馮桂群

（江蘇省南通師范第一附屬小學(xué)）

人教版教材對(duì)分?jǐn)?shù)五種意義的教學(xué)進(jìn)行了精心的安排與合理的布置。最新審定的人教版教材將“分?jǐn)?shù)五種意義的教學(xué)”分為三個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)，其中第二階段的“分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算”是五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，它是在三年級(jí)上冊(cè)分別教學(xué)了一個(gè)物體的幾分之一（幾）和一群物體的幾分之一（幾）的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，其中就涉及到了分?jǐn)?shù)五種不同意義中的前四種，即關(guān)系（部分與整體的關(guān)系、兩個(gè)同類量之間的關(guān)系）、商（分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系）、直線上的分?jǐn)?shù)，以及分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算等。第三階段即六年級(jí)安排的認(rèn)識(shí)“比”和分?jǐn)?shù)的乘除法運(yùn)算。實(shí)踐中我發(fā)現(xiàn)，目前學(xué)生“分?jǐn)?shù)的意義”學(xué)習(xí)效率較低，其主要原因一是教師沒有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的兩種身份（表示分率或數(shù)量）建構(gòu)清晰的認(rèn)識(shí)和相應(yīng)的解題模型，二是沒有很好地引領(lǐng)學(xué)生在變式、對(duì)比中打破原有認(rèn)知圖式的束縛，實(shí)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)的意義”在更高層面上的知識(shí)順應(yīng)與重構(gòu)。浙江省特級(jí)教師俞正強(qiáng)認(rèn)為：“解決之道是讓學(xué)生先深刻經(jīng)歷關(guān)于量的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，諗熟之后，再經(jīng)歷關(guān)于分率的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上比較兩個(gè)認(rèn)識(shí)的差別，以此解決量與分率的混淆問題?！?/p>

一、在多元表征中內(nèi)化分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義

教學(xué)中，我鼓勵(lì)學(xué)生用不同的表征方式讓具象的分?jǐn)?shù)抽象化，讓抽象的分?jǐn)?shù)形象化，并且把不同表征形式聯(lián)系起來，體現(xiàn)轉(zhuǎn)換，促使學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的概念。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，為了讓學(xué)生真正內(nèi)化“分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系”這一數(shù)學(xué)模型，我們引領(lǐng)學(xué)生開展了以下的表征活動(dòng)。

（一）看圖說分?jǐn)?shù)的含義，在激活與喚醒中積累豐富的表象

先出示平均分的情境圖，讓學(xué)生說說怎樣可以得到以下的分?jǐn)?shù)，是怎么想的。引導(dǎo)學(xué)生完整回答如下：

1.把一個(gè)月餅平均分成（4）份，表示這樣的（1）份就是它的；

2.把一盤面包平均分成（4）份，表示這樣的（3）份就是它的；

3.把一堆糖平均分成（3）份，表示這樣的（2）份就是它的；

4.把一堆糖平均分成（6）份，表示這樣的（5）份就是它的。

認(rèn)識(shí)了單位“1”后，讓學(xué)生再次看著圖和分?jǐn)?shù)說說剛才四個(gè)分?jǐn)?shù)，分別是把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的幾份。

（二）看分?jǐn)?shù)說含義，在逐步抽象中自然生成“分?jǐn)?shù)的意義”

先看圖寫分?jǐn)?shù)，完成教材第47頁的第1～3題，在實(shí)踐中豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生看著4個(gè)抽象的分?jǐn)?shù)，在頭腦里想象相應(yīng)的圖形，并說一說它們各自的含義。學(xué)生回答如下：

在追問中學(xué)生自然概括出分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。

（三）看分?jǐn)?shù)涂顏色，通過由抽象到形象的外化活動(dòng)深刻理解分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義

學(xué)生之前一直在“說分?jǐn)?shù)”，這時(shí)可以提問他們：“你會(huì)‘畫分?jǐn)?shù)’嗎？”讓學(xué)生完成教材上第47頁的第4題“按要求涂色。涂完后，很據(jù)實(shí)際情況，繼續(xù)提問：“有同學(xué)將花朵剩余的三分之二和氣球剩余的二分之一都涂上了喜歡的黃色。黃色的花和黃色的氣球都各有6個(gè)，為什么各自對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)卻不同呢？”

這一問使學(xué)生明白：雖然黃色的花和黃色的氣球都各有6個(gè)，但它們各自所屬的整體不一樣，即每個(gè)單位“1”所含的物體總個(gè)數(shù)不同，平均分的份數(shù)和取的份數(shù)也不同，所以對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)也不同。

在以上過程中，我有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生借助圖形表征、情境表征、言語表征、符號(hào)表征等，經(jīng)歷了由具體到抽象再到具體的多元表征過程，使得有關(guān)分?jǐn)?shù)意義的鮮活表象與抽象符號(hào)間建立起了“非人為”的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，從而真正實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)概念的意義建構(gòu)。

二、在數(shù)形結(jié)合中明確分?jǐn)?shù)的雙重“身份”

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀?！泵鎸?duì)一個(gè)比較復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念，如果我們能借助幾何直觀，用畫圖的辦法把它描述刻畫出來，抽象難懂的概念會(huì)立刻變得簡(jiǎn)明、形象，更利于理解與內(nèi)化。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”第一課時(shí)后半段，我借助畫圖對(duì)比和動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生明確了分?jǐn)?shù)的兩種“身份”：表示具體數(shù)量或倍比關(guān)系。

（一）說生活中分?jǐn)?shù)的具體意義，完善分?jǐn)?shù)“份數(shù)定義”的內(nèi)涵

生：把全班人數(shù)看作單位“1”，平均分成9份，會(huì)打乒乓球的人數(shù)有這樣的5份。

師：我們可以用一條線段來表示總?cè)藬?shù)，將它平均分成9份，其中的5份表示打乒乓球的人數(shù)?？梢姡@里的分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)數(shù)量中部分與整體的關(guān)系。（如圖1）

圖1

生：（齊讀）分?jǐn)?shù)可以表示部分與整體的關(guān)系。

這時(shí)，我出示過渡問題：分?jǐn)?shù)還可以表示怎樣的關(guān)系呢？通過研究學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系，又可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。這時(shí)，又可以順勢(shì)提出一個(gè)相關(guān)的概念：表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)還可以稱為分率。

（二）用直線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)，在幾何直觀中滲透分?jǐn)?shù)的測(cè)量意義

在學(xué)生了解了分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵之后，還可以繼續(xù)延伸：其實(shí)分?jǐn)?shù)還可以用直線上的點(diǎn)的來表示。出示題目：若把直線上從0到1的這一段看成單位“1”，圖2中把單位“1”平均分成了幾份？你能填出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)嗎？獨(dú)自想一想、填一填。

圖2

可以啟發(fā)學(xué)生：括號(hào)里的分?jǐn)?shù)，還可以怎樣填？你是怎么想的？這樣，他們的思維被激活了，順勢(shì)就可以得出結(jié)論：表示整數(shù)1的點(diǎn)，用作為計(jì)數(shù)單位，是作為計(jì)數(shù)單位，是，等等。用不同的分?jǐn)?shù)單位來測(cè)量同一個(gè)對(duì)象，得到的分?jǐn)?shù)是不一樣的，這是真正的數(shù)學(xué)思維。

（三）在首尾互應(yīng)中巧妙拓展，明晰分?jǐn)?shù)的兩種“身份”

分率與數(shù)量是數(shù)形結(jié)合中分?jǐn)?shù)的雙重“身份”，在本節(jié)課的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生明晰分?jǐn)?shù)的這兩種“身份”，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一?？梢酝ㄟ^分?jǐn)?shù)的含義和表示入手，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)分率與數(shù)量的認(rèn)知。使學(xué)生徹底明確分?jǐn)?shù)的兩種“身份?！?/p>

著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙認(rèn)為：“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可以作為起點(diǎn)，但是，不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更抽象的分?jǐn)?shù)定義轉(zhuǎn)移?！蔽野l(fā)現(xiàn)，通過以上的直觀教學(xué)，不僅幫助學(xué)生成功地內(nèi)化了分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義，明確了分?jǐn)?shù)可以表示同一量中部分與整體的關(guān)系或兩個(gè)同類量之間的關(guān)系，還借助直線上的點(diǎn)讓學(xué)生感受了更抽象的表示測(cè)量意義的分?jǐn)?shù)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維、發(fā)散思維與創(chuàng)新思維；同時(shí)，在多媒體的直觀演示中，讓學(xué)生一目了然、易如反掌地認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)還表示具體數(shù)量。通過巧妙設(shè)疑，激發(fā)他們?nèi)パ芯肯鹿?jié)課要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，滲透了分?jǐn)?shù)的商定義，可謂一舉多得。

三、在變式與對(duì)比中完善分?jǐn)?shù)概念的外延

數(shù)學(xué)家開普勒說：“數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的規(guī)律?！苯處熱槍?duì)學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)或易混淆的認(rèn)知誤區(qū)，有意創(chuàng)設(shè)一些變與不變的對(duì)比情境，可以幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵與外延，提升靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，實(shí)現(xiàn)思維的通透和知識(shí)的整體建構(gòu)。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義”（即分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系）時(shí)，很多學(xué)生對(duì)單位“1”概念的相對(duì)性與變化性理解不透，同時(shí)“在這一層面的意義中，在解釋大于1的分?jǐn)?shù)時(shí)存在困難。”最典型的表現(xiàn)就是學(xué)生在完成類似圖3的練習(xí)時(shí)常將假分?jǐn)?shù)寫成了真分?jǐn)?shù)。因?yàn)樗麄儗?duì)誰是單位“1”搞不清，不明白此圖中是將每一個(gè)圖形都看作單位“1”，共有2個(gè)單位“1”，而大括號(hào)表示求2個(gè)單位“1”中涂色部分共有幾個(gè)幾分之一。同時(shí)，學(xué)生還沒有清醒地認(rèn)識(shí)到，只有用一個(gè)集合圏將許多物體圈在一起時(shí)才表示是將一群物體看作單位“1”的。

圖3

為了幫助學(xué)生突破以上的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，澄清認(rèn)知上的誤區(qū)，我在教學(xué)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)時(shí)創(chuàng)設(shè)了以下兩個(gè)重要環(huán)節(jié)。

（一）說說身邊的分?jǐn)?shù)，在變與不變中感受單位“1”的變化性與相對(duì)性

我提出問題：如果將1個(gè)手指看作一個(gè)計(jì)數(shù)單位，那一只手中的手指可以用數(shù)幾來表示？

生：用5表示。

師：如果將5個(gè)手指看作一個(gè)計(jì)數(shù)單位，那其中的一個(gè)手指只能用多少來表示？

師：以此類推，教室里的每個(gè)人相當(dāng)于誰的幾分之一？能說出不同的分?jǐn)?shù)嗎？

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于一桌人的二分之一。

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于4人合作小組的四分之一。

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于一豎排人數(shù)的七分之一。

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于一大組人數(shù)的十四分之一。

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于全班人數(shù)的五十六分之一。

生：我們每個(gè)人相當(dāng)于全年級(jí)人數(shù)的三百三十二分之一。

師：每一份里都是一個(gè)人，為什么會(huì)得到不同的分?jǐn)?shù)呢？

生：?jiǎn)挝弧?”不同。

這時(shí)應(yīng)當(dāng)明確地做出總結(jié)：?jiǎn)挝弧?”不同，就是計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不同。同一對(duì)象用不同的計(jì)數(shù)單位來計(jì)量，得到的結(jié)果也就不同。

（二）用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，在觀察符號(hào)的異同中打破“分?jǐn)?shù)總是小于1”的原有認(rèn)知

圖4

我提出問題：請(qǐng)觀察圖4，它們分別是將幾個(gè)大長(zhǎng)方形看作單位“1”的？涂色部分如何表示？你是怎么想的？

生：第一個(gè)圖是用一個(gè)集合圈將2個(gè)長(zhǎng)方形圈在一起了，表示將2個(gè)長(zhǎng)方形看作一個(gè)整體也就是單位“1”，涂色部分是2等份中的1等份，所以用表示。

師：圖中有集合圈嗎？可見，這里是把什么看作單位“1”的？有幾個(gè)“1”？

生：這里沒有集體圈，所以是將每個(gè)長(zhǎng)方形都看作單位“1”，有2個(gè)“1”。

師：圖中的大括號(hào)表示什么意思？涂色部分一共是幾分之幾？

生：大括號(hào)表示將左右兩邊涂色部分合并起來看，一共有多少個(gè)四分之一？我數(shù)了一下，是7個(gè)四分之一，是

在以上的過程中，我沒有像教材中安排的那樣，直接讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的涂色操作中認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)，而是緊扣知識(shí)的內(nèi)核和學(xué)生的思維誤區(qū)，先明確產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵前提——誰是單位“1”，單位“1”不同，同一對(duì)象的計(jì)數(shù)結(jié)果也是不同的。在巧妙的對(duì)比情境中，學(xué)生明晰了有集合圈的是將一群物體看作單位“1”，沒有集合圈的是將每一個(gè)物體看作單位“1”；在數(shù)一數(shù)或算一算中，學(xué)生創(chuàng)造出了小于1的真分?jǐn)?shù)和等于1或大于1的假分?jǐn)?shù)，從而成功地打破了“分?jǐn)?shù)只能小于1”的認(rèn)知局限，豐富了分?jǐn)?shù)的外延，實(shí)現(xiàn)了有關(guān)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知拓展與重構(gòu)。

四、在正向遷移中建構(gòu)分?jǐn)?shù)雙重身份的相應(yīng)解題模型

學(xué)生學(xué)習(xí)新知的時(shí)候，如果這個(gè)新知與原來的經(jīng)驗(yàn)相吻合的，就容易接受；如果這個(gè)新知需要另起爐灶，那么學(xué)習(xí)就相對(duì)慢一點(diǎn)。因此，我們要尋找到學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的生長(zhǎng)點(diǎn)與銜接點(diǎn)。其實(shí)，分?jǐn)?shù)既可以表示關(guān)系又可以表示數(shù)量的特性，他們?cè)谡麛?shù)的身上就能找到。而且，利用整數(shù)除法建構(gòu)的求每份數(shù)量和兩量倍比關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，可以很完美地遷移到分?jǐn)?shù)意義的實(shí)際運(yùn)用中來，從而突破學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的另一大難點(diǎn)——清晰地分辨出分?jǐn)?shù)的兩種“身份”并用固定的數(shù)學(xué)模型分別求出表示每份分率的分?jǐn)?shù)和表示每份數(shù)量的分?jǐn)?shù)。

為此，我在教學(xué)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”時(shí)，先按教材的安排完成其第49頁例1和例2的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型a÷b=a b；之后，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)將所學(xué)的知識(shí)與整數(shù)除法中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行橫向地勾連與梳理，并引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了相關(guān)的除法模型。

（一）緊扣“平均分”，建構(gòu)求每份數(shù)量與每份分率的數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)時(shí)，要有內(nèi)容的銜接和過渡：通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道了1個(gè)月餅的是個(gè)是帶單位的分?jǐn)?shù)，表示的是具體數(shù)量，而不帶單位的分?jǐn)?shù)1

4表示的是部分與整體的關(guān)系，表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)我們也稱為分率。其實(shí)，我們之前學(xué)習(xí)的整數(shù)也有這樣的特性。然后，提出相關(guān)問題：比如，把8塊餅平均分給4人，每人幾塊餅？8塊餅是4塊餅的幾倍？如何列式？

生：8÷4=2（塊），8÷4=2。

師：這里的2個(gè)“2”，哪個(gè)表示具體數(shù)量，哪個(gè)表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系？

生：2塊餅表示具體數(shù)量，2倍表示的是8塊餅與4塊餅的倍比關(guān)系。

師：在整數(shù)王國里，求每份數(shù)量或是求兩量之間的倍比關(guān)系，都運(yùn)用了什么運(yùn)算來求的？

生：都是用除法來計(jì)算的。

師：這一方法同樣適用于分?jǐn)?shù)王國。比如，“把3塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得幾分之幾塊？每人分得這些餅的幾分之幾？”，這里的兩個(gè)問題中，哪個(gè)是求每份分率，哪個(gè)是求每份數(shù)量？怎么看出來的？

生：第一問求的是每份數(shù)量，因?yàn)楹竺鎺挝唬诙柷蟮氖敲糠莘致?，后面沒有單位。

師：如何用除法來解答？數(shù)量關(guān)系是怎樣的？

這里的第一個(gè)問題是求每份數(shù)量，可以引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中的關(guān)鍵詞，從后往前找出相應(yīng)的關(guān)系式。然后，應(yīng)進(jìn)行小結(jié)：跟整數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)可以表示數(shù)量，也可以表示分率，總數(shù)量÷總份數(shù)=每份數(shù)量，1份數(shù)÷總份數(shù)=每份分率。

（二）緊扣“倍比關(guān)系”，建構(gòu)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的模型

人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”中的例3，是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問題。為了讓學(xué)生借助“倍的認(rèn)識(shí)”來同化“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的新知識(shí)，我做了如下的精心安排。

師：請(qǐng)看，將圖5中的黃彩帶長(zhǎng)度看作一份，紅彩帶有這樣的幾份？紅彩帶長(zhǎng)度是黃彩帶的幾倍？如何列式？

圖5

生：把黃彩帶的長(zhǎng)度看作1份，紅彩帶有這樣的4份，紅彩帶長(zhǎng)度是黃彩帶的4倍，4÷1=4。

師：4÷1=4是根據(jù)怎樣的數(shù)量關(guān)系來列式的？

生：紅彩帶的份數(shù)÷黃彩帶的份數(shù)=倍數(shù)。

師：如果知道紅彩帶是4米，黃彩帶是1米，紅彩帶長(zhǎng)度還是黃彩帶的4倍嗎？如何列式？

生：4÷1=4，用紅彩帶的米數(shù)÷黃彩帶的米數(shù)=倍數(shù)。

師：這是我們?cè)趯W(xué)習(xí)整數(shù)除法時(shí)就掌握的舊知識(shí)。以此類推，如何求黃彩帶的長(zhǎng)是紅彩帶的幾分之幾？

生：也可以說成是用黃彩帶的份數(shù)÷紅彩帶的份數(shù)=分率。師：這里的分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量還是表示兩量間的倍比關(guān)系？怎么想的？

生：這里的分?jǐn)?shù)表示的兩量間的倍比關(guān)系，因?yàn)檫@個(gè)分?jǐn)?shù)后面沒有單位。

師：對(duì)比一下我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍或幾分之幾，都可以怎么計(jì)算？

生：都可以用除法來計(jì)算。

師：我們可以抓住問題中的關(guān)鍵詞，從前往后找出相應(yīng)的關(guān)系式。

紅彩帶的長(zhǎng)度是黃彩帶的幾倍？

紅彩帶的份數(shù)÷黃彩帶的份數(shù)=倍數(shù)；

紅彩帶的米數(shù)÷黃彩帶的米數(shù)=倍數(shù)。

黃彩帶的長(zhǎng)是紅彩帶的幾分之幾？

黃彩帶的份數(shù)÷紅彩帶的份數(shù)=分率；

黃彩帶的米數(shù)÷紅彩帶的米數(shù)=分率。

師：根據(jù)以上的解題方法，你能完成教材中第50頁的例3和做一做中的第2題嗎？請(qǐng)寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和算式。

求表示兩個(gè)量間倍比關(guān)系的分率時(shí)，我們可以像“求a是b的幾倍”那樣，抓住問題中的關(guān)鍵詞，從前往后找出相應(yīng)的關(guān)系式，即前量份數(shù)÷后量份數(shù)=分率，或，前量數(shù)量÷后量數(shù)量=分率。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義中，有這樣一個(gè)問題：把12塊糖平均分給6個(gè)小朋友，每人幾塊？12塊是2塊的幾倍？這一問題學(xué)生對(duì)答如流，可為什么變?yōu)椤鞍?塊糖平均分給6個(gè)小朋友，每人幾分之幾塊？每人分得總塊數(shù)的幾分之幾”，學(xué)生就不知所措了呢？這里只是數(shù)據(jù)變了，數(shù)量關(guān)系并沒有改變。設(shè)身處地地?fù)Q位思考后我發(fā)現(xiàn)，整數(shù)除法中所謂的解答正確，學(xué)生多數(shù)是根據(jù)數(shù)的大小來直接判斷的，是用大數(shù)除以小數(shù)。可是到了分?jǐn)?shù)領(lǐng)域里，靠直覺層面的“懵”是全然行不通的，要想做對(duì)，必須對(duì)每一個(gè)問題的數(shù)量關(guān)系有準(zhǔn)確地把握。我發(fā)現(xiàn)，跟數(shù)學(xué)思維中的順推與逆推一樣，求每份數(shù)量時(shí)都要抓住問題中的關(guān)鍵詞，按從后往前的思路找關(guān)系式。因?yàn)樽罱K問題是求每份數(shù)量，就要用相應(yīng)的總數(shù)量除以總份數(shù)；而求兩個(gè)量之間的分率跟求兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系一樣，要用前量除以后量，按從前往后的順序來找關(guān)系式。通過抓問題、圈關(guān)鍵詞、辨明分率與數(shù)量、明確思維方向找準(zhǔn)關(guān)系式，學(xué)生對(duì)此類問題的認(rèn)識(shí)頓時(shí)徹悟了。至此，利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來解決的實(shí)際問題，跟整數(shù)除法中的歸一問題和倍數(shù)問題等合并建模，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，使得數(shù)的龐大體系與相應(yīng)的解題模型在學(xué)生心中自然生長(zhǎng)，進(jìn)而成功地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)和數(shù)學(xué)智慧地自然提升。

總之，我引領(lǐng)學(xué)生在多元表征中內(nèi)化分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義，在數(shù)形結(jié)合中明確分?jǐn)?shù)的雙重“身份”，在變式對(duì)比中巧妙完善分?jǐn)?shù)的的外延，在正向遷移中建構(gòu)分?jǐn)?shù)雙重身份的相應(yīng)解題模型，在一題多解與算法優(yōu)化中強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義。這樣，有效地促進(jìn)了分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與智慧的自然生長(zhǎng)，提升了學(xué)生的理性思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。