錢首元，高長(zhǎng)生，荊武興

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

從20 世紀(jì)70 年代以來(lái)，應(yīng)用衛(wèi)星技術(shù)迅速發(fā)展，對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)的精度也越來(lái)越高，特別要求姿態(tài)控制系統(tǒng)的高精度長(zhǎng)壽命和快速性。傳統(tǒng)衛(wèi)星通常采用以飛輪為主的三軸姿態(tài)控制系統(tǒng)控制星體姿態(tài)。

傳統(tǒng)衛(wèi)星的飛輪控制不需要消耗工質(zhì)，只需要消耗電能，在衛(wèi)星上太陽(yáng)能電池陣的不斷補(bǔ)充下，不會(huì)像推力器那樣能源枯竭，適用于長(zhǎng)時(shí)間工作。并且飛輪的精度要比噴氣控制高出一個(gè)數(shù)量級(jí)，適合于克服高軌衛(wèi)星受到的周期性擾動(dòng)，不會(huì)對(duì)光學(xué)儀器造成污染。但是由于飛輪存在飽和、控制力矩比較小等特點(diǎn)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)快速的姿態(tài)機(jī)動(dòng)［1］。傳統(tǒng)的變質(zhì)心控制技術(shù)是通過(guò)調(diào)整飛行器內(nèi)部活動(dòng)體與載體的相對(duì)位置，使得系統(tǒng)質(zhì)心發(fā)生變化，改變氣動(dòng)力臂，從而打破原有的力矩平衡，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器姿態(tài)的控制。變質(zhì)心控制技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是執(zhí)行機(jī)構(gòu)位于飛行器內(nèi)部［2-3］。在地球中高軌道上，衛(wèi)星受到氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩極小，變質(zhì)心機(jī)構(gòu)通過(guò)滑塊的滑動(dòng)所產(chǎn)生的對(duì)載體的反作用力和反作用力矩改變星體的姿態(tài)，因而有著很快的響應(yīng)速度。目前，陸正亮等［4-7］研究了低軌衛(wèi)星利用受到的氣動(dòng)力及氣動(dòng)力矩配平攻角的變質(zhì)心控制問(wèn)題。埃及曼蘇拉大學(xué)數(shù)學(xué)系的GOHAR 等［8-11］著重研究了三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的變質(zhì)心姿態(tài)控制，并用李亞普諾夫方法證明了這種動(dòng)力學(xué)模型的漸近穩(wěn)定性。但是由于滑塊移動(dòng)距離精度有限以及衛(wèi)星本體慣性張量測(cè)定精度限制，變質(zhì)心機(jī)構(gòu)也存在控制精度低等缺點(diǎn)［12］。

上述文獻(xiàn)中還沒(méi)有針對(duì)滑塊與飛輪的協(xié)同控制衛(wèi)星姿態(tài)的研究。本文在中高軌道衛(wèi)星需要大角度快速機(jī)動(dòng)的情況下，采用飛輪控制機(jī)構(gòu)與變質(zhì)心滑塊控制機(jī)構(gòu)協(xié)同控制的方法，首先針對(duì)包含單滑塊與3 個(gè)飛輪在內(nèi)的7 自由度衛(wèi)星建立了完整的剛體動(dòng)力學(xué)方程，并分析了其運(yùn)動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)；其次根據(jù)姿態(tài)指令機(jī)動(dòng)角度采用最小二乘法，反向求解出滑塊需要運(yùn)動(dòng)的距離，滑塊執(zhí)行機(jī)構(gòu)跟蹤星載計(jì)算機(jī)里預(yù)先規(guī)劃存儲(chǔ)好的正弦運(yùn)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)到指定位置，這為控制器根據(jù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令計(jì)算出滑塊需求運(yùn)動(dòng)距離提供了一種工程上可行的方法；最后飛輪執(zhí)行機(jī)構(gòu)開(kāi)始工作，使得衛(wèi)星高精度地對(duì)指定角度定向。

這種聯(lián)合控制的方法，結(jié)合了衛(wèi)星在變質(zhì)心控制大角度機(jī)動(dòng)下的快速響應(yīng)與飛輪控制高精度定向等優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地完成中高軌衛(wèi)星的快速響應(yīng)機(jī)動(dòng)的任務(wù)。

最后對(duì)比變質(zhì)心機(jī)構(gòu)與飛輪的協(xié)同控制的效果與單獨(dú)采用飛輪控制的效果，突出了兩者協(xié)同控制的優(yōu)越性。仿真結(jié)果表明，單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星在衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中能快速響應(yīng)。這也為單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星設(shè)想提供了一些理論參考。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

單滑塊模式構(gòu)型的飛行器由正方體形狀的衛(wèi)星本體和位于星體內(nèi)部的滑塊組成，滑塊位于系統(tǒng)質(zhì)心正前方，由電機(jī)驅(qū)動(dòng)，沿平行于削平面且垂直于本體中心線方向的滑軌內(nèi)做平移運(yùn)動(dòng)，不可旋轉(zhuǎn)?；瑝K相對(duì)本體的運(yùn)動(dòng)通過(guò)反作用力使得本體姿態(tài)發(fā)生變化。

本文的研究對(duì)象如圖1 所示，s、b、p 分別為系統(tǒng)、本體、滑塊的質(zhì)心。滑塊的質(zhì)量、體積以及每個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與本體相比都較小，約為本體的1/10以下。

圖1 單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星示意圖Fig.1 Schematic diagram of single slider metamorphic core satellite

假設(shè)衛(wèi)星在中高軌道運(yùn)行，主要受重力梯度力矩等干擾力矩影響，故可以忽略氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩的影響，只考慮外部的重力梯度力矩干擾。

定義慣性坐標(biāo)系（OXYZ）、系統(tǒng)固連坐標(biāo)系(osxsyszs)和載體固連坐標(biāo)系(obxbybzb)，如圖1 所示。其中，系統(tǒng)固連坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于瞬時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心，且跟隨本體旋轉(zhuǎn)［11］。

定義變量符號(hào)，m為質(zhì)量，I為慣性張量，下標(biāo)s、b、p 分別為系統(tǒng)、載體和滑塊，rbp為從點(diǎn)b到點(diǎn)p的相對(duì)位置矢量，νb為載體相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的速度，ω為載體固連坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度，g為重力。

在以系統(tǒng)質(zhì)心為原點(diǎn)的載體坐標(biāo)系非慣性s系中表示為

而對(duì)于衛(wèi)星載體，根據(jù)相對(duì)微分法則，其角動(dòng)量在非慣性s系中表示為

對(duì)于第i個(gè)飛輪，其角動(dòng)量在非慣性s系中表示為

對(duì)于變質(zhì)心滑塊，其角動(dòng)量在本體系s系下表示為

對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)整體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心s點(diǎn)列力矩平衡方程，并表示在本體系s系下有

因此，根據(jù)各矢量間關(guān)系以及載體系與慣性系間的相對(duì)微分法則，載體坐標(biāo)系下姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：(?)×、(?)′、(?)″分別為矢量在載體坐標(biāo)系的叉乘矩陣、矢量在載體坐標(biāo)系下對(duì)時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

由載體動(dòng)力學(xué)方程可以看出單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星具有以下特點(diǎn)：與傳統(tǒng)飛輪控制的衛(wèi)星相比，飛行器載體還受到滑塊偏移產(chǎn)生的耦合作用力項(xiàng)，這些項(xiàng)將對(duì)載體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生一定影響。因此，該系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合的快時(shí)變復(fù)雜系統(tǒng)。

為了便于動(dòng)力學(xué)分析，根據(jù)產(chǎn)生原因?qū)⒎匠逃疫叺母郊恿透郊恿胤殖梢韵聨醉?xiàng)：

以上各項(xiàng)為單滑塊變質(zhì)心飛行器受到的特有的力和力矩，因此系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

1.2 滑塊動(dòng)力學(xué)模型

為了便于對(duì)直接作用在滑塊上的執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制力大小進(jìn)行分析，此處建立滑塊動(dòng)力學(xué)方程。

由于滑塊相對(duì)載體只存在沿著滑軌的平移運(yùn)動(dòng)，而滑塊的質(zhì)量和體積相對(duì)載體來(lái)說(shuō)較小，因此可將滑塊看作質(zhì)點(diǎn)，只用建立其質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型：

式中：Rop為載體滑軌約束對(duì)滑塊的作用力；Fc為載體施加的對(duì)滑塊的控制力；Gp為滑塊重力。

將式（9）在載體坐標(biāo)系下代入式（8）可以得到

由于衛(wèi)星處于整體失重狀態(tài)，忽略滑塊重力，即可得到載體坐標(biāo)系下滑塊動(dòng)力學(xué)方程的矢量形式：

式中：方程右邊的后三項(xiàng)即為載體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與滑塊運(yùn)動(dòng)的耦合作用對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)的影響項(xiàng)。

1.3 滑塊需求運(yùn)動(dòng)距離

當(dāng)衛(wèi)星收到姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令，星載計(jì)算機(jī)會(huì)把姿態(tài)角指令轉(zhuǎn)化為變質(zhì)心滑塊執(zhí)行機(jī)構(gòu)的滑塊運(yùn)動(dòng)距離指令，進(jìn)而滑塊通過(guò)跟蹤計(jì)算機(jī)生成的正弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律達(dá)到控制衛(wèi)星姿態(tài)的效果。

本文采用最小二乘迭代方法把姿態(tài)角指令轉(zhuǎn)化為滑塊的運(yùn)動(dòng)距離指令，選取滑塊運(yùn)動(dòng)距離ξ為一維狀態(tài)量，建立如下殘差方程：

狀態(tài)量ξ的猜測(cè)誤差決定了殘差的大小，假設(shè)通過(guò)測(cè)量獲得N個(gè)采樣時(shí)刻的殘差gi(ξ)，然后建立如下最小二乘指標(biāo)：

依據(jù)最小二乘原理的極值條件，可以得到如下迭代估計(jì)算法：

當(dāng)前估計(jì)值與上一步的差的范數(shù)滿足一定精度時(shí)就停止迭代。一般經(jīng)過(guò)10～20 次的迭代即可停止，則當(dāng)前的估計(jì)值ξ*即為得到的精確結(jié)果。

2 飛輪與滑塊的控制律設(shè)計(jì)

2.1 飛輪控制律設(shè)計(jì)

當(dāng)衛(wèi)星的飛輪執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)控制衛(wèi)星姿態(tài)的時(shí)候，利用分配矩陣與安裝矩陣實(shí)現(xiàn)控制力矩的分配，設(shè)計(jì)帶有補(bǔ)償?shù)腜D 控制率在本體系下的表示為

式中：H為整星系統(tǒng)慣性張量，即瞬時(shí)的；M為力矩合；Csw為軌道系到本體質(zhì)心系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

離心慣性力矩為

飛輪系離心慣性力矩為

滑塊運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的附加相對(duì)慣性力矩為

滑塊運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的附加哥氏慣性力矩為

根據(jù)1.1 節(jié)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，把飛輪對(duì)應(yīng)的控制率代入式（7），可以約去補(bǔ)償?shù)鸟詈狭兀?3-16］，得到

把各慣性力耦合項(xiàng)消掉后，減弱了僅有飛輪控制時(shí)姿態(tài)三通道的耦合效應(yīng)，使得加入耦合補(bǔ)償控制后的方程更簡(jiǎn)潔且更接近于對(duì)慣性環(huán)節(jié)的控制。

2.2 滑塊控制律設(shè)計(jì)

在1.3 節(jié)已經(jīng)利用最小二乘迭代法設(shè)計(jì)好了滑塊的運(yùn)動(dòng)距離，滑塊的控制器只需把設(shè)計(jì)好的運(yùn)動(dòng)距離作為標(biāo)稱值輸入來(lái)跟蹤上。假設(shè)滑塊采用最簡(jiǎn)單的PD 控制率：

由于相對(duì)于小質(zhì)量的滑塊，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制力很大，只要合理地設(shè)計(jì)控制參數(shù)，就可以使得滑塊精確地跟蹤設(shè)計(jì)好的位置時(shí)間曲線。在滑塊滑行末端，還會(huì)有鎖死機(jī)構(gòu)將滑塊鎖死，所以不存在最后的振蕩。

3 仿真校驗(yàn)

本文仿真中，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，突出現(xiàn)象，只考慮繞主軸Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其他方向的轉(zhuǎn)動(dòng)可以轉(zhuǎn)換為多次繞主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)組合得到。

為使得滑塊的滑動(dòng)對(duì)其他軸的姿態(tài)影響最小，本文仿真中假設(shè)滑軌設(shè)計(jì)在z=0 平面上。這樣滑塊滑動(dòng)僅改變Z軸姿態(tài)，對(duì)其他兩軸沒(méi)有影響?；瑝K的質(zhì)量、體積以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與本體相比較小，設(shè)計(jì)為本體的1/10 左右，且只考慮外部的重力梯度力矩干擾。

3.1 僅飛輪控制衛(wèi)星姿態(tài)

當(dāng)衛(wèi)星只采用飛輪控制姿態(tài)，衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令為繞著Z軸轉(zhuǎn)過(guò)?5°時(shí)，仿真結(jié)果如圖2 所示。根據(jù)圖中仿真結(jié)果可知，由于飛輪的作用力矩比較小，并且存在飽和的現(xiàn)象，所以在飛輪的作用下，衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)?5°需要130 s 的時(shí)間，衛(wèi)星的響應(yīng)時(shí)間遠(yuǎn)長(zhǎng)于變質(zhì)心控制。

圖2 僅飛輪控制時(shí)衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.2 Variations of satellite state variables under flywheel control only

3.2 滑塊與飛輪協(xié)同控制衛(wèi)星姿態(tài)

當(dāng)采用文中敘述的協(xié)同控制時(shí)，首先要用最小二乘法反解求得衛(wèi)星姿態(tài)繞著Z軸轉(zhuǎn)過(guò)?5°時(shí)，滑塊需要的運(yùn)動(dòng)距離；然后滑塊執(zhí)行機(jī)構(gòu)跟蹤星載計(jì)算機(jī)里預(yù)先規(guī)劃存儲(chǔ)好的正弦運(yùn)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)到指定位置，飛輪執(zhí)行機(jī)構(gòu)開(kāi)始工作，使得衛(wèi)星高精度地對(duì)指定角度定向、仿真結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 滑塊狀態(tài)量最小二乘迭代變化圖Fig.3 Variations of slider state variables under least squares iterations

圖4 滑塊狀態(tài)的迭代結(jié)果引起的衛(wèi)星姿態(tài)角變化圖Fig.4 Variations of satellite attitude angle due to slider state iterations

代入不同初值，迭代收斂的效果并不一樣。在迭代初值更接近真值的時(shí)候，迭代收斂效果最好，最終衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度更接近于繞著Z軸轉(zhuǎn)?5°。

根據(jù)圖中結(jié)果，選代效果最好的初值，求得為使衛(wèi)星姿態(tài)繞著Z軸轉(zhuǎn)?5°，滑塊需求的運(yùn)動(dòng)為正向運(yùn)行0.526 2 m。滑塊據(jù)此以正弦規(guī)律運(yùn)行到需求位置，得出的衛(wèi)星在變質(zhì)心滑塊與飛輪姿態(tài)聯(lián)合控制的作用下，仿真結(jié)果如圖5 所示。

圖5 僅滑塊控制時(shí)衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.5 Variations of satellite state variables under slider control only

從仿真結(jié)果可以看出，前2 s 滑塊作用，衛(wèi)星能快速機(jī)動(dòng)到達(dá)期望角度附近。但是由于滑塊位移精度以及飛輪角動(dòng)量的存在，使得繞著Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)對(duì)其他兩軸也存在擾動(dòng)，衛(wèi)星三軸間存在姿態(tài)耦合，所以變質(zhì)心的控制精度并不高。從2 s 到8 s，飛輪作用，衛(wèi)星高精度姿態(tài)定向，并且整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程僅用時(shí)8 s，要遠(yuǎn)優(yōu)于僅用飛輪單獨(dú)作用的130 s。

3.3 一種圓弧滑軌型單滑塊控制機(jī)構(gòu)的可行性

由于衛(wèi)星空間有限，無(wú)法實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離滑塊滑動(dòng)，可以考慮把沿著直線滑動(dòng)的滑塊改成沿著圓弧軌道滑動(dòng)，設(shè)計(jì)為如圖6 所示的結(jié)構(gòu)。當(dāng)采用新型結(jié)構(gòu)時(shí)，衛(wèi)星能快速機(jī)動(dòng)更大的角度。

圖6 圓弧滑軌型單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星示意圖Fig.6 Schematic diagram of circular orbit type single slider metamorphic center satellite

當(dāng)采用單滑塊變質(zhì)心與飛輪聯(lián)合控制時(shí)，衛(wèi)星機(jī)動(dòng)指令為繞Z軸轉(zhuǎn)過(guò)?22°，得到的仿真結(jié)果如圖7 所示。從仿真結(jié)果可知：前16 s 滑塊運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星快速繞著Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)到?22°附近；隨后在16～25 s，飛輪作用使得衛(wèi)星姿態(tài)高精度定向。衛(wèi)星最終穩(wěn)定高精度定向時(shí)僅用時(shí)25 s。

而同樣的衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令為繞著Z軸轉(zhuǎn)過(guò)?22°時(shí)，只采用飛輪控制衛(wèi)星姿態(tài)，得到結(jié)果如圖8 所示。從仿真結(jié)果中可以看出，僅采用飛輪控制時(shí)，衛(wèi)星要460 s 才能穩(wěn)定到Z軸的?22°，所用時(shí)間比較長(zhǎng)，消耗能量較多。

圖8 僅飛輪控制時(shí)衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.8 Variations of satellite state variables under flywheel control only

仿真結(jié)果再次驗(yàn)證了當(dāng)用單滑塊變質(zhì)心與飛輪聯(lián)合控制僅用25 s 實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)，而僅用飛輪控制則需要460 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于單滑塊變質(zhì)心與飛輪的聯(lián)合控制。仿真結(jié)果同時(shí)驗(yàn)證了新構(gòu)型的可行性，在沒(méi)有降低變質(zhì)心機(jī)動(dòng)效率的前提下，極大地節(jié)省了衛(wèi)星載體內(nèi)部的空間和滑塊質(zhì)量與體積，使得這種聯(lián)合控制方案的可行性進(jìn)一步提升。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文的仿真結(jié)果再一次驗(yàn)證了傳統(tǒng)衛(wèi)星的飛輪控制星體姿態(tài)。由于飛輪存在飽和、控制力矩比較小等特點(diǎn)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)快速的姿態(tài)機(jī)動(dòng)。變質(zhì)心控制機(jī)構(gòu)通過(guò)滑塊的滑動(dòng)所產(chǎn)生的對(duì)載體的反作用力和力矩來(lái)改變星體的姿態(tài)，有著很快的響應(yīng)速度。本文采用飛輪與變質(zhì)心滑塊機(jī)構(gòu)協(xié)同控制的方法，提出并驗(yàn)證了一種圓弧滑軌型單滑塊控制機(jī)構(gòu)的可行性。這種方法結(jié)合了變質(zhì)心控制快速響應(yīng)與飛輪控制高精度等優(yōu)點(diǎn)，克服了變質(zhì)心機(jī)構(gòu)存在的控制精度差等缺點(diǎn)。