李云龍，李志農(nóng)，陶俊勇，許貝

(1.南昌航空大學(xué),南昌 330063；2.無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063；3.廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南寧 530004；4.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073)

為提高滾動(dòng)軸承的使用壽命并降低其振動(dòng)噪聲，有必要對滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)性能展開研究。目前，國內(nèi)外研究者針對滾動(dòng)軸承外圈單一缺陷建立了一些行之有效的動(dòng)力學(xué)模型：文獻(xiàn)[1]用彈簧模擬軸承溝道與鋼球間的接觸關(guān)系，簡化了軸承的振動(dòng)模型并建立了外圈損傷的簡化方程，大大降低了滾動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)分析的復(fù)雜度；文獻(xiàn)[2]在考慮徑向游隙、幾何尺寸、故障脈沖等因素的前提下建立了滾動(dòng)軸承外圈單一故障的振動(dòng)模型；文獻(xiàn)[3]考慮接觸力和徑向游隙的影響，給出了軸承外圈局部缺陷的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立了滾動(dòng)軸承故障的動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[4]考慮了外圈損傷以及接觸載荷等因素的影響，建立了滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)微分方程；文獻(xiàn)[5]建立了考慮接觸變形量的外圈損傷模型，探究了故障尺寸對接觸變形量的影響；文獻(xiàn)[6]以滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為著重點(diǎn)，考慮外圈故障對赫茲接觸剛度的影響，建立了滾動(dòng)軸承外圈剝離失效模型；文獻(xiàn)[7]引入缺陷尺寸建立了用于評估故障嚴(yán)重性的非線性振動(dòng)模型；文獻(xiàn)[8]考慮油膜及滾動(dòng)體滑動(dòng)，改進(jìn)了滾動(dòng)軸承外圈單點(diǎn)故障的五自由度動(dòng)力學(xué)模型并對不同故障參數(shù)對應(yīng)的模型進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[9]基于時(shí)變位移建立了滾動(dòng)軸承復(fù)合故障的四自由度動(dòng)力學(xué)模型，研究不同條件下滾動(dòng)軸承的振動(dòng)特性；文獻(xiàn)[10]將不平衡激勵(lì)引入外圈單一缺陷滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)建模中，建立了不平衡影響下外圈單一缺陷滾動(dòng)軸承的二自由度動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[11]考慮了自由度及高速的作用，提出了一種用于外圈故障滾動(dòng)軸承的五自由度動(dòng)力模型；文獻(xiàn)[12]考慮滾動(dòng)軸承外圈故障數(shù)量及間隔等因素對動(dòng)力學(xué)特征的影響，建立了含外圈多點(diǎn)故障的滾動(dòng)軸承五自由度模型。

雖然滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)建模取得一些進(jìn)展，但幾乎所有文獻(xiàn)都認(rèn)為滾動(dòng)體與外圈故障一側(cè)邊緣剛接觸以及準(zhǔn)備離開故障另一側(cè)邊緣時(shí)會(huì)立刻釋放和恢復(fù)所有的變形量。然而，該變形量的變化應(yīng)是漸變的過程，且軸承在實(shí)際工況中處于潤滑狀態(tài)，即存在一定的油膜并產(chǎn)生黏性阻力。據(jù)此，本文以含外圈單點(diǎn)故障的滾動(dòng)軸承為研究對象，在課題組研究的基礎(chǔ)上[13]，綜合考慮接觸變形量的逐漸變化過程和潤滑劑條件，建立考慮潤滑劑的滾動(dòng)軸承漸進(jìn)模型并與傳統(tǒng)的瞬變模型進(jìn)行對比分析。

1 滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型的建立

假設(shè)滾動(dòng)軸承外圈存在一處如圖1所示的故障，Φspall為故障的起始位置角，由于軸承外圈與機(jī)架多采用緊配合，Φspall保持不變。

圖1 外圈單點(diǎn)故障的模型示意圖Fig.1 Model diagram of outer ring with single point fault

當(dāng)?shù)趈個(gè)滾動(dòng)體與軸承的內(nèi)、外滾道發(fā)生接觸時(shí)，將產(chǎn)生一定的變形[14-15]，總變形量δj為

δj=xcosθj+ysinθj，

(1)

(2)

(3)

式中：θj為第j個(gè)滾動(dòng)體中心的位置角；nc為保持架轉(zhuǎn)速；Z為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；θ1為1#滾動(dòng)體的起始位置角；α為接觸角；ni為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Dw為滾動(dòng)體直徑；Dpw為滾子組節(jié)圓直徑。

單個(gè)滾動(dòng)體經(jīng)過外圈故障產(chǎn)生的變形量會(huì)周期性的釋放和恢復(fù)[16]，可表示為

δj=xcosθj+ysinθj-Gr-βjλ，

(4)

(5)

(6)

式中：Gr為徑向游隙；λ為滾動(dòng)體經(jīng)過故障區(qū)域時(shí)的瞬時(shí)變形量；βj為開關(guān)函數(shù)；φs為故障的跨度角；bc為故障寬度的一半；Ri為內(nèi)圈內(nèi)半徑。

目前，大多數(shù)外圈故障模型均采用理想化的矩形缺口，缺陷深度被定義為圖2b中的d′。漸進(jìn)模型則假設(shè)缺陷截面為圓弧形，同時(shí)假設(shè)缺陷位于底部，且軸承載荷為豎直向下作用于內(nèi)圈。滾動(dòng)體通過該缺陷將產(chǎn)生彈性變形，變形的釋放和恢復(fù)是漸變的。只有滾動(dòng)體接觸缺陷底部時(shí)，變形量才會(huì)等于缺陷高度。因此，漸變釋放的瞬時(shí)變形量為

圖2 滾動(dòng)體與外圈單點(diǎn)故障的接觸Fig.2 Contact between rolling element and outer ring with single point fault

(7)

λmax=Cdr-Cde，

(8)

(9)

(10)

式中：λmax為最大變形量；Cdr為滾動(dòng)體變形量；Cde為外圈變形量；Re為外圈外半徑。

滾動(dòng)體與滾道之間為點(diǎn)接觸，則單個(gè)滾動(dòng)體與滾道的接觸載荷為

(11)

K=1/[(1/Ke)2/3+(1/Ki)2/3]m，

(12)

式中：K為等效接觸變形系數(shù)，可以通過內(nèi)、外圈的接觸變形系數(shù)計(jì)算得到[17]；Ki和Ke分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈滾道接觸的變形系數(shù)；m為引入的常數(shù)，取m=1.5。

由于滾動(dòng)體與外圈之間存在潤滑油，滾動(dòng)體旋轉(zhuǎn)時(shí)將產(chǎn)生油膜摩擦阻力[18]。軸承工況復(fù)雜多變，很難確定真實(shí)的摩擦阻力，大多數(shù)模型采用經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ捅硎緷L動(dòng)體與滾道之間的油膜摩擦阻力[19-20]，本文則采用牛頓流體模型，即將潤滑劑考慮為牛頓流體，第j個(gè)滾動(dòng)體受到的切向油膜摩擦阻力為[21]

τ=ηv/hj，

(13)

式中：η為實(shí)際工況下潤滑劑的動(dòng)力黏度；v為滾動(dòng)體相對外圈滾道的滑動(dòng)速度；hj為彈流潤滑油膜厚度[22-23]。

潤滑劑的動(dòng)力黏度與軸承實(shí)際工況下的壓力與溫度有關(guān)[24]，即

η=η0exp(σp)，

(14)

式中：η0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的空氣動(dòng)力黏度；σ為黏度的壓力指數(shù)；p為接觸處的壓力[25]。

滾動(dòng)體在自轉(zhuǎn)以及公轉(zhuǎn)的過程中，相對外圈容易發(fā)生滑動(dòng)，其相對滑動(dòng)速度為

(15)

γ=Dwcosα/(2Dpw)，

(16)

式中：nb為滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)速度；γ為系數(shù)。

將全部滾動(dòng)體的接觸載荷投影在x，y軸這2個(gè)方向，得到的總接觸載荷為

(17)

滾動(dòng)軸承通常承受徑向載荷的作用，軸向載荷不大[26]。根據(jù)牛頓第二定律和拉格朗日方程建立的滾動(dòng)軸承外圈單點(diǎn)故障動(dòng)力學(xué)方程為

(18)

式中：m為軸承質(zhì)量；c為等效阻尼；Fr為施加在外圈表面的載荷；φ為Fr與x軸的夾角;g為重力加速度。

2 數(shù)值仿真

對SKF6205軸承進(jìn)行仿真分析，軸承參數(shù)及仿真條件見表1，計(jì)算可得軸承轉(zhuǎn)頻fr為29.53 Hz，外圈故障特征頻率fe為105.87 Hz。

表1 軸承主要參數(shù)及仿真條件Tab.1 Main parameters and simulation conditions of bearing

用龍格-庫塔法對建立的滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)方程求解，得到滾動(dòng)軸承的時(shí)域響應(yīng)曲線。外圈單點(diǎn)故障軸承的瞬變模型與漸進(jìn)模型的時(shí)域波形如圖3所示:當(dāng)滾動(dòng)軸承具有外圈單點(diǎn)故障時(shí)，瞬變模型和漸進(jìn)模型的振動(dòng)信號都呈周期性變化；位移曲線在0.1 s內(nèi)約存在3個(gè)準(zhǔn)三角周期函數(shù)信號，即頻率為30 Hz，對應(yīng)于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻29.53 Hz；位移、速度和加速度曲線在0.1 s內(nèi)約有10～11次沖擊，故障頻率約100 ～110 Hz，對應(yīng)于理論值105.87 Hz；瞬變模型振動(dòng)信號的時(shí)域波形與漸進(jìn)模型的變化趨勢基本一致，但漸進(jìn)模型波形的幅值比瞬變模型的大，更能反映故障的信息。

圖3 外圈單點(diǎn)故障軸承瞬變模型與漸進(jìn)模型的時(shí)域波形Fig.3 Time domain waveforms of transient model and progressive model for bearing with single point fault in outer ring

對得到的信號進(jìn)行傅里葉變換，得到滾動(dòng)軸承外圈低頻段的頻譜如圖4所示：瞬變模型和漸進(jìn)模型的頻譜都包括了轉(zhuǎn)頻(29.31 Hz)、外圈故障特征頻率及其高次諧波(105.0，212.5，317.5 Hz)，與理論結(jié)果一致，但漸進(jìn)模型的頻率幅值更大，故障特征更為明顯。

圖4 外圈單點(diǎn)故障軸承瞬變模型與漸進(jìn)模型的低頻段頻譜Fig.4 Low frequency spectrums of transient model and progressive model for bearing with single point fault in outer ring

為進(jìn)一步證明所建模型的正確性，分別在1 000，2 000，3 000，4 000和5 000 r/min轉(zhuǎn)速下進(jìn)行仿真，結(jié)果見表2：不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)頻相對誤差均小于3%，故障特征頻率相對誤差則不大于0.5%，充分驗(yàn)證了所建立模型的正確性。

表2 不同轉(zhuǎn)速下軸承轉(zhuǎn)頻及故障特征頻率理論值和仿真值的對比Tab.2 Comparison between theoretical values and simulation values of bearing rotational frequency and fault characteristic frequency under different speeds

3 試驗(yàn)研究

采用美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)臺(tái)滾動(dòng)軸承驅(qū)動(dòng)端的數(shù)據(jù)[27]驗(yàn)證仿真結(jié)果的有效性，該組數(shù)據(jù)采用SKF6205軸承，轉(zhuǎn)速為1 772 r/min，通過電火花在外圈溝道底部加工一個(gè)直徑0.178 mm的單點(diǎn)故障，其豎直方向的時(shí)域波形及低頻段頻譜如圖5所示，時(shí)域波形基本無法得出任何故障信息，頻譜圖中可以發(fā)現(xiàn)外圈故障特征頻率fe及其倍頻(105.8，212.0，318.2 Hz)，以及軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中背景噪聲引起的干擾頻率。

圖5 SKF6205軸承外圈單點(diǎn)蝕故障的試驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Test results of bearing SKF6205 with single point fault in outer ring

外圈單點(diǎn)故障的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比見表3，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果均接近理論值，故障頻率的誤差在0.82%以下，進(jìn)一步證實(shí)了所建立模型的正確性。

表3 本文模型的仿真結(jié)果與西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)的對比Tab.3 Comparison between simulation results of this model and bearing data of Case Western Reserve University

4 結(jié)束語

本文建立了有潤滑劑條件下滾動(dòng)軸承外圈含局部損傷故障的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步揭示了外圈單點(diǎn)故障的機(jī)理。運(yùn)用模型仿真得到了時(shí)域振動(dòng)位移曲線、速度曲線以及對應(yīng)的頻譜圖，分析發(fā)現(xiàn)外圈低頻信號的主要成分是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻和滾動(dòng)體通過故障特征頻率，新建立的漸進(jìn)模型比瞬變模型更能反映故障的特征信息。通過不同轉(zhuǎn)速下的仿真結(jié)果以及試驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了本文模型的有效性，并證實(shí)了所提出的滾動(dòng)軸承外圈單點(diǎn)故障模型是正確的。