冀占江，陳占和，張更容

(1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530004;2.梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院, 廣西 梧州 543002;3.湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 長沙 410205)

0 引言

1 基本概念

定義1[9]設(shè)(X,d)是度量空間，G是拓撲群。稱(X,G,φ)是度量G-空間，如果映射φ:G×X→X,滿足:

① ?x∈X,有φ(e,x)=x,其中e為G的單位元；

② ?x∈X以及g1,g2∈G,有φ[g1,φ(g2,x)]=φ(g1g2,x)。

以下簡稱(X,G)是度量G-空間。為了書寫方便，通常將φ(g,x)簡寫為gx。

備注若X是緊致度量空間，則稱X是緊致度量G-空間。

定義2[9]設(shè)X,Y是度量G-空間，f:X→Y連續(xù)，若?g∈G,?x∈X,有f(gx)=gf(x),則稱f是等價映射。

定義3[10]設(shè)X,Y是度量G-空間，f:X→Y連續(xù)，若?g∈G,?x∈X,?h∈G使f(gx)=hf(x),則稱f是偽等價映射。

定義9[13]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，x∈X,稱x是f的G-周期點，如果存在n∈N+,?p∈G使得pfn(x)=x。f的G-周期點集用PG(f)表示。

定義10設(shè)(X,d)是度量G-空間，A?X,f:X→X連續(xù)，記GA≡{gx|g∈G,x∈X}。若G(A)?A,則稱A對G不變。若G(A)=A,則稱A對G強不變。

定義11設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，x∈X,記

orbG(x,f)≡{gfm(x):g∈G,m∈N},

則稱orbG(x,f)是x在f作用下的G-軌道。

2 相關(guān)引理

引理1[10]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓撲群，則?ε>0,?0<δ<ε,?g∈G,當(dāng)d(x,y)<δ時，有d(gx,gy)<ε成立。

引理2[14]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓撲群，f:X→X同胚偽等價，x∈X,則f(CEG(x,f))=CEG(x,f)。

引里3[15]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，f:X→X等價，則CRG(f)是閉集。

引里4[12]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致可交換的拓撲群，f:X→X偽等價，n∈N+,則CRG(f)=CRG(fn)。

3 主要結(jié)果

證明由引理1知，?ε>0,?0<ε0<ε,當(dāng)d(z1,z2)<ε0時，?g∈G,有

d(gz1,gz2)<ε。

(1)

由f的一致連續(xù)性知，對ε0>0,?0<δ<ε0,當(dāng)d(z3,z4)<δ時，有

d[f(z3),f(z4)]<ε0。

(2)

d(xm,x)<δ,

(3)

d[gmfkm(xm),a]<δ。

(4)

由式(2)知，

d[f(xm),f(x)]<ε0，

(5)

d[f(gmfkm(xm)),f(a)]<ε0。

(6)

由f偽等價知，?tm∈G使

d[tmfkm+1(xm),f(a)]<ε0。

(7)

A∈CRG[fkm+1(xm),xm,ε,f],B∈CRG[f(x),x,ε,f]。

(8)

結(jié)合式(1)、式(7)知

(9)

令D={a,fkm+1(xm)}A{xm,f(x)}B,則D={a,fkm+1(xm)}A{xm,f(x)}B是f作用下的從a到x(G,ε)鏈，故a∈CEG(x,f)。

d(gx,gy)<ε。

(10)

反證法，若?y∈CRG(f)-A使f(y)∈A。由引理4知，CRG(f)=CRG(f2),故y∈CRG(f2),則存在f2作用下(G,ε0)鏈{y0,y1,y2,…,yn-1,yn},其中y0=yn=y。因此對0≤i≤n-1,?gi∈G,使

d[gif2(yi),yi+1]<ε0。

(11)

由式(10)知

(12)

定理3設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是可交換拓撲群，f:X→X等價，則G(PG(f))=PG(f)。

證明顯然PG(f)?G[PG(f)],下證G(PG(f))?PG(f)。設(shè)y∈PG(f),g∈G。由y∈PG(f)知，?m∈N+,?t∈G使tfm(y)=y。由f等價和G可交換知，fm(gy)=gfm(y)=gt-1y=t-1(gy),所以tfm(gy)=gy,則gy∈PG(f),因此G[PG(f)]?PG(f),故G[PG(f)]=PG(f)。

定理4設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致拓撲群，f:X→X等度連續(xù)，則PG(f)是閉集。

(13)

由f等度連續(xù)性知，對ε0>0,?0<δ<ε0,?n≥0,當(dāng)d(z3,z4)<δ時，有

d[fn(z3),fn(z4)]<ε0。

(14)

由y是PG(f)的聚點知，存在x∈PG(f)滿足d(x,y)<δ。由x∈PG(f)知，?m∈N+,?t∈G使tfm(x)=x。結(jié)合d(x,y)<δ和式(13)、(14)知

(15)

因此,

d[tfm(y),y]

(16)

由ε的任意性知，tfm(y)=y,故y∈PG(f),則PG(f)是閉集。

4 總結(jié)

本文在拓撲群作用下度量空間中研究G-鏈等價集、G-鏈回歸點集和G-周期點集的拓撲結(jié)構(gòu)，得到一些新的結(jié)果，這些結(jié)果推廣了度量空間中鏈等價集、鏈回歸點集和周期點集的結(jié)論，為G-鏈等價集、G-鏈回歸點集和G-周期點集在其他學(xué)科的應(yīng)用提供了理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ)。