張宗余 應佳成 周偉揚 閆 洪

2019年10月24日，浙江省教育廳開展初中教育質量綜合評價研究，以八年級學生的數(shù)學學科能力為研究對象，采用紙筆測評形式在全省11 個設區(qū)市、96個縣（市、區(qū)）組織實施了抽樣調查與測試。全省樣本總量43668，其中城市學校、縣城學校和鄉(xiāng)鎮(zhèn)農村學校的學生分別占25.8%、27.6%和46.6%；公辦學校、民辦非民工子弟學校和民辦民工子弟學校的學生分別占82.7%、14.6%和2.7%；男、女生分別占52.6%和47.4%。

“問題解決”能力是數(shù)學學科能力的重要體現(xiàn)，數(shù)學學科能力水平測試的內容為：在全面檢測學生的數(shù)學基礎能力水平（包括基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗等的形成水平）的同時，重點測查學生“問題解決”的能力水平。

一、“問題解決”測試背景

1.“問題解決”能力貫穿于國際學生能力評價體系

數(shù)學學習的目的在于解決各種數(shù)學情境中的問題，由于問題解決能力在數(shù)學探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新過程中不可或缺的作用，逐步引起了國內外的普遍關注，數(shù)學問題解決能力作為一種重要的學科素養(yǎng)被引入到國內外課程改革與國際評價的浪潮中。自PISA2003 以來，跨學科問題解決作為重要的素養(yǎng)貫穿于國際學生能力評價的體系，PISA2012 更加倡導學生成為一個積極的問題解決者?！皢栴}解決”能力測試內容包括實際問題和純數(shù)學問題的解決。

2.“問題解決”能力在課程標準中的明確要求

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》中對“問題解決”的界定為：“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識。”可見，問題解決能力的高低是衡量數(shù)學素養(yǎng)的重要指標。

3.“問題解決”是初中生核心素養(yǎng)中的核心

2016 年，北師大林崇德教授領銜的專家團隊所研制的《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式公布，明確了我國中學生發(fā)展核心素養(yǎng)的總體框架與基本內涵。其中，問題解決能力是學生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要方面，更是指向數(shù)學學科素養(yǎng)評價的載體。

從“浙江省中小學教育質量綜合評價2019 年初中監(jiān)測數(shù)學學科報告”中可獲取以下信息：全省學生在“問題解決”能力測試部分的得分率低于整卷，特別是學業(yè)水平D 等的學生其得分率更低，相鄰等級間的差距顯著，監(jiān)測結論為“數(shù)學問題解決”是初中生能力發(fā)展中的薄弱環(huán)節(jié)。

本文將從問題解決能力測評框架、測試主要發(fā)現(xiàn)等角度對本次監(jiān)測所發(fā)現(xiàn)的問題加以分析，并結合分析結論提出改進建議。

二、“問題解決”能力水平測試框架

本次能力水平測試框架綜合借鑒了匈牙利數(shù)學家波利亞的“解題四步驟”[1]、美國心理學家奧蘇伯爾的解決問題過程四個階段[2]、浙教版教材中問題解決的基本步驟[3]等理論基礎，將指向“問題解決”能力指標細分為4 個一級指標和8 個二級指標，一級指標從“信息收集與理解”“計劃探索與制定”“方案實施與改進”“結果反思與拓展”四個方面進行設計。二級指標則是對一級指標的進一步細化，將4 個一級指標分解為8 個具體測試細節(jié)，文章對問題解決能力的分析也將圍繞這兩級指標展開，框架如圖1所示。

圖1 問題解決能力指標框架

三、學生“問題解決”能力測試主要發(fā)現(xiàn)

用能力水平測試的二級指標分析本次監(jiān)測報告中學生能力部分反饋的數(shù)據(jù)，可得到基本結論：浙江省學生在“收集與整理信息”“分析與提煉信息”“探索與尋求計劃”“執(zhí)行與實施計劃”能力方面都有較理想的數(shù)據(jù)反饋，但是“制定與完善計劃”“規(guī)范與改進計劃”“理解與反思結果”“聯(lián)系與拓展結果”等能力不理想，說明學生擅長解決執(zhí)行性的、偏于形象思維的問題，而主動規(guī)劃和拓展的能力較為欠缺。

（一）學生在“問題解決”能力表現(xiàn)中較好的方面

1. 學生根據(jù)圖形、圖表信息，合理分析與表征數(shù)量關系的能力較強

“收集與整理信息”“分析與提煉信息”都屬于“信息獲取和加工能力，包括從給定的信息中查找相關信息、比較選擇所需信息、直接應用信息解決問題等能力集群[4]”，對減少無關因素的干擾、正確解決數(shù)學問題起著極其重要的作用。監(jiān)測數(shù)據(jù)顯示，學生根據(jù)圖形、表格、操作、剪拼等方式讀取信息、處理問題的能力較強。

典型題1：測試卷第8題

如下圖示，將一張紙上下對折，再左右對折，然后剪出局部圖案，將此展開后可以得到一幅圖案。

事實上，這個問題的情境看似復雜，實則不難，線性思維特征明顯，基本思維流程為：

信息收集與理解是解決問題的前提，從問題情境中篩選解決問題的有效信息、剔除無關信息、正確理解信息本身的意義和信息與問題之間的關系、用已有知識經驗解決問題是重要的數(shù)學能力。數(shù)據(jù)顯示，此題正確率高達82.54%，一方面說明圖形信息較為直觀，易于從問題表征發(fā)現(xiàn)本質屬性，因而不同性質學校和不同水平學生的得分率相差不多。另一方面說明，學生圖形信息的感知能力較強，有較強的直觀想象能力。

2. 學生運用有效載體，探索與制定問題解決方案的能力較強

“探索與尋求計劃”“執(zhí)行與實施計劃”需要結合問題特征，提出和建立適當?shù)慕鉀Q問題的數(shù)學模型，并進行簡單的可操作性分析，最終形成明確、合理的解決問題的方案，能否制定出合理、可行的方案是問題解決的關鍵環(huán)節(jié)。數(shù)據(jù)顯示，多數(shù)學生能夠積極探索條件與所要解決的問題之間的內在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解決問題的各種可能途徑，選擇合適的數(shù)學模型，形成解決問題的初步方案，并在多種可行方案中尋求最優(yōu)化方案。

典型題2：測試卷第16題

如圖，量得1 個羽毛球高9cm，若2 個羽毛球疊在一起，則高為11.5cm。現(xiàn)在把若干個羽毛球疊在一起裝進一個圓包裝桶里，桶蓋厚度不計。

（1）如果這個圓包裝桶的長度為13.5cm，桶內能否裝下3個羽毛球？為什么？

（2）如果這個圓包裝桶的長度為37cm，桶內最多能裝幾個羽毛球？

第（1）小題典型解答方法如下：

∵2 個緊疊在一起的羽毛球高為11.5cm，1 個球高9cm，而11.5－9＝2.5，

∴3 個緊疊在一起的羽毛球高為11.5＋2.5＝4cm＞13.5cm，

∴不能裝下3個羽毛球。

此題平均得分6.41 分，得分率80.12%。通過對羽毛球疊放的數(shù)量關系分析，發(fā)現(xiàn)其具有“等距”增長的特點。事實上這是一次函數(shù)模型的典型特征，根據(jù)這一特點綜合運用畫圖、列表等手段即可解決問題?？傮w得分情況較好，表明學生運用有效載體，探索與制定問題解決方案的能力較強，這與日常教學比較重視學生間的方法交流和相互的評價建議相一致。這種典型的解答方式屬于算術方法，問題解決方式較為直觀，只需通過收集問題中的文字信息和圖形信息，并能通過對球高、疊起后的高出部分等的計算，推斷出問題的結論即可，說明學生在解決問題的過程中，更傾向于選擇簡單、直接的解題方式。

（二）學生在“問題解決”能力表現(xiàn)中有待提高的方面

1.“制定與完善計劃”的能力有待加強

制定與完善計劃的能力融于問題解決的全過程，決定了問題解決的結果是否完備合理?！皬哪撤N實際意義上說，計劃是一種主控機制，它的作用是保證進行的活動是有益的（盡可能做到最好）”。[5]問題解決往往是思維的完善程度的體現(xiàn)，常見的重復、遺漏等弊病是由于制定與完善計劃的能力欠缺。本次監(jiān)測數(shù)據(jù)顯示，學生在計劃的有序性、嚴謹性上所表現(xiàn)出的能力差異較大，規(guī)劃能力需要加強。

典型題3：測試卷第7題

如圖，有兩個全等的直角三角形硬紙片，它們的兩條直角邊為2 和4.用這兩個紙片可拼出各種不同的凸四邊形，畫出所有符合要求的四邊形.

本題考查學生對圖形變化以及四邊形概念的理解水平，需要以圖形變化為基礎，設計合理的分類標準，有序討論，不重復不遺漏，梳理出各種圖形組合，再進一步做出選擇。但是監(jiān)測反饋出學生往往不能有序分類，題目理解能力也存在問題，存在拼成三角形、直角邊與斜邊重合、少畫圖形、畫出凹四邊形、多畫圖形、分類重復等錯誤，表明教學中缺乏有效的分類思想的滲透，缺乏有效的分類標準的體驗。畫法的無序與解題規(guī)劃有關，教學中要注意通過解決問題策略的培養(yǎng)提高問題解決能力。事實上，有效的規(guī)劃如下：

能否制定合理的問題解決策略，決定了能否有效覆蓋和兼顧問題的全部內涵與外延，決定了解決問題是否周密完備，決定了問題解決水平，需要引起重視。

2.“規(guī)范與改進計劃”的能力有待加強

規(guī)范與改進計劃的能力是一種邏輯能力，需要對問題進行綜合的觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷，采用科學的有邏輯的方法，準確而有條理地表達自己的思維過程。從測試結果看，學生缺乏主動修訂和改進計劃的能力和意識，絕大多數(shù)學生在固定的思維框框中考慮問題，缺少主動突破的精神。

典型題4：測試卷第18題

小明騎車從家出發(fā)，到超市替媽媽買鹽，買鹽后原路騎車回家。若小明8:00 從家里出發(fā)，8:15 回到家里，家離超市為a米，設離家的時間（分鐘）用x 表示，離家的距離（米）用y表示，x，y間的函數(shù)關系如圖所示.

（1）以下求得的兩個量，具有什么實際意義？

（2）若小明騎車從家到超市要經過一公交站，且公交站與家的距離為300 米。若小明在8:01 時經過此公交站，問小明什么時候與此公交站相距900米？

（3）在原題的內容中添加一個條件，請你提出一個問題（只要寫出添加的條件和問題，不必解答）.

條件：_________________________________.

問題：_________________________________.

通過小明在家和超市間行走這個情景下的行程問題測試，考查學生對函數(shù)圖象的認識、對數(shù)形結合等思想方法的掌握程度。但是此題平均得分只有2.87 分，得分率47.83%。第（1）小題“具有什么實際意義”這一問題得分率僅為22.20%，說明學生習慣于解答條件不多不少、條件都不矛盾的常規(guī)習題，反應出對問題信息和結果的分析、處理及反思評價能力的不足。第（2）小題得分率為44.70%，學生對問題解決有一定的思路，但是在進一步解答時，缺少更深刻的分析。第（3）小題需要學生通過對問題的解答做出反思、提出問題，考查學生是否具備一定的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

綜合看，規(guī)范與改進計劃能力相關的問題總體得分偏低，表明學生反思問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題等與邏輯相關的能力有待加強，需要學會有邏輯地思考問題，能夠在比較復雜的情境中把握關聯(lián)，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神。

3.“理解與反思結果”的能力有待加強

對復雜的問題提出有見解的解決方案的同時，需要能根據(jù)情境做出一定的預測[6]。但是對于一些常用問題結論的遷移，學生的表現(xiàn)也不盡人意，稍加變式之后，學生調取知識經驗的水平就大打折扣，反映出對解題過程缺乏回顧和反思，解題活動停留在經驗水平，缺乏自我評價和理性認識。

典型題5：測試卷第9題

在平面直角坐標系內，函數(shù)y＝2x－3 的圖象是直線l，將一張透明紙片覆蓋在直線l上，在紙片上用筆描出直線l上的一個點?，F(xiàn)在先將紙片沿x軸負方向平移2 個單位，若要使描在紙片上的點重新落在直線l上，則可以再將紙片（ ）

A.沿y軸正方向平移1個單位

B.沿y軸負方向平移1個單位

C.沿y軸正方向平移4個單位

D.沿y軸負方向平移4個單位

此題平均分1.93，得分率48.35%，結果不夠理想，這是常見的一次函數(shù)變式問題，只需合理遷移一次函數(shù)知識經驗即可解決，實測反映出學生對于“新”問題缺乏策略性的思考和解決方法，能力發(fā)展和經驗積累不平衡，遷移能力不理想，這就需要反思，需要對所解決的問題加以總結回顧，針對問題解決過程中的“模糊部分”調取已有經驗再次思考，查漏補缺，完善解題結構。

4.“聯(lián)系與拓展結果”的能力有待加強

事實上，問題解決的過程就是學生調用已有知識經驗，遷移解決新問題的過程，也包括用更高的觀點看問題，反思提升的過程，這是在知識和能力之間建立聯(lián)系的重要過程。綜合來看，學生在拓展與聯(lián)系方面表現(xiàn)出的能力差異較大，需要加強。

用聯(lián)系與拓展的視角重新審視測試卷中的第16題，此題平均得分6.41 分，得分率80.12%，前文已經做過分析，但是需要注意的是，如此高的得分中調用數(shù)學模型解決問題的學生較少，事實上，此題用函數(shù)建模方法解決更具有一般性：

設有x個羽毛球緊疊在一起，高為ycm，

由題意知，y與x成一次函數(shù)關系，

設y＝kx＋b，可得y＝2.5x＋6.5，

當x＝3 時，y＝14，14＞13.5，故不能裝下 3 個羽毛球。

但是這種解法只占到2.1%，總體反映出學生運用函數(shù)、方程、不等式等建模解決問題的意識和能力有待加強。

2019 年省測初中綜合報告數(shù)據(jù)表明，總體上浙江學生學習策略水平分布存在一定差異，學生學習策略總體上水平分布不太理想。全省學習策略高水平學生僅占8.7%，有42.8%的學生學習策略水平一般。其中，資源管理策略相對較好，呈正態(tài)分布；認知策略和元認知策略高水平學生分別占9%和9.8%，認知策略水平一般的學生超過50%。上述數(shù)據(jù)表明，浙江省初中學生學習策略還有較大提升空間，數(shù)學教師亟待加強對數(shù)學問題探究內部影響因素的分析，加強對學科策略教學的研究。

圖2 浙江省初中生學習策略及其維度水平分布

四、影響問題解決的因素及改進建議

（一）影響問題解決的因素

1. 教學理念的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

監(jiān)測通過教師綜合問卷調查了教師的“教學評一致性”理念，依據(jù)教師對自身在課堂教學目標定位、學生學情研判、課堂學習活動、課堂練習、家庭作業(yè)等環(huán)節(jié)的準確性或匹配性作出評價。綜合報告第五章得出結論：數(shù)學學科教學評一致性越高，學生的數(shù)學學業(yè)成績相對越高。對于不同區(qū)域，數(shù)學教師教學評一致性不同水平對學生數(shù)學學業(yè)成績的促進作用有差異。教學評一致性（以鄉(xiāng)鎮(zhèn)農村為例）水平從低（467.7）到較高（481.9）到高（489.6），數(shù)學學科的量尺分①量尺分：大規(guī)模測試的分數(shù)報告形式之一。通過采用某種測量模型，將學生在學科及其維度上的原始作答情況轉換成測試標準分數(shù)的過程。與原始分相比，量尺分的優(yōu)越性在于對不同時間、內容和難度的測試的結果，可采用統(tǒng)一的標準來進行衡量、比較。本次監(jiān)測采用項目反應理論模型，依據(jù)學生原始作答模式，將其在學科上的能力分數(shù)轉換成平均分為500分、標準差為100分的量尺分；在各學科分維度上的能力分數(shù)轉換成平均分為300分、標準差為50分的量尺分。從467 到482 到489 明顯提升。統(tǒng)計檢驗表明，教學評一致性低、教學評一致性較高、教學評一致性高三個不同水平對應的學生數(shù)學學業(yè)成績有顯著差異。教學評一致性水平低時，教學方式的改進促進學生學業(yè)成績提升的空間有限。教學評一致性水平處于較高和高水平時，教學方式促進學業(yè)進步的積極效應相對更大。

2. 教學方式的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

調查表明，教學方式越好的教師，所教學生的學習動力指數(shù)相對越高。教學方式（以城市為例）從一般（63.9）到較好（74.2）到好（84.3），學生的學習動力指數(shù)從65 到72 到83，統(tǒng)計檢驗表明教學方式一般、教學方式較好、教學方式好三個不同水平對應的學生學習動力指數(shù)有顯著差異。

通過教師教學方式對學生學習影響的回歸分析數(shù)據(jù)結果可知，教師教學方式對學業(yè)成績、高層次能力得分率、學習動力指數(shù)、學習策略指數(shù)均有顯著正向預測作用。從R2系數(shù)來看，教師教學方式對學習策略、學習動力的影響力更大。學校層面教師教學方式指數(shù)平均值每提高1 分，學校層面學生學習動力指數(shù)平均值可提高0.523分，學習策略指數(shù)可提高0.602分（非標準化回歸系數(shù)）。

浙江初中數(shù)學教師在數(shù)學學科教學能力方面總體表現(xiàn)良好，教師們普遍有較好的教學策略，善于借助團隊力量，善于積累和使用各種資源，重視對學生解題能力的培養(yǎng)，重視教學方法以及對學生認知策略的激發(fā)，以生為本的意識很強，能夠較好地進行自我評估以及對學生學習表現(xiàn)進行評估。但是調查中部分數(shù)據(jù)也反饋出教師們在學科理解方面還有一定的提升空間，憑經驗處理教學，以“解題”代替“問題解決”，主動學習意識欠缺，在教學理念方面存在分化現(xiàn)象，整體學科專業(yè)水平還需要加強引領。

3. 策略規(guī)劃的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

本次監(jiān)測從影響數(shù)學學業(yè)質量的各因素分別進行回歸分析。影響因素主要包括學習動力因素和學習策略等因素。

從回歸分析的標準化系數(shù)可知，影響學生數(shù)學學業(yè)質量的首要自身因素依然是學生學習的內部動力，其次是數(shù)學問題解決策略，再次是元認知策略。因此，提升學生數(shù)學學業(yè)質量，去除學生學習內部動機因素之外，在教學過程中需要重視教會學生數(shù)學分析的方法思路及對基本概念的清晰理解。此外，需要幫助學生在問題解決過程中形成監(jiān)控、反思和靈活調整思路的習慣，教師的探究性教學方式具有無可替代的價值。

4. 學習品質的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

學生是否具備良好的自主學習品質，是衡量學生是否學會學習的重要尺度。主要指學習內部動機。

圖3 表明，“在學習中能獲得樂趣”一題中，選擇“完全符合”的學生占比為16.2%，“喜歡挑戰(zhàn)性的學習任務”一題中，選擇“完全符合”的學生占比為14.0%，在“努力學習對未來工作生活有幫助”一題中，選擇“完全符合”的學生占比達到了42.8%。這也充分表明，學生學習品質是問題解決的關鍵影響因素。

圖3 學生學習動力的若干典型樣題

（二）改進建議

1. 用科學的教學理念指導教學

教師要積極改進自己的教學理念，加強理論學習，重視基礎教學。例如要重視概念教學：這是由于概念本身是數(shù)學學習的重要內容，又是后續(xù)學習的核心支持，是計算學習、問題解決的基礎。再比如，要重視基礎運算能力的培養(yǎng)：學生要能夠根據(jù)法則和運算律正確進行運算，并且理解運算的意義和原理，要能夠根據(jù)具體情況選擇合理簡潔的運算方法，這都是問題解決能力的基礎。教師要加強自身學習，注重理念提升，重視學生四基四能的落實，重視對學生核心素養(yǎng)的培育。

2. 用積極的教學方式引導學習

學生為什么不會聯(lián)想、不敢關聯(lián)？教學方式是影響問題解決能力培養(yǎng)的重要因素。教師要主動嘗試和探索更為合理有效的教學方式，研究課標、研究教材、研究學生，以學生的素養(yǎng)提升為立意，在單元整體視角下看問題，教會學生思考的方式，教會學生基本的研究方法，幫助學生積累研究經驗，自覺地將教學內容與學生的發(fā)展聯(lián)系，讓學生學得主動、積極，使教學內容實現(xiàn)其本應有的價值。教師需要揭示知識中蘊含的思想方法，在教學過程中進行滲透，培養(yǎng)學生思維方式和邏輯思維能力，使其能在解決各種問題（不僅是數(shù)學問題）中發(fā)揮作用。

3. 用有效的教學策略培養(yǎng)思維

本次“問題解決”能力測試情況表明，不少學生在解決問題時存在以下不足：不能有效篩選信息，不能對所提供的數(shù)學信息作有效的關系分析，缺乏正確的解題思路與解決策略，不能根據(jù)已有信息提出有價值的問題等。這些現(xiàn)象不僅存在，而且具有一定的普偏性。建議幫助學生逐步養(yǎng)成理性思維的習慣：運用問題式、整體性的知識載體，驅動運用探索、分析思考的習慣養(yǎng)成，關注怎樣教，關注一題多解，關注解法的共性；逐步養(yǎng)成感性表達的習慣；運用情景式、活動性的實踐載體，驅動運用語言、文字表達的習慣養(yǎng)成——最終達到學科核心素養(yǎng)的生成。

4. 用良好的習慣培養(yǎng)提升品質

增強學習內驅力，創(chuàng)造良好的數(shù)學學習氛圍，培養(yǎng)自主學習習慣、總結反思習慣、制定計劃的習慣等，“關注問題解決的過程，回顧問題解決的過程，總結問題解決的過程，鍛煉學生挖掘和抓住事物本質的能力，培養(yǎng)學生問題解決過程中優(yōu)化的思想，對自我思維進行監(jiān)控和調整”[7]，引發(fā)深度學習的發(fā)生，促進問題解決能力的培養(yǎng)。