張 騰，鐘 振

貴州師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025

通過(guò)月球影像研究，人們發(fā)現(xiàn)其正面分布著大量暗黑色的玄武巖沉積物． 相關(guān)研究表明，這些玄武巖主要由月球形成初期的古火山活動(dòng)產(chǎn)生． 到前蘇聯(lián)月球3號(hào)首次拍攝月球背面時(shí)，發(fā)現(xiàn)月球背面并不像正面那樣，除莫斯科海、南極艾得肯盆地及Apollo撞擊坑外，其他區(qū)域沒(méi)有任何玄武巖[1]． 進(jìn)一步的研究表明，月球背面玄武巖含量約占整個(gè)背面的1%，而正面玄武巖含量占正面區(qū)域的1/3． 月球正面和背面玄武巖含量的不對(duì)稱性，間接地反映了早期熱演化的不對(duì)稱性． 關(guān)于月球形成初期的狀況，目前學(xué)界已確認(rèn)了巖漿洋模型(lunar magma ocean，LMO)的合理性[2]． 該模型認(rèn)為，月球自吸積后，發(fā)生了全球性的熔融事件，較輕的鈣長(zhǎng)石由于結(jié)晶，浮于巖漿洋的頂層，形成原始的斜長(zhǎng)巖月殼，而較重的鎂鐵質(zhì)物質(zhì)下沉，結(jié)晶形成月幔． 在結(jié)晶過(guò)程中，全球性對(duì)流模式可能導(dǎo)致背面月殼增厚，而正面月殼變薄，易產(chǎn)生古火山活動(dòng)[3]． Zhong等人[4]研究表明，1階對(duì)流項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致熱演化的不對(duì)稱性． Laneuville等人[5]研究表明，由于正面風(fēng)暴洋一帶富集KREEP產(chǎn)熱元素，局部區(qū)域的高溫，會(huì)引起月幔熱對(duì)流趨向于正面產(chǎn)生，導(dǎo)致熱演化的不對(duì)稱性． Padovan等人[6]的研究也表明，發(fā)生在月球背面的一次大碰撞使月幔熔融逆向，導(dǎo)致熱演化的不對(duì)稱性． 月球激光測(cè)距(lunar laser ranging，LLR)數(shù)據(jù)表明地-月間距以每年3.8 cm的速度增加[7]，由地-月系角動(dòng)量近似守恒，可知月球自轉(zhuǎn)速度在不斷地變慢，早期古月球自轉(zhuǎn)速度比現(xiàn)在大得多，自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)對(duì)熱演化的影響不能被忽略． 有關(guān)自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)對(duì)月球熱演化的影響，目前還沒(méi)有類似的研究與分析． 為此，本研究考慮熱對(duì)流效應(yīng)，顧及自轉(zhuǎn)離心力的影響，利用有限元方法，對(duì)月幔溫度演化進(jìn)行模擬，以探究自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)與月球熱演化的關(guān)系，以期為這方面的研究提供一定的參考．

1 無(wú)量綱化的控制方程和粘滯系數(shù)

考慮對(duì)流效應(yīng)的月球熱演化，控制方程較為復(fù)雜，為了便于邊界條件的處理，通常采用有限元方法來(lái)進(jìn)行仿真分析[8]． 在對(duì)流模型中，月幔通常被認(rèn)為是一種不可壓縮的高粘滯性流體，即不考慮慣性力的影響，與此相關(guān)的湍流效應(yīng)忽略不計(jì)，學(xué)界將此模型稱為Boussinesq近似． 在該近似條件下，僅在動(dòng)量方程的浮力項(xiàng)中考慮密度的變化，其他控制方程的密度假定為常數(shù)[9-10]． 為了檢驗(yàn)自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)，控制方程僅考慮熱對(duì)流效應(yīng)，與此有關(guān)的化學(xué)物質(zhì)分層效應(yīng)忽略不計(jì)[11]． 控制方程主要由質(zhì)量方程、動(dòng)量方程和能量方程構(gòu)成[9-12]． 這3個(gè)方程中相關(guān)物理量直接參與運(yùn)算，不便于有限元網(wǎng)格的構(gòu)建，為此，通常將控制方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理． 假定無(wú)量綱化的速度矢量為u′，二階應(yīng)力張量為σ′，壓強(qiáng)為P′，溫度和熱產(chǎn)能率分別為T′和H′． 有量綱參考值及對(duì)應(yīng)無(wú)量綱值，以及相關(guān)計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1． 此時(shí)，質(zhì)量方程、動(dòng)量方程和能量方程的無(wú)量綱形式為

其中Ra表示瑞利數(shù)，其大小為

(4)

其中：ρ0和g分別表示月幔參考密度和參考重力加速度，μ0和k0分別表示參考黏度和熱擴(kuò)散系數(shù)，β和ΔT0分別表示熱膨脹系數(shù)和核幔界面溫度，R0表示月球平均半徑R與內(nèi)核半徑Rcore之差． 相關(guān)參數(shù)取值[8，11]見(jiàn)表1．

表1 相關(guān)參數(shù)的有量綱參考值及無(wú)量綱值

(5)

月幔粘滯特征是影響熱演化的重要因素，它使得月幔在長(zhǎng)周期時(shí)標(biāo)內(nèi)表現(xiàn)出流體特征，而在短周期時(shí)標(biāo)內(nèi)表現(xiàn)出彈性特征． 月幔粘滯特征通常用粘滯系數(shù)μ來(lái)量化，其大小通常與溫度、壓強(qiáng)和研究區(qū)域的大小有關(guān)[13]． 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，將月幔物質(zhì)的流體特征假定為牛頓流體[3-5]，此時(shí)，剪應(yīng)力與應(yīng)變速度成正比． 假設(shè)參考黏度為μ0，核幔邊界溫度與殼幔邊界溫度之差為ΔT，對(duì)于月幔中參考半徑d處的某點(diǎn)，假定該點(diǎn)的溫度為T，可得月幔物質(zhì)的黏度[14]為

(6)

其中，R表示月球平均參考半徑，b和c為給定常數(shù)，取b=ln2.5，c=ln2.0[14]．

2 控制方程的弱解形式

進(jìn)行有限元程序設(shè)計(jì)前，首先需要推導(dǎo)微分方程的弱解形式． 為了便于公式推導(dǎo)，將(1)-(4)式中的撇號(hào)去掉，因此，后文的所有參量均表示無(wú)量綱化． 數(shù)值模擬在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行，研究區(qū)域?yàn)樵箩Ｄ骋唤?jīng)線的剖面． 根據(jù)變分基本引理，結(jié)合(4)式得到(2)式的弱解形式為

(7)

其中：vx和vy分別表示試探函數(shù)v在x軸和y軸方向的分量，gx和gy分別表示x軸和y軸方向的無(wú)量綱化有效加速度，wij為試探函數(shù)v對(duì)應(yīng)的二階應(yīng)變率張量． 若不考慮邊界作用時(shí)[11]，(7)式可以簡(jiǎn)化為

(8)

其中二階應(yīng)力張量σij與試探函數(shù)v的應(yīng)變率張量wij分別為

類似地，(3)式的弱解形式為

(11)

其中：Tk+1表示當(dāng)前時(shí)刻的待求溫度，Tk表示上一時(shí)刻的溫度，τ表示溫度對(duì)應(yīng)的試探函數(shù)，δt表示相鄰兩時(shí)刻之間的步長(zhǎng)．

3 月球的自轉(zhuǎn)離心力

3.1 自轉(zhuǎn)角速度

月球的潮汐效應(yīng)能使地球自轉(zhuǎn)速度不斷的變慢，該效應(yīng)由LLR數(shù)據(jù)得到驗(yàn)證[7]． 由于地球自轉(zhuǎn)速度受自身慣量矩變化和太陽(yáng)潮汐的作用，兩者的影響在量級(jí)上相同而方向相反，并且其他行星的潮汐因距離很遠(yuǎn)導(dǎo)致影響很小，比如木星的潮汐影響在量級(jí)上只有太陽(yáng)的萬(wàn)分之一，因此，地球和月球可以看作是一個(gè)孤立系統(tǒng)且總角動(dòng)量近似守恒． 總的角動(dòng)量包括：地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量、月球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量、月球繞地球的公轉(zhuǎn)角動(dòng)量． 根據(jù)月球形成的巨型撞擊理論，文獻(xiàn)[15]的研究表明，月球形成時(shí)與地球的距離為3.77R⊕(R⊕表示地球半徑)，得到早期地-月系間距約為2.4×107m． 文獻(xiàn)[16]的研究表明，月球形成初期的地-月系總角動(dòng)量，比當(dāng)前系統(tǒng)角動(dòng)量多出10%到20%． 本研究取多出的系統(tǒng)角動(dòng)量為14%，結(jié)合表2數(shù)據(jù)估算出早期的地球自轉(zhuǎn)周期為5.05 h，相應(yīng)的月球自轉(zhuǎn)角速度為4.4×10-3rad/s． 文獻(xiàn)[17]的數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)，地-月系形成初期地球自轉(zhuǎn)周期約為5 h，本研究的計(jì)算結(jié)果與其接近，表明本研究求解的早期月球自轉(zhuǎn)角速度具有一定的合理性．

表2 計(jì)算離心力用到的相關(guān)參數(shù)

3.2 自轉(zhuǎn)離心力的計(jì)算

如圖1所示，以與黃道面平行的方向?yàn)閤軸，其法線方向?yàn)閥軸，月球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立二維直角坐標(biāo)系，z軸為自轉(zhuǎn)軸． 由文獻(xiàn)[18]可知，月球自轉(zhuǎn)軸與黃道面法線的夾角約為1.6°(即為角θ)． 所以得到實(shí)際月球截面上某一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為

R1=R·rcos(θ+φ)

(12)

其中：r表示圖1圓形區(qū)域上某一點(diǎn)的半徑，且滿足0

圖1 自轉(zhuǎn)離心力示意圖

其中：ω表示月球的自轉(zhuǎn)角速度，根據(jù)(13)和(14)式，得到(7)式中無(wú)量綱化的有效加速度為

4 數(shù)值模擬

目前，月球被公認(rèn)起源于一次火星大小的天體與地球的碰撞，自吸積結(jié)束后，較重的金屬元素下沉引起重力勢(shì)力的釋放，以及短周期放射性元素26Al的作用，致使月球內(nèi)部溫度快速上升． 另外，根據(jù)阿波羅任務(wù)采樣的巖石樣品研究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)月球早期擁有較高的溫度，在月球形成的初期，月幔處于高溫和完全熔融的狀態(tài)[2，8]． 基于此考慮，本研究假定月球形成初期具有高溫月幔，同時(shí)假定月幔處于完全熔融狀態(tài)[8]． 參考文獻(xiàn)[8]，取核幔邊界溫度為2 000 K，演化時(shí)間為4.5 Ga(1 Ga=10億年)．

月幔初始溫度見(jiàn)圖2a，從核-幔邊界向外，溫度逐漸降低，此時(shí)，整個(gè)月幔的平均溫度約為1 667.76 K． 由于自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)，至圖2b時(shí)(演化時(shí)間約為4 419萬(wàn)年)，在垂直自轉(zhuǎn)軸的方向形成對(duì)流柱，將核-幔邊界的熱量輸運(yùn)至外表面，同時(shí)，在兩極區(qū)域，即將形成低溫下沉的對(duì)流柱，此時(shí)，整個(gè)月幔的平均溫度約為1 608.93 K． 文獻(xiàn)[11]的研究表明，當(dāng)不考慮自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)時(shí)，產(chǎn)生均勻的4個(gè)對(duì)流柱，這說(shuō)明自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)有必要在月球熱演化中加以考慮． 如圖2c所示，至0.245 50 Ga時(shí)，月幔溫度不斷地下降，由于內(nèi)部熱量的減小，無(wú)法提供充足的能量，致使對(duì)流柱變得不穩(wěn)定，而兩極的低溫對(duì)流柱已形成，此時(shí)，整個(gè)月幔的平均溫度約為1 559.67 K． 至0.451 72 Ga時(shí)(圖2d)，由于內(nèi)部能量的降低，同時(shí)，兩極大幅度的低溫對(duì)流柱帶來(lái)的低溫，致使核-幔邊界的熱對(duì)流柱發(fā)生切向移動(dòng)，外表面原高溫區(qū)產(chǎn)生小幅度的低溫對(duì)流柱，此時(shí)，整個(gè)月幔的平均溫度約為1 520.38 K． 如圖2e和圖2f所示，從0.780 69 Ga至0.908 35 Ga，由于月幔溫度的進(jìn)一步降低，兩極大幅度低溫對(duì)流柱，以及外表面原高溫區(qū)小幅度低溫對(duì)流柱的共同作用，使得核-幔邊界有產(chǎn)生小幅度的熱對(duì)流柱． 如圖2g-圖2i所示，從1.158 76 Ga至4.5 Ga，兩極大幅度低溫對(duì)流柱相對(duì)穩(wěn)定，其他小幅度低溫對(duì)流柱，以及核-幔邊界的高溫對(duì)流柱不穩(wěn)定，特別是核-幔邊界的對(duì)流柱會(huì)產(chǎn)生明顯的切向移動(dòng)． 由圖2a-圖2i可知，自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)有助于在垂直于自轉(zhuǎn)軸的方向，于核-幔邊界產(chǎn)生熱對(duì)流柱，在兩極區(qū)域產(chǎn)生明顯的低溫對(duì)流柱，進(jìn)而快速地輸運(yùn)月球內(nèi)部的熱量．

不同溫度對(duì)應(yīng)的顏色圖2 月幔溫度隨時(shí)間的變化

另外，文獻(xiàn)[11]在不考慮自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)時(shí)，月幔初始(0 Ga)平均溫度約為1 735.10 K，至4.5 Ga時(shí)約為1 278.20 K，下降456.90 K． 而本研究考慮自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)后(表3)，月幔初始平均溫度約為1 667.76 K，至4.5 Ga時(shí)約為1 163.28 K，下降504.48 K． 本研究模擬的最終月幔溫度低于文獻(xiàn)[11]，且兩者從初始到0.245 50 Ga時(shí)，分別下降28.28 K和108.09 K，這說(shuō)明自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)引發(fā)的對(duì)流模式，降低了月幔的溫度，并且在月球熱演化的前0.245 50 Ga更為明顯． 由圖2可知，在核-幔邊界處，垂直于自轉(zhuǎn)軸方向產(chǎn)生兩個(gè)熱對(duì)流柱，對(duì)流柱產(chǎn)生的方向恰好是月殼厚度二分性的方向，因此，自轉(zhuǎn)離心現(xiàn)象可能與月殼二分性相聯(lián)系，可為月球不對(duì)稱熱演化研究提供一定的參考．

表3 不同演化時(shí)間點(diǎn)的月幔平均溫度

5 結(jié) 論

基于月球自轉(zhuǎn)速度減慢的事實(shí)，以及利用地-月系角動(dòng)量近似守恒的原理，估算了月球早期較大的自轉(zhuǎn)角速度． 在月球熱演化的控制方程中考慮自轉(zhuǎn)離心力后，① 發(fā)現(xiàn)自轉(zhuǎn)離心效應(yīng)有助于在月球形成初期，在垂直于自轉(zhuǎn)軸方向，于核-幔邊界處產(chǎn)生熱對(duì)流柱；② 隨著內(nèi)部熱量輸運(yùn)至月表，在兩極區(qū)域產(chǎn)生大幅度、穩(wěn)定的低溫對(duì)流柱；③ 隨著月幔溫度的進(jìn)一步降低，外表面原高溫區(qū)產(chǎn)生小幅度的低溫對(duì)流柱，核-幔邊界的高溫對(duì)流柱會(huì)產(chǎn)生切向移動(dòng)；④ 由自轉(zhuǎn)效應(yīng)引起的對(duì)流模式，能有效降低月幔的溫度，對(duì)月幔溫度起到一定的調(diào)節(jié)作用．