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        度量G-空間中的幾類點集

        2021-07-19 10:40:42冀占江陳占和張更容
        關(guān)鍵詞:梧州等價連續(xù)性

        冀占江,陳占和,張更容

        (1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530004;2.梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院, 廣西 梧州 543002;3.湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 長沙 410205)

        0 引言

        1 基本概念

        定義1[9]設(shè)(X,d)是度量空間,G是拓?fù)淙?。稱(X,G,φ)是度量G-空間,如果映射φ:G×X→X,滿足:

        ① ?x∈X,有φ(e,x)=x,其中e為G的單位元;

        ② ?x∈X以及g1,g2∈G,有φ[g1,φ(g2,x)]=φ(g1g2,x)。

        以下簡稱(X,G)是度量G-空間。為了書寫方便,通常將φ(g,x)簡寫為gx。

        備注若X是緊致度量空間,則稱X是緊致度量G-空間。

        定義2[9]設(shè)X,Y是度量G-空間,f:X→Y連續(xù),若?g∈G,?x∈X,有f(gx)=gf(x),則稱f是等價映射。

        定義3[10]設(shè)X,Y是度量G-空間,f:X→Y連續(xù),若?g∈G,?x∈X,?h∈G使f(gx)=hf(x),則稱f是偽等價映射。

        定義9[13]設(shè)(X,d)是度量G-空間,f:X→X連續(xù),x∈X,稱x是f的G-周期點,如果存在n∈N+,?p∈G使得pfn(x)=x。f的G-周期點集用PG(f)表示。

        定義10設(shè)(X,d)是度量G-空間,A?X,f:X→X連續(xù),記GA≡{gx|g∈G,x∈X}。若G(A)?A,則稱A對G不變。若G(A)=A,則稱A對G強(qiáng)不變。

        定義11設(shè)(X,d)是度量G-空間,f:X→X連續(xù),x∈X,記

        orbG(x,f)≡{gfm(x):g∈G,m∈N},

        則稱orbG(x,f)是x在f作用下的G-軌道。

        2 相關(guān)引理

        引理1[10]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓?fù)淙?,則?ε>0,?0<δ<ε,?g∈G,當(dāng)d(x,y)<δ時,有d(gx,gy)<ε成立。

        引理2[14]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓?fù)淙海琭:X→X同胚偽等價,x∈X,則f(CEG(x,f))=CEG(x,f)。

        引里3[15]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,f:X→X等價,則CRG(f)是閉集。

        引里4[12]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致可交換的拓?fù)淙海琭:X→X偽等價,n∈N+,則CRG(f)=CRG(fn)。

        3 主要結(jié)果

        證明由引理1知,?ε>0,?0<ε0<ε,當(dāng)d(z1,z2)<ε0時,?g∈G,有

        d(gz1,gz2)<ε。

        (1)

        由f的一致連續(xù)性知,對ε0>0,?0<δ<ε0,當(dāng)d(z3,z4)<δ時,有

        d[f(z3),f(z4)]<ε0。

        (2)

        d(xm,x)<δ,

        (3)

        d[gmfkm(xm),a]<δ。

        (4)

        由式(2)知,

        d[f(xm),f(x)]<ε0,

        (5)

        d[f(gmfkm(xm)),f(a)]<ε0。

        (6)

        由f偽等價知,?tm∈G使

        d[tmfkm+1(xm),f(a)]<ε0。

        (7)

        A∈CRG[fkm+1(xm),xm,ε,f],B∈CRG[f(x),x,ε,f]。

        (8)

        結(jié)合式(1)、式(7)知

        (9)

        令D={a,fkm+1(xm)}A{xm,f(x)}B,則D={a,fkm+1(xm)}A{xm,f(x)}B是f作用下的從a到x(G,ε)鏈,故a∈CEG(x,f)。

        d(gx,gy)<ε。

        (10)

        反證法,若?y∈CRG(f)-A使f(y)∈A。由引理4知,CRG(f)=CRG(f2),故y∈CRG(f2),則存在f2作用下(G,ε0)鏈{y0,y1,y2,…,yn-1,yn},其中y0=yn=y。因此對0≤i≤n-1,?gi∈G,使

        d[gif2(yi),yi+1]<ε0。

        (11)

        由式(10)知

        (12)

        定理3設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是可交換拓?fù)淙?,f:X→X等價,則G(PG(f))=PG(f)。

        證明顯然PG(f)?G[PG(f)],下證G(PG(f))?PG(f)。設(shè)y∈PG(f),g∈G。由y∈PG(f)知,?m∈N+,?t∈G使tfm(y)=y。由f等價和G可交換知,fm(gy)=gfm(y)=gt-1y=t-1(gy),所以tfm(gy)=gy,則gy∈PG(f),因此G[PG(f)]?PG(f),故G[PG(f)]=PG(f)。

        定理4設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致拓?fù)淙?,f:X→X等度連續(xù),則PG(f)是閉集。

        (13)

        由f等度連續(xù)性知,對ε0>0,?0<δ<ε0,?n≥0,當(dāng)d(z3,z4)<δ時,有

        d[fn(z3),fn(z4)]<ε0。

        (14)

        由y是PG(f)的聚點知,存在x∈PG(f)滿足d(x,y)<δ。由x∈PG(f)知,?m∈N+,?t∈G使tfm(x)=x。結(jié)合d(x,y)<δ和式(13)、(14)知

        (15)

        因此,

        d[tfm(y),y]

        (16)

        由ε的任意性知,tfm(y)=y,故y∈PG(f),則PG(f)是閉集。

        4 總結(jié)

        本文在拓?fù)淙鹤饔孟露攘靠臻g中研究G-鏈等價集、G-鏈回歸點集和G-周期點集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),得到一些新的結(jié)果,這些結(jié)果推廣了度量空間中鏈等價集、鏈回歸點集和周期點集的結(jié)論,為G-鏈等價集、G-鏈回歸點集和G-周期點集在其他學(xué)科的應(yīng)用提供了理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ)。

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