陳雨垚 陳佳麗 王珊

（上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，上海 201620）

重力加速度作為一個(gè)重要物理量, 在各項(xiàng)物理實(shí)驗(yàn)中會(huì)經(jīng)常用到，在國(guó)防科技、軍事勘探、地震預(yù)測(cè)、重力探礦、計(jì)量學(xué)等方面具有重要應(yīng)用[1-9]。在物理學(xué)的研究史上,不少學(xué)者對(duì)它的大小進(jìn)行過(guò)多次分析測(cè)定, 最后統(tǒng)一認(rèn)為它的大小不僅與地理位置（該地的經(jīng)緯度）、地面高度有關(guān)，而且與地質(zhì)密度、地質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)。常用的幾種測(cè)定重力加速度的方法[4]，其中就有單擺測(cè)量法，該方法是將單擺拉開(kāi)一個(gè)角度，用秒表測(cè)量單擺周期，在小球到達(dá)平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)量n 次全振動(dòng)所用時(shí)間，代入公式，手動(dòng)測(cè)算出重力加速度。此方法優(yōu)點(diǎn)在于器材少，方法簡(jiǎn)單，可大概測(cè)出重力加速度，但誤差太大，不夠精確。火花打點(diǎn)計(jì)時(shí)器法是利用豎直下落的重物，牽引水平面上的小車(chē)作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，從而通過(guò)火花打點(diǎn)的間隔距離，手動(dòng)測(cè)量出重力加速度，此方法利用了火花的定時(shí)打點(diǎn)，數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確，但此方法不夠簡(jiǎn)便，需要的器材較多，手動(dòng)計(jì)算和測(cè)量也是導(dǎo)致誤差的重要因素。在相同環(huán)境下對(duì)物體自由落體進(jìn)行分析，單擺測(cè)量法、打點(diǎn)測(cè)量法、加速測(cè)量法等均需要人為使用實(shí)驗(yàn)器材對(duì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄，期間會(huì)出現(xiàn)不可避免的隨機(jī)誤差。

因此本次測(cè)量主要利用軟件分析砝碼運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出重力加速度實(shí)時(shí)參數(shù)。此類(lèi)方法可以避免人為測(cè)量帶來(lái)的隨機(jī)誤差，減小人工計(jì)算量，運(yùn)用少量的器材得出高準(zhǔn)確率的結(jié)果。相較于以往傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的創(chuàng)新點(diǎn)在于數(shù)據(jù)處理方面的更新。此法不僅適用于重力加速度的測(cè)量，還可以運(yùn)用在其他物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方面。

1 實(shí)驗(yàn)原理

重力加速度測(cè)量采用自由落體的方式，空氣阻力帶來(lái)的誤差可忽略不計(jì)。物體在重力的作用下(忽略其他阻力)，將會(huì)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).其運(yùn)動(dòng)方程可表述成如下形式：

S=v0t+1/2at2v＝v0＋at

其中，初速度為V0，V 為在t 時(shí)間內(nèi)物體豎直下落后的末速度，自由落體的加速度a 即為重力加速度g。若使得物體下落的初速度為零，則其方程可表述成：

S= 1/2gt2v＝gt

可見(jiàn)，只要我們測(cè)量出物體自由落體運(yùn)動(dòng)的距離S，及相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)問(wèn)t，便可測(cè)量出g 值，也可以根據(jù)加速度公式，已知物體做自由落體的時(shí)間t 與豎直下落的末速度V，可利用重物的自由落體運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)測(cè)量重力加速度。

2 實(shí)驗(yàn)方法與步驟

本方法主要通過(guò)拍攝砝碼做自由落體過(guò)程的視頻，導(dǎo)入PASCO 軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析得到重力加速度，本實(shí)驗(yàn)用到的實(shí)驗(yàn)器材主要有：500g 砝碼m 一個(gè)，視頻記錄儀器（手機(jī)），數(shù)據(jù)分析儀器（電腦配以PASCO Capstone 軟件），100cm 坐標(biāo)參考尺。

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

2.1 在忽略空氣阻力的條件下，將500g 砝碼m 從高100cm處無(wú)初速度釋放，使得砝碼做自由落體運(yùn)動(dòng)，降落到地面放置的緩沖墊上。

2.2 利用手機(jī)對(duì)砝碼的運(yùn)動(dòng)程進(jìn)行拍攝，詳細(xì)流程如下：

2.2.1 選取簡(jiǎn)單的、干凈的背景樹(shù)立100cm 坐標(biāo)參考尺，確保參考尺的豎直；

2.2.2 將砝碼水平懸至一定高度（拍攝過(guò)程懸至100cm），必須確保砝碼的水平；

2.2.3 視頻拍攝開(kāi)始后將砝碼在一定高度無(wú)初速度釋放，期間保持手機(jī)的位置穩(wěn)定；

2.2.4 砝碼落地后拍攝結(jié)束。

2.3 將拍攝好的視頻導(dǎo)入電腦或U 盤(pán)中，對(duì)實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)做好視頻編輯與備份，再利用PASCO Capstone 軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，詳細(xì)流程如下：

2.3.1 打開(kāi)PASCO Capstone 軟件，點(diǎn)擊“創(chuàng)建實(shí)驗(yàn)”后再點(diǎn)擊“視頻分析”，將編輯后的視頻導(dǎo)入至軟件中。點(diǎn)擊播放視頻，其目的是確認(rèn)需要數(shù)據(jù)分析的視頻部分。

2.3.2 打開(kāi)視頻，調(diào)節(jié)xy 軸參考尺，使得xy 軸和視頻中參考尺在同一水平面方向一致。

2.3.3 播放完畢后點(diǎn)擊左上角“自動(dòng)跟蹤”標(biāo)志，再將框選“分析實(shí)物”的圈線(xiàn)框選至待測(cè)物體（即做自由落體的砝碼m），其目的是對(duì)砝碼m 運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤，以便作出一系列的定量分析。

2.3.4 選定待測(cè)物體后點(diǎn)擊“開(kāi)始”按鈕，軟件將砝碼m 的運(yùn)動(dòng)軌跡做標(biāo)識(shí)記錄，當(dāng)砝碼m 落地后自動(dòng)跟蹤標(biāo)識(shí)也隨之停止。

2.3.5 結(jié)束運(yùn)動(dòng)軌跡分析后，將右側(cè)工具欄中的“圖表”點(diǎn)擊拖至實(shí)驗(yàn)框內(nèi)，圖表中選擇適當(dāng)?shù)腦 軸與Y 軸參量,相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將自動(dòng)記錄在圖表中，即可根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析。

2.4 記錄一次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后再進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，減小實(shí)驗(yàn)誤差。

3 數(shù)據(jù)記錄與處理

需求將X 軸參量設(shè)置為“時(shí)間（秒s）”，Y 軸參量設(shè)置為“速度（米/秒m/s）”，完成設(shè)置后點(diǎn)擊左上角“放大”標(biāo)識(shí)，則軟件通過(guò)分析視頻行徑并結(jié)合坐標(biāo)軸參量規(guī)劃出砝碼m 做重力加速度的時(shí)間與速度圖像，對(duì)速度-時(shí)間的圖像（見(jiàn)圖1-2）求斜率，即可求出重力加速度數(shù)值。

圖1 對(duì)拍攝的自由落體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡采集

圖2 對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡采集后速度與時(shí)間的圖線(xiàn)

表1 多次測(cè)量速度與時(shí)間曲線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)性擬合結(jié)果

多次測(cè)量自由落體運(yùn)動(dòng)后，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡采集后進(jìn)行上述的數(shù)據(jù)處理，以速度v 為y，時(shí)間t 為x，用y=a+bx 進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到數(shù)據(jù)結(jié)果如表1。

實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)重力加速度的平均值9.77 為m/s2，上海地區(qū)實(shí)際重力加速度大小為9.7964m/s2，存在一定的誤差，每次測(cè)量結(jié)果的正確度均小于0.75%。而導(dǎo)致本實(shí)驗(yàn)誤差因素如下：（1）砝碼m 下落克服空氣阻力做功，但在計(jì)算過(guò)程中是忽略空氣阻力的；（2）視頻拍攝角度有一定的偏差，如拍攝過(guò)程有晃動(dòng)或拍攝角度沒(méi)有與參考尺平行；（3）對(duì)視頻中的砝碼m 做行徑分析的數(shù)據(jù)不夠密集；方法一：延長(zhǎng)測(cè)量距離大于一米，延長(zhǎng)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，增加采集數(shù)據(jù)點(diǎn)；方法二：自動(dòng)采集標(biāo)點(diǎn)應(yīng)該有一個(gè)位置設(shè)置采樣率，即一秒視頻采樣幾個(gè)點(diǎn)，可以提高采樣率。

4 分析與總結(jié)

由于本方法主要是通過(guò)動(dòng)態(tài)視頻分析法完成數(shù)據(jù)的測(cè)量，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，視頻拍攝的好壞直接影響到測(cè)量的結(jié)果，因此實(shí)驗(yàn)中應(yīng)注意幾個(gè)步驟：

4.1 背景應(yīng)當(dāng)選取簡(jiǎn)單的、干凈的，便于“自動(dòng)跟蹤”分析路徑時(shí)捕捉實(shí)物。

4.2 手機(jī)開(kāi)啟水平豎直參考線(xiàn)，將豎直參考線(xiàn)與坐標(biāo)參考尺平行再進(jìn)行拍攝。

4.3 為減小實(shí)驗(yàn)誤差，砝碼m 需水平釋放，確保砝碼落地時(shí)仍舊保持水平；砝碼運(yùn)動(dòng)過(guò)程中翻轉(zhuǎn)，對(duì)視頻捕捉帶來(lái)影響，會(huì)影響采集到的數(shù)據(jù)，用球體測(cè)量即可改善。

4.4 手機(jī)拍攝過(guò)程中應(yīng)當(dāng)保持鏡頭的穩(wěn)定，攝取相同的拍攝角度，減少實(shí)驗(yàn)誤差。

由本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果可知：計(jì)算所得的重力加速度g 值的相對(duì)誤差小于4%。說(shuō)明本文中所提供的測(cè)重力加速度g 的方法是可行的。通過(guò)此次實(shí)驗(yàn)，將傳統(tǒng)測(cè)量方法與創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)做了對(duì)比，以往繁雜的數(shù)據(jù)分析可交由電腦處理，同時(shí)也減小了實(shí)驗(yàn)誤差。本實(shí)驗(yàn)還可將其他拍攝效果更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖杂陕潴w運(yùn)動(dòng)的視頻進(jìn)行導(dǎo)入分析求出重力加速度。