻率特性具有相似性，只給出A端磁懸浮軸承的擬合曲線，如圖7所示，由圖可知：在低頻段，二階模型能較好地描述系統(tǒng)的實際特性，但在高頻段，二階模型相位趨近于-180°，與實際系統(tǒng)的相位變化有較大的誤差。4個自由度的二階模型擬合結果見表1。

圖7 A端磁懸浮軸承辨識數(shù)據(jù)擬合結果Fig.7 Fitting results of identification data of A end active magnetic bearing

表1 二階模型擬合結果Tab.1 Fitting result of second-order model

考慮到實際系統(tǒng)的相位滯后更接近三階系統(tǒng)，因此也采用三階模型對辨識數(shù)據(jù)進行擬合，三階擬合模型的結構為

(6)

式中：b0，b1，b2，b3為模型系數(shù)。

擬合曲線如圖7所示，相比于二階模型，三階模型在整個頻率段與實際系統(tǒng)都有較好的吻合，能更好地描述系統(tǒng)的實際特性,擬合結果見表2。

表2 三階模型擬合結果Tab.2 Fitting result of third-order model

三階模型的辨識對象除了磁懸浮軸承本身，還包括了功率放大器以及位移傳感器，而理論建模通常不考慮后兩者的影響。

試驗裝置中用到的位移傳感器為電渦流位移傳感器，通常表示為一個具有固定增益的一階慣性環(huán)節(jié),但其帶寬為5 kHz，遠遠大于磁懸浮軸承位移控制閉環(huán)的帶寬，在閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬范圍內其數(shù)學模型可表示為一個固定常數(shù)，即

Gs(s)=Ks，

(7)

式中：Ks為傳感器增益。

試驗裝置中磁懸浮軸承控制硬件的功率放大器為開關型功率放大器，其帶寬有限，數(shù)學模型可以表示為一個具有固定增益的一階慣性環(huán)節(jié)，即

(8)

式中：Ka為功率放大器的增益；τa為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

如圖5所示，根據(jù)傳遞函數(shù)運算法則，由磁懸浮軸承、功率放大器和位移傳感器三部分構成的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(9)

由此得到的模型正好是一個三階模型。理論建模時，若功率放大器和位移傳感器的帶寬有限，則應考慮這兩者的動態(tài)特性，特別是功率放大器的滯后影響。開關型功率放大器的滯后作用與開關器件的性能有關，隨頻率增大，其滯后的影響也變得明顯。

3 基于辨識模型的控制器設計

在三階模型的基礎上，重新設計控制器。根據(jù)控制理論，為實現(xiàn)閉環(huán)極點的任意配置，至少需要一個二階控制器。為消除靜態(tài)誤差，控制器中再添加上積分作用，設計的控制器傳遞函數(shù)為

(10)

式中：A0,A1,B0,B1,B2,C0為控制器參數(shù)。

構成的閉環(huán)控制框圖如圖8所示。

圖8 閉環(huán)控制框圖Fig.8 Block diagram of closed-loop control

控制器參數(shù)通過極點配置法確定。將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在左半平面的相同位置(-r,0)處，為六重極點，得到控制器參數(shù)、模型參數(shù)與極點的關系為

(11)

(11)式形式上并非獨立，后面的計算依賴前面的計算結果，這樣有利于編程。通常閉環(huán)極點取磁懸浮軸承開環(huán)極點的1～3倍[18]，在此取r=160π。

設計了4個控制器對4個自由度進行分散控制?？刂破麟x散化后用于磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制，同樣實現(xiàn)了轉子4個自由度的穩(wěn)定懸浮，轉子的穩(wěn)定懸浮曲線通過示波器顯示，如圖9所示(x軸為時間，每格表示200 ms，y軸為位移，每格表示500 mV)。

圖9 基于辨識模型控制的轉子四自由度位移曲線Fig.9 Four-DOF displacement curve of rotor based on identification model control

與圖3所示的PID控制性能相比，基于辨識模型的控制精度有了很大提升，位移波動明顯減小。將圖4和圖9的曲線波動峰值電壓和對應的實際位移波動量對比，結果見表3。由表3可知：PID控制下轉子穩(wěn)態(tài)懸浮的最大位移波動量為14.67 μm，而基于辨識模型設計的控制器的穩(wěn)態(tài)懸浮最大位移波動量為5.67 μm，減小了約60%，懸浮控制的穩(wěn)態(tài)性能提高。實際調試過程也表明PID控制器的調試時間較長，控制器參數(shù)根據(jù)實際效果也做了多次改進，而基于辨識模型的控制器調試時間較短，且控制參數(shù)改動較小。

表3 轉子四自由度穩(wěn)態(tài)懸浮位移波動量Tab.3 Displacement fluctuation of four-DOF rotor under stable suspension

由此說明，模型辨識得到了精確的系統(tǒng)模型，而基于精確模型設計的控制器在縮短調試時間以及提升穩(wěn)態(tài)控制性能上，均比基于理論模型設計的控制器有較大的優(yōu)勢。

4 結論

采用頻域辨識法對四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)進行模型辨識，得到了精確的系統(tǒng)模型?；诰_模型設計了二階控制器，實現(xiàn)了磁懸浮軸承四自由度的穩(wěn)定懸浮控制。得出以下結論：

1)二階理論模型的相位在中高頻段不能準確描述四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)的頻率特性，實際對象更接近三階系統(tǒng)。

2)為提高模型精度，理論建模有必要考慮功率放大器和位移傳感器的影響。

3)基于模型設計的控制器性能依賴于模型的準確性，提高系統(tǒng)模型的精度，可以提高控制器的控制性能?；诰_辨識模型設計的控制器比基于理論模型設計的控制器更具優(yōu)勢。