王翠巧 (人民教育出版社課程教材研究所 100081)

蔡金法 (美國特拉華大學數(shù)學系和教育學院 19716)

作為《數(shù)學教育研究手冊》的第三冊，本書主要綜述了數(shù)學教育中關于學生、教師和學習環(huán)境的最新研究成果，是前兩冊中介紹的理論和研究方法在這些具體領域的運用．第三冊包含了這套手冊的11章內容(第21～31章)，其中前六章依次探討了語言的多樣性、種族、身份認同、性別、數(shù)學參與及具身認知等領域的研究(第21～26章)；接下來的三章介紹了課堂對話、數(shù)學教學實踐以及教師專業(yè)發(fā)展方面的研究(第27～29章)；最后兩章討論了能夠支持學生學習和教師教學的相關領域的研究：課程研究與現(xiàn)代技術(第30、31章)．

本文首先簡要介紹各章內容，接著選取這冊書中幾個具體的研究結果進行詳細介紹，最后一部分提出幾點閱讀建議．

1 各章主要內容簡介

數(shù)學語言既是數(shù)學學習的結果，又是數(shù)學學習的媒介．盡管數(shù)學語言的統(tǒng)一性相對較高，但不同種族的語言還是有所不同的，這直接影響了數(shù)學的學習方式．除此之外，和種族、性別等相關的社會身份也影響著學生的學習．這些組成了本書前四章的主題：語言、種族、身份、性別與數(shù)學．

數(shù)學可以看成是一種專門的語言．和日常語言相比，它具有自身的獨特性，如抽象性、簡潔性、形式化等，因此數(shù)學的學習具有獨特性．同時，數(shù)學的學習又依賴于日常語言，它是通過日常的語言交流來進行的．那么語言和數(shù)學到底有著怎樣的關系？不同的語言環(huán)境對數(shù)學學習有什么影響呢？第21章就介紹了在語言多元化環(huán)境下進行的數(shù)學的教與學．這一章首先介紹了數(shù)學教育中語言多元化研究的歷史背景．接下來從人類認知、語言交流和社會政治三個角度，考察了相關研究．其中以認知為導向的研究，主要基于數(shù)學學習是要獲取知識的觀點，考察了第二語言環(huán)境對數(shù)學學習的影響．

數(shù)學作為一種文化活動的產物，必然會受到不同種族文化的影響，這種影響可能是正面的，也可能是負面的．那么如何利用好種族有關的文化，使其成為一種優(yōu)勢來促進學生的數(shù)學學習呢？這就是第22章要探討的問題．該章梳理了5個和種族相關的研究主題(比如，研究學生的種族身份對其數(shù)學學習經(jīng)歷的影響)，探討了種族是如何影響課堂層面的教與學，以及種族是如何在社會層面影響數(shù)學教育的等問題．最后為研究者們提供了研究種族與數(shù)學教育的四個指導性問題：(1)在這一研究中，種族是如何定義的？(2)在這一研究中，誰或什么被種族化了？為什么？(3)在這一研究中，對種族的看法是什么？種族因素對數(shù)學學習和參與有何影響？(4)這一研究對該領域和社會中普遍存在的種族認識有何貢獻？

關于身份的研究，雖然在我們國家沒有太多涉及，但是近年來在美國的數(shù)學教育領域卻日益突出．每個人在學習數(shù)學時，都對自己有一個定位或預期.比如有的女生覺得數(shù)學是男生學習的學科，自己不一定要學數(shù)學，即使學也學不好；這是一種數(shù)學的自我身份認同．當然，對數(shù)學學習的身份認同還可能來自他人.比如人們通常認為，黑人學生數(shù)學差，亞裔學生數(shù)學好．這些觀點把數(shù)學學得好和特定的身份相掛鉤，勢必會對數(shù)學的學習產生消極的影響．而數(shù)學是面向大眾的，每個人都需要學習數(shù)學，因此構建積極的數(shù)學身份認同，讓學生認為自己有能力學好數(shù)學就顯得尤為重要，這正是第23章希望做的工作．這一章首先區(qū)分了個人身份(與特定社會情境相關聯(lián))和成員身份(與種族、性別、語言等有關)；接下來討論了有關個人身份的研究，并對有關個人身份與成員身份的關系的研究成果進行了綜述；最后指出了這些研究對于構建積極的數(shù)學身份認同的啟示．

近些年的研究表明，雖然男生和女生的整體數(shù)學成績差異很小，但是男性在高數(shù)學成就者中的比例明顯較大．此外，自信心和職業(yè)選擇方面也存在著明顯的性別差異．這些都說明數(shù)學教育中的性別差異仍然值得關注．第24章就聚焦于性別和數(shù)學的研究，重點闡述了男女生在數(shù)學成績和職業(yè)選擇方面一直存在差異的原因．這一章指出，為了改變女性在數(shù)學相關領域占比低這一現(xiàn)狀，需要對性別的刻板印象、教師的數(shù)學焦慮、學習者的自我認知、早期干預的價值等進行更為系統(tǒng)深入的研究．

有一句諺語說得好：“你可以把馬牽到河邊，但是你不能強迫它喝水．”如果把這句諺語應用到學生的數(shù)學學習中，實際上就強調了學生參與數(shù)學活動的情感因素，特別是學習的動機．第25章就試圖通過對數(shù)學參與進行深入的剖析，來闡明以下兩方面的問題：一是動機等情感因素是如何作為媒介來讓我們學習數(shù)學的，二是如何在數(shù)學的學習中培養(yǎng)學生的數(shù)學情感，讓他們進行深度的有效參與．

我們知道，語言是傳遞信息的一種重要方式，但數(shù)學課堂教學中的信息并不總是通過語言來傳遞的，它還可以有別的傳遞方式，比如肢體動作、手勢等，這就產生了一個新興的研究領域——具身認知．同第21章研究語言對數(shù)學學習的影響一樣，第26章探討了如何將這些信息的傳遞方式最大限度地利用起來，以促進數(shù)學的學習．

課堂教學實際上是一種師生互動的過程，那么師生互動到底如何動？我們經(jīng)常說，以教師為主導，以學生為主體．這句話雖然重要，但對課堂教學的實際指導意義不大．教師應該如何去主導？主導到什么程度？怎么做才算突出學生的主體地位？主導和主體如何區(qū)分？實際上，課堂教學是通過師生的言語互動來進行數(shù)學活動，進而達到讓學生學習數(shù)學的目的的．那么如何看待課堂中師生的語言互動？其在數(shù)學學習中扮演的角色是什么？第27章通過介紹不同的理論流派，考察了課堂言語互動給學生提供的學習機會．

第28章和第27章類似，都是考察如何通過一些教學實踐活動，使得課堂教學給學生提供的學習機會最大化．第28章講到了兩個更為具體的教學實踐：教師關注和引領討論．教師關注是近十幾年來比較熱門的研究領域，它指的是教師在課堂教學中注意到學生所言所行，并作出即時性決策的一種能力．而引領討論一直以來都是研究的熱點，它反映了教師組織安排數(shù)學活動的方式．教師關注和引領討論作為兩個教學專長，都直接影響了學生的學習機會，都需要進行特別的訓練．這一章就介紹了在課堂教學中教師是如何進行課堂關注和引領討論的，以及如何去訓練教師進行特別的關注和引領討論，來促進學生的學習．

教師作為專業(yè)人士，需要不斷地進行專業(yè)提高，這里的專業(yè)提高既包括教師的學科內容知識的提升，也包括教師教學知識的提高．那么如何幫助教師進行專業(yè)提高呢？這一直是數(shù)學教育領域的一個研究課題．第29章就以不同的專業(yè)發(fā)展項目為例，介紹了有關教師專業(yè)發(fā)展的最新研究．

課程不僅是教師學習的媒介，也是課堂上學生學習的資源，它在很大程度上決定了學生的學習機會．因此課程的演變在歷次數(shù)學教育改革中都是很重要的一個抓手．第30章從預期課程、執(zhí)行課程和獲得課程三個層面來考慮有關課程的研究，其中預期課程主要指教科書的作者對數(shù)學應該教什么和如何教的期望，體現(xiàn)了教育目標；執(zhí)行課程體現(xiàn)的是課堂目標；獲得課程指的是學生實際所學到的．這一章最后，作者呼吁未來的數(shù)學課程研究需要改進研究方法，進行更多的跨國研究和縱向研究，協(xié)調不同的概念框架，重視數(shù)學課程知識庫的建設．

信息技術的飛速發(fā)展，使得各個領域都在發(fā)生著前所未有的變化，教育行業(yè)也不例外．具體到數(shù)學的學習，信息技術對其有什么樣的影響？會帶給學生哪些新的學習機會呢？第31章就呈現(xiàn)了有關技術在數(shù)學學習中的作用的最新研究．這一章按照在數(shù)學學習中使用技術的四個目的，分類討論了和數(shù)學學習有關的信息技術．對于每個目的，都從生產力和變革兩個方面進行了討論，其中生產力維度強調的是技術會影響數(shù)學；而變革維度則強調，技術會徹底改變數(shù)學的教與學．

2 一些結果及特點

這本書涵蓋了數(shù)學教育領域的眾多研究主題，其中涉及的結果和方法對數(shù)學教育工作者都是十分有價值的，限于篇幅，我們很難一一列出.本文希望通過聚焦兩個研究問題，帶領讀者進入這本書的某一段話、某一小節(jié)、某一章甚至是緊密關聯(lián)的某幾章，進而去暢游整本書．接下來我們重點介紹兩個跟實際教學密切相關的研究結果．

2.1 關注學生性別差異

我們知道，學生的個體差異是多方面的，比如語言背景、種族、性別等．只有充分了解學生的個體差異，才能更好地利用他們的語言的、文化的特征，為他們提供學習機會．例如，第24章“性別與數(shù)學的研究”就提到了和數(shù)學有關的性別差異．

首先，不同的內容領域(或數(shù)學問題類型)有著不同的性別優(yōu)勢．比如有研究表明，在解決度量方面的問題時，如果這個問題只是對公式的簡單運用(例如，已知長方形的長和寬，求長方形的周長或面積；或者已知周長和長、寬中的某一個量，求另一個量)，女孩往往比男孩表現(xiàn)得好；而如果這個問題需要進行空間關系推理或空間想象時，例如，求不規(guī)則的空間幾何體的體積(圖1)[1]，或者估算地圖上兩點間的距離(圖2)[1]，男孩一般表現(xiàn)得特別好．

圖1 圖2

其次，解決數(shù)學問題的方法上存在著性別差異．比如，一項研究發(fā)現(xiàn)：德國的小學女生在一些通過計數(shù)或畫圖來解決的題目上表現(xiàn)得更好，而男生在一些隱含著逆向推理的題目(如含有缺項的題目)上得分很高．再比如，美國的一項研究表明，在解決一道有關比例推理的應用題(某部電梯能承載20個兒童或15個成人，如果這個電梯里已經(jīng)有12個兒童，那么它還可以容納多少個成人)時，女生使用程序性的、按部就班的方法(圖3)[2]或直接用加減法(比如，20-15=5，12-5=7或20-12=8，20-15=5， 8-5=3)的頻率幾乎是男生的兩倍．

圖3

最后，男女生的空間思維能力也有所不同．有研究發(fā)現(xiàn)：雖然女性在記憶空間位置方面有優(yōu)勢，但是大多數(shù)的空間思維能力顯示出了不同程度的男性優(yōu)勢．這也解釋了前面提到的，當度量問題涉及空間思維時，男生往往表現(xiàn)得更好．

造成數(shù)學學習的性別差異是多方面的，我們重點介紹和教師有關的影響因素．首先，教師關于性別的刻板印象會影響他們對學生的數(shù)學能力的看法．比如，有研究發(fā)現(xiàn)，只有當美國小學教師認為女生比男生學習更努力、表現(xiàn)更好時，他們才把女生與那些成績相當?shù)哪猩灰曂剩@就可能導致女孩在課堂上更勤奮，并做出更多的取悅教師的行為，在解決問題時更容易遵循教師教授的方法．其次，教師自身的數(shù)學焦慮也會影響女生的數(shù)學成績．研究表明，低年級的數(shù)學教師大多是女性，而女教師比男教師有著更高的數(shù)學焦慮，這種焦慮會潛移默化地傳達給學生，會對女生關于“誰擅長數(shù)學”的信念產生負面影響，并最終影響女生的數(shù)學成績．

明晰了問題和原因后，教師如何進行有效的干預呢？第24章提出了一些可以借鑒的措施．比如，教師應該放棄在數(shù)學課堂上獎勵好女孩的做法，應該鼓勵女孩去“冒險”，去探索新的解題方法，去學會對數(shù)學問題進行推理；教師要充分利用信息技術等支持學生學習的資源，并通過一些教學手段來提高女孩的空間思維能力；教師要學著改變自身對數(shù)學學習的性別差異的刻板印象，減少自身的數(shù)學焦慮；教師可以幫助女孩調整心態(tài)，使她們遠離“自己的數(shù)學能力是固定的”等想法．

2.2 利用技術支持改善教學

第31章“學習數(shù)學的技術”從多個維度整理了技術在數(shù)學中的作用，無疑是十分有價值的．這一章的一個獨特之處在于把技術與基于科學的學習理論相聯(lián)系，應用學習理論來指導數(shù)學學習中的技術應用．下面舉三個具體的例子．

“認知負荷”理論認為，人類在短時記憶、信息處理等方面都存在著局限性，當需要處理的任務或信息的認知要求超過這些限制時，人類的表現(xiàn)就會受到影響．按照“認知負荷”的理論，在使用信息技術時就可以適當?shù)剡M行“勞動分工”，即可以把數(shù)學學習的工作在人和信息技術工具之間進行分配，把一些不太重要的學習任務交給信息技術工具，讓學生騰出更多的精力去解決一些高認知需求的數(shù)學任務．比如，利用信息技術可以快速、準確地進行計算的特點，在數(shù)學學習時可以適當使用計算器，以減輕學生常規(guī)的計算負擔，讓他們更多地關注更深層次的學習目標．

在數(shù)學的學習中，進行練習是不可或缺的，什么樣的練習可以保證最優(yōu)學習效果呢？這個問題很難有一個確定的答案，認知科學方面的文獻為我們提供了一些基礎的原則和建議[3]．按照認知科學的理論，顯然信息技術在優(yōu)化數(shù)學技能練習方面有著不可比擬的優(yōu)勢．比如，就練習的間隔而言，分散練習效果要比集中練習效果好[3]，而信息技術可以比教師或學生自己更容易實現(xiàn)間隔機制，讓學生定期練習或復習較早時候掌握的數(shù)學技能．對于學生練習中出現(xiàn)的錯誤，給予及時的反饋要比延遲反饋更有利于學生的學習[3]，利用在線系統(tǒng)，在學生做完作業(yè)或者測試后，不用等待教師批改，就可以及時給予反饋，甚至是提供詳細的解析步驟，而且可以生成相關的錯誤報告供教師參考．再比如，變式的練習題目比相似的題目更有利于學生掌握知識[3]，信息技術可以根據(jù)每個學生的練習情況，提供針對性的變式題目或進階題目等個性化的學習資源，為他們提供更好的學習機會．

使用技術還可以促進對數(shù)學概念的理解，這里的概念是廣義的，指的是數(shù)學對象以及思想方法等之間的關系或聯(lián)系．信息技術在這方面的作用，一般和心智模型理論有關．我們知道，在數(shù)學學習中經(jīng)常要運用一些形式化的法則(比如代數(shù)中的運算法則或者幾何中的變換法則)．按照心智模型理論，人們理解并運用這些運算或變換的過程是在腦海中通過想象進行的，顯然這是非常困難的．我們經(jīng)常說數(shù)學要靠理解，不是死記硬背．那么信息技術就可以通過構造一個直觀的、可操作的、遵循這些規(guī)則的計算機模型，并且允許學生進行人機交互，使得原本只能在頭腦中想象的過程有了具體的載體，變得可視化和直觀化，學生理解及運用這些規(guī)則就會容易很多．比如，如何發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學性質，即如何在一個數(shù)學變化過程中發(fā)現(xiàn)不變的東西？以三角形的垂心為例，在信息技術軟件中，學生任意畫出三個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形以及三角形中的各種度量關系及位置關系組成的一個幾何系統(tǒng)就唯一確定了，作出這個三角形的三條高，容易發(fā)現(xiàn)它們交于一點．這是巧合還是必然？如果沒有信息技術，要去判斷并驗證這件事就只能借助紙筆和直尺多畫幾個三角形，這種通過離散的、靜態(tài)的幾個特例得到的結果總是不大能讓人信服，借助信息技術就可以隨意地、連續(xù)地拖動三個頂點，那么整個系統(tǒng)(三角形及相關的度量關系和位置關系)就會動態(tài)地隨之變化，在這個變換過程中發(fā)現(xiàn)：三條高始終交于一點．比如，△ABC的兩個頂點B,C保持不動，連續(xù)地拖動A(圖4)．這就是說，借助信息技術我們很容易發(fā)現(xiàn)變化中的不變性，也就是數(shù)學性質．

圖4

3 閱讀建議

基于本書的內容和特點，我們提出一些閱讀建議．

3.1 用聯(lián)系的眼光閱讀本書

雖然每章都有一個核心主題，但是不同章節(jié)中有些內容是有聯(lián)系和交叉的，又或者有的主題可能出現(xiàn)在不止一個章節(jié)中，只是每個地方的側重點有所不同，希望讀者能在閱讀中發(fā)現(xiàn)其內在的聯(lián)系．比如要解決第21章中的語言多元化、第24章中提到的教師的數(shù)學焦慮、第28章中的提高教師關注和引領討論、第31章教師學會有效地使用技術等問題，都需要提供足夠的專業(yè)發(fā)展機會使教師獲得相應的知識、技能或專長，而專業(yè)發(fā)展正是第29章的主題．

3.2 用借鑒的眼光閱讀本書

作為如此前沿且全面的一手的文獻綜述資料，這套書無論是對做研究還是對一線教學，參考起來都是非常方便實用的.建議讀者在閱讀時，可以結合自身實際，經(jīng)常性地思考一下本書中的研究成果對自己的借鑒意義．比如作為一線教師，可以思考我們前面提到的性別差異現(xiàn)象在自己的學生中是否普遍存在，書中提到的干預措施是否可以借鑒．再比如，教師在教學中使用信息技術時，以前可能更多的是基于自身的經(jīng)驗或迎合公開課展示，結合本書中第31章，教師可以根據(jù)使用技術的目的背后的學習理論，結合教授的內容，更為科學地選擇使用技術的方式．

3.3 用批判的眼光閱讀本書

教育和教育研究作為關于價值的實踐與理論，本身也內在地含著對批判思維的需要．正如這本書的很多章節(jié)，在最后都對相關的研究進行批判性分析一樣，我們希望讀者帶著自己的思考去消化和吸收這本書，而不是被動地閱讀．比如，可以思考書中的一些研究結果是不是放之四海而皆準的，特別是在中國的情境當中是否成立；一些理論是否能經(jīng)得起實踐的檢驗，每章中的組織框架適不適合自己的研究，涉及的研究方法有沒有弊端.我們建議讀者在閱讀本書時，能夠對相關主題的國內外研究加以比較，找出國內研究的特點和優(yōu)勢，以及存在的局限性和不足．