徐賽，韓帥，孟維曉

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)通信技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

隨著越來越多的無線設(shè)備接入通信網(wǎng)絡(luò)中，由設(shè)備密集帶來的安全問題越來越嚴(yán)重[1]。除了常見的采用密碼學(xué)的保密方法外，物理層安全技術(shù)通過利用物理層傳輸介質(zhì)的隨機(jī)特性并進(jìn)行合適的編碼和信號(hào)處理，能夠確保只有合法接收者解碼保密信息，且解碼復(fù)雜度較低[2]。與采用密碼學(xué)的保密方法不同，物理層安全完全可以忽略竊聽者的運(yùn)算能力，而且也可以不考慮中心密鑰分發(fā)和管理[3]。

在物理層安全中，中繼由于可以提供額外的空間自由度，因此常用于加強(qiáng)合法接收者處或/和削弱竊聽者處的接收信號(hào)質(zhì)量。用于物理層安全比較常見的中繼技術(shù)包括合作波束成形[4-6]、合作干擾[7-10]以及中繼選擇[11-13]。當(dāng)中繼接收到的信號(hào)不十分可靠或者其周圍可能存在竊聽者時(shí)，中繼通過轉(zhuǎn)發(fā)信息并不能獲得滿意的保密性能[14]。針對(duì)這種情況，更合適的做法是將中繼用作沒有信息轉(zhuǎn)發(fā)的純粹合作干擾者，換句話說，中繼僅僅發(fā)射人工噪聲惡化竊聽者的信號(hào)接收[15-17]。雖然采用合作干擾的中繼技術(shù)能夠大幅度地提高通信系統(tǒng)的保密性能，但是現(xiàn)有的合作干擾技術(shù)幾乎都基于合法信道和竊聽信道二者相互獨(dú)立的假定，而這種假定不總符合實(shí)際情況。

在無線環(huán)境中，主信道（即從發(fā)射者到合法接收者的信道）和竊聽信道之間有時(shí)也可能具有一定的相關(guān)性。無線信道之間的相關(guān)程度常常與諸如無線電反射體和散射體、天線部署等一些因素有關(guān)[18]。在物理層安全研究場(chǎng)景中，當(dāng)無線接入設(shè)備密集較高時(shí)，主竊信道存在一定程度相關(guān)性的情況時(shí)常發(fā)生。另外，也存在一種可能的相關(guān)主竊信道情況，即竊聽者主動(dòng)靠近合法接收者用以誘導(dǎo)二者無線信道之間的相關(guān)性[19]。在主竊信道相關(guān)的情況下，參考文獻(xiàn)[18]中給出了保密容量的推導(dǎo)過程，并研究了該相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)保密容量的影響。在此基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[20]通過推導(dǎo)，給出了平均保密容量和中斷概率的精確表達(dá)式。參考文獻(xiàn)[21]研究了分集合并與相關(guān)信道保密容量的關(guān)系，并給出了通過調(diào)整分集階數(shù)和平均信道增益比來減小天線影響的方法。在參考文獻(xiàn)[22]中，假定發(fā)射端采用天線選擇方案，在此前提下，通過推導(dǎo)得出保密中斷概率的閉合表達(dá)式。參考文獻(xiàn)[23]提出一種發(fā)射天線選擇方案，通過選擇最合適的中繼能夠有效地提高通信系統(tǒng)的保密性能。進(jìn)一步，參考文獻(xiàn)[24]分析了與信道相關(guān)以及過時(shí)中繼選擇對(duì)通信系統(tǒng)安全性能的影響。另一方面，參考文獻(xiàn)[25]對(duì)與主竊信道相關(guān)條件下人工噪聲輔助的波束成形進(jìn)行了研究。與已有的人工噪聲輔助的波束成形方案相比，本文把信道的相關(guān)性當(dāng)作一種有用的信息資源，基于該信息資源人工噪聲分布得到進(jìn)一步優(yōu)化。在參考文獻(xiàn)[26]中，合法接收者利用全雙工的方式產(chǎn)生人工噪聲干擾竊聽者的信號(hào)接收。通過全雙工發(fā)射人工噪聲這種方式，相關(guān)主竊信道下的保密性能得以大幅度的提高。在參考文獻(xiàn)[27]中，多個(gè)合作干擾者被使用，通過發(fā)射人工噪聲來干擾竊聽者的信號(hào)接收，從而降低了主竊信道之間相關(guān)性造成的不利影響。

本文研究主竊信道相關(guān)情形下，基于相關(guān)性的合作干擾保密傳輸方法，用以提升保密中斷概率約束下的保密速率。雖然已有很多參考文獻(xiàn)[7-10]對(duì)基于合作干擾的保密傳輸方法進(jìn)行了研究，但是這些研究并不針對(duì)主竊信道相關(guān)的情況，因此通信系統(tǒng)的保密性能仍可以通過優(yōu)化進(jìn)行提升。本文針對(duì)主竊信道相關(guān)的情形，優(yōu)化設(shè)計(jì)基于相關(guān)性的合作干擾輔助的波束成形，旨在最大化保密中斷概率約束下的保密速率。

2 相關(guān) MISO 竊聽信道下的合作干擾模型

相關(guān)多輸入單輸出（multiple input single output，MISO）竊聽信道下采用合作干擾的網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示，其中發(fā)射端（Alice）配備N根發(fā)射天線，合法接收者（Bob）以及K個(gè)非串通的竊聽者（Eve）均配備單根天線，合作干擾者（Jammer）配備L根發(fā)射天線。為了增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的安全性，Jammer產(chǎn)生人工噪聲用以干擾Eve處的信號(hào)接收，從而達(dá)到擴(kuò)大Bob和Eve處信號(hào)接收質(zhì)量差距的目的。本模型假定 Alice能夠獲得完整的合法信道（從Alice或Jammer到Bob的信道）的信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI），以及Alice和Jammer二者均能夠獲得竊聽信道（從Alice或Jammer到Eve的信道）的統(tǒng)計(jì)CSI。另外，本模型也假定Alice處的發(fā)射天線信道相互獨(dú)立，而合法信道與竊聽信道之間存在一定的相關(guān)性。換句話說，從Alice或Jammer處的不同發(fā)射天線到單天線接收者（本模型中指Bob或Eve）的子信道相互獨(dú)立，而從 Alice或Jammer 處的同一根發(fā)射天線到Bob和Eve處的任意子信道對(duì)之間存在相關(guān)性。

圖1 相關(guān) MISO 竊聽信道下的合作干擾模型

hd∈CN×1、hk∈CN×1、gd∈CL×1和gk∈CL×1，(k∈ K ? {1,2,…,K})，分別指Alice到Bob、Alice到Eve、Jammer到Bob和Jammer到Eve的信道矢量?；趨⒖嘉墨I(xiàn)[28]，可知相關(guān)MISO竊聽信道下的合作干擾模型可以表示為：

其中，

在式（3）～式（6）中，αd、αk、βd和βk分別代表hd、hk、gd和gk的信道增益方差。對(duì)角矩陣Pk、Θk、Qk和Φk分別指從Alice到Bob和Eve的信道相關(guān)矩陣，從Alice到Bob和Eve的信道相位補(bǔ)償矩陣，從Jammer到Bob和Eve的信道相關(guān)矩陣，以及從Jammer到Bob和Eve的信道相位補(bǔ)償矩陣。并且，zh,k～CN (0,IN)和zg,k～CN (0,IL)分別為高斯白噪聲矢量，假定其均值為零，協(xié)方差矩陣為單位矩陣。不難發(fā)現(xiàn)，hk的協(xié)方差矩陣為，gk的協(xié)方差矩陣為。另外，也假定和二者也可以通過估計(jì)獲得。

3 保密速率最大化問題

當(dāng)Alice發(fā)射承載保密信息的信號(hào)x∈CN×1，且Jammer發(fā)射人工噪聲v∈CL×1時(shí)，在Bob與第k個(gè)Eve處的接收信號(hào)分別為：

其中，nd～CN (0,1)和nk～CN (0,1)分別為Bob和第k個(gè)Eve處的零均值單位方差復(fù)高斯白噪聲。w指數(shù)據(jù)符號(hào)s～ CN (0,1)的波束成形器，為人工噪聲矢量的協(xié)方差矩陣。因此，在Bob和第k個(gè)Eve處的信干噪比為：

于是可知通信系統(tǒng)的保密容量為：

保密中斷概率常用來評(píng)估通信系統(tǒng)慢衰落信道的保密性能，其定義為：

其中，Rs指目標(biāo)保密速率。不難看出，保密中斷概率描述了相干時(shí)間間隔內(nèi)保密容量小于目標(biāo)保密速率的概率。本文的目標(biāo)是在保密中斷概率約束下最大化目標(biāo)保密速率，該問題可以表述為如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

其中，Ps代表Alice的發(fā)射功率，Pj代表Jammer的發(fā)射功率,ε∈ (0,1)為通信系統(tǒng)所設(shè)定的保密中斷概率。

4 保密速率最大化問題求解

為了獲得非凸優(yōu)化問題（13）的可行解，本文使用半正定松弛方法將該問題提升到更高維度。具體地，定義。因?yàn)閞ank(W)=1,W0等價(jià)于W=wwH，所以非凸優(yōu)化問題（13）轉(zhuǎn)化為：

忽略秩約束條件rank(W)=1，該優(yōu)化問題可以松弛為：

該優(yōu)化問題的難點(diǎn)在于概率約束條件，為了求解該問題，需要將其轉(zhuǎn)換成確定的形式。具體地，該概率約束條件可以重寫為：

關(guān)系式成立，所以可以通過求解如下優(yōu)化問題（18）來獲得優(yōu)化問題（15）的可行解。

不難發(fā)現(xiàn)，滿足優(yōu)化問題（18）的解一定是優(yōu)化問題（15）的解。也就是說，通過求解優(yōu)化問題（18）可以獲得優(yōu)化問題（15）的一組次優(yōu)解。盡管很難獲得優(yōu)化問題（18）概率約束條件的閉合表達(dá)式，但是使用兩種方法，即范數(shù)邊界法和伯恩不等式法，能夠?qū)⑵浣频剞D(zhuǎn)化成確定的形式，進(jìn)而獲得該優(yōu)化問題的一組近似解。

4.1 范數(shù)邊界法

范數(shù)邊界法的主要思想是，將涉及高斯信道不確定的概率約束條件轉(zhuǎn)化為具有范數(shù)邊界的約束條件，從而形成一個(gè)有界變量的優(yōu)化問題求解。根據(jù)本文中相關(guān) MISO 竊聽信道下的合作干擾模型，作為隨機(jī)部分是一個(gè)均值為零的復(fù)高斯矢量，其協(xié)方差矩陣為。所以，位于具有2N維度橢球內(nèi)的概率為：

其中：

hk代表橢球不確定區(qū)域的大小。是具有2N自由度標(biāo)準(zhǔn)差為1的χ2隨機(jī)分布的累積概率密度的反函數(shù)。采用類似方法也可知，位于具有2L維度橢球內(nèi)的概率為：

其中：

gk指橢球不確定區(qū)域的大小。是具有2L自由度標(biāo)準(zhǔn)差為1的χ2隨機(jī)分布的累積概率密度的反函數(shù)。基于此，可得：

于是，優(yōu)化問題（18）可以轉(zhuǎn)化為：

引入松弛變量β，可得：

令W=Q/ξ,V=S/ξ,ξ＞0，于是可得：

注意在優(yōu)化問題（26）中，約束條件ξ＞ 0被替換成了ξ≥ 0。需要指出的是，這種替換不會(huì)影響問題的求解結(jié)果。這是因?yàn)?，變量ξ在該?yōu)化問題中一定為正（否則Q=S=0）。由于log函數(shù)是一個(gè)單調(diào)增函數(shù)，因此可得：

應(yīng)用S-procedure[30]，可得

其中，λi≥ 0,λr≥ 0,i,r∈K是松弛變量。當(dāng)β固定時(shí)，該優(yōu)化問題是一個(gè)半正定規(guī)劃問題。因此，該優(yōu)化問題的最佳解和能夠通過聯(lián)合使用半正定規(guī)劃和對(duì)β的一維線性搜索求出。基于參考文獻(xiàn)[31]，β的線性搜索的區(qū)間為。于是，優(yōu)化問題（18）的一組次最優(yōu)解可以通過和求出。

4.2 伯恩不等式法

伯恩不等式法也能夠?qū)?yōu)化問題（18）中的概率約束條件轉(zhuǎn)化成確定的形式。具體地，該優(yōu)化問題的概率約束條件通過引入中間變量Γe，可得：

其中：

根據(jù)本文建立的相關(guān) MISO 竊聽信道下的合作干擾模型，竊聽信道hk由兩部分組成：確定的部分和統(tǒng)計(jì)的部分。同時(shí)，竊聽信道gk也由確定的部分和統(tǒng)計(jì)的部分組成。于是可得：

令：

于是，式（32）可以簡(jiǎn)化為：

根據(jù)參考文獻(xiàn)[32]，涉及矩陣高斯變量二次型的概率不等式能夠得到其尾部概率的邊界。基于此，概率約束條件（37）可以轉(zhuǎn)化為：

其中，σk=-ln(εk)。換句話說，如果式（38）成立，那么概率約束條件式（37）也一定成立。于是，優(yōu)化問題（18）可以保守地轉(zhuǎn)化為：

該優(yōu)化問題等價(jià)于：

其中，μk和νk為松弛變量。由于ck與變量Γe有關(guān)，所以該優(yōu)化問題是非凸的。幸運(yùn)地是，該優(yōu)化問題可以通過Charnes-Cooper變換和變量替換轉(zhuǎn)化成一個(gè)半正定規(guī)劃問題[29]。具體地，令并考慮到可得：

盡管該優(yōu)化問題仍然是一個(gè)非凸的問題，但是當(dāng)Γe固定時(shí)，該問題確實(shí)是一個(gè)半正定規(guī)劃問題。因此，該優(yōu)化問題能夠通過聯(lián)合使用半正定規(guī)劃和對(duì)Γe的一維線性搜索求出?；趨⒖嘉墨I(xiàn)[33]，對(duì)Γe的一維線性搜索的區(qū)間是。注意：在該優(yōu)化問題中，約束條件ξ＞ 0被替換成了ξ≥ 0，并且這種替換不影響其結(jié)果。這是因?yàn)?，變量ξ在該?yōu)化問題中一定為正，否則Q=S=0。基于優(yōu)化問題（41）的解Q*和S*，可得優(yōu)化問題（18）的次優(yōu)解W*和V*。

5 波束成形矢量的恢復(fù)

通過上述的范數(shù)邊界法和伯恩不等式法，能夠求出優(yōu)化問題（18）的一組次最優(yōu)解W*和V* 。由于求解過程進(jìn)行了秩松弛，所以不能確保獲得的W*是秩為 1的復(fù)厄密特矩陣。如果矩陣W*是秩為 1 的復(fù)厄密特矩陣，則能夠通過奇異值分解求出波束成形矢量w*，作為原始優(yōu)化問題（13）的近似解。如果W* 不是秩為 1 的復(fù)厄密特矩陣，則能夠通過隨機(jī)高斯方法[33]，從W*恢復(fù)一個(gè)近似的波束成形矢量w*。

6 復(fù)雜度分析

當(dāng)采用范數(shù)邊界法通過內(nèi)點(diǎn)法對(duì)優(yōu)化問題（29） 進(jìn)行求解時(shí)，對(duì)于固定的β，在精度為∈1限制下，需要的迭代次數(shù)的階數(shù)為每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度階數(shù)為，其中，。另外，對(duì)β的一維線性搜索的復(fù)雜度為，其中，∈2指搜索精度。綜上，優(yōu)化問題（29）求解的總復(fù)雜度為。

當(dāng)采用伯恩不等式法通過內(nèi)點(diǎn)法對(duì)優(yōu)化問題（41）進(jìn)行求解時(shí)，對(duì)于固定的Γe，在精度為限制下，需要的迭代次數(shù)的階數(shù)為每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度階數(shù)為其中。另外，對(duì)β的一維線性搜索的復(fù)雜度為其中，∈4指搜索精度。綜上，優(yōu)化問題（41）求解的總復(fù)雜度為C5×C6。

7 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)通過仿真評(píng)估采用的基于相關(guān)性的合作干擾方案獲得保密性能，包括信道功率相關(guān)系數(shù)期望值、保密中斷概率、信源和合作干擾節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率以及竊聽節(jié)點(diǎn)數(shù)量對(duì)保密性能影響。為了更加容易地看出性能增益，本節(jié)也對(duì)傳統(tǒng)的合作干擾方法（波束成形矢量與主信道方向一致，人工噪聲均勻散布在從Jammer到Bob信道的零空間）進(jìn)行了仿真。本文使用ρ表示合法信道與竊聽信道的功率相關(guān)系數(shù)的期望值，同時(shí)假設(shè)合法信道和竊聽信道的各對(duì)子信道之間的功率相關(guān)系數(shù)服從均勻分布且從[ρ- 0.1,ρ+ 0.1]中抽樣產(chǎn)生。另外，主信道的增益方差設(shè)置為1。由于從Alice到各個(gè)Eve的距離不同，同時(shí)考慮到Eve潛伏在Bob附近，因此，假定竊聽信道方差為，且αk服從均勻分布并從+ 0.05]中抽樣產(chǎn)生。合法干擾信道增益方差設(shè)置為2。由于從Jammer到各個(gè)Eve的距離不同，同時(shí)考慮到Eve潛伏在Bob附近，因此，假定竊聽信道方差為，且βk服從均勻分布并從[βd- 0.1,βd+ 0.1]中抽樣產(chǎn)生。本文在仿真途中使用“傳統(tǒng)、范數(shù)和伯恩”分別指?jìng)鹘y(tǒng)波束成形方法、范數(shù)邊界法、伯恩不等式法；N和M分別指Alice和Eve配有的天線數(shù)。

功率相關(guān)系數(shù)期望值與可實(shí)現(xiàn)的保密速率的關(guān)系如圖2所示，本文對(duì)功率相關(guān)系數(shù)期望值ρ和可實(shí)現(xiàn)的保密速率Rs的關(guān)系進(jìn)行了仿真。仿真中，一些參數(shù)設(shè)置如下：ε= 0.15，Ps= 15 dBW，Pj= 10 dBW，L= 4，K= 2。圖2顯示Rs的變化依賴于ρ?？梢钥闯觯瑐鹘y(tǒng)波束成形方法的Rs隨ρ的增加迅速下降。這主要是因?yàn)椋鞲`信道之間的相關(guān)性會(huì)損害通信系統(tǒng)的保密性。在仿真圖中，范數(shù)邊界法和伯恩不等式法的Rs隨ρ的增加而提高，并且ρ較大時(shí)Rs增長(zhǎng)速度更快。其原因是，當(dāng)ρ較低時(shí)，竊聽信道的隨機(jī)部分所占部分過大，這導(dǎo)致從概率約束條件到其確定形式的轉(zhuǎn)化不夠保守。圖2也顯示相比傳統(tǒng)波束成形方法，當(dāng)ρ較高時(shí)范數(shù)邊界法和伯恩不等式法實(shí)現(xiàn)了更高的Rs。這是因?yàn)?，主竊信道之間的高相關(guān)性暗示了更多竊聽信道的信道狀態(tài)信息，這使得優(yōu)化合作干擾設(shè)計(jì)更加有效。同時(shí)也看到，當(dāng)Alice具有更多發(fā)射天線時(shí)，Rs增長(zhǎng)十分明顯。其原因是，通過提升空間自由度，能夠有效地?cái)U(kuò)大 Bob和Eve處接收信號(hào)的質(zhì)量差距。通過比較，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Alice具有更多發(fā)射天線時(shí)，范數(shù)邊界法和伯恩不等式法的優(yōu)勢(shì)相比傳統(tǒng)波束成形方法更加明顯。

圖2 功率相關(guān)系數(shù)期望值與可實(shí)現(xiàn)的保密速率的關(guān)系

保密中斷概率與可實(shí)現(xiàn)的保密速率的關(guān)系如圖3所示，呈現(xiàn)了保密中斷概率ε與可實(shí)現(xiàn)的保密速率Rs的仿真關(guān)系。仿真中，一些參數(shù)設(shè)置如下：ρ= 0.7，Ps= 15 dBW，Pj= 10 dBW，L= 4，K= 2。圖3顯示ε的增加會(huì)引起Rs的增加，這與已有的通信知識(shí)一致。另外，圖3與圖2所得的結(jié)論一致，當(dāng)Alice具有更多發(fā)射天線時(shí)，范數(shù)邊界法和伯恩不等式法能夠取得更好的性能。

圖3 保密中斷概率與可實(shí)現(xiàn)的保密速率的關(guān)系

Eve的數(shù)量K與可實(shí)現(xiàn)的保密速率Rs的仿真關(guān)系如圖4所示。仿真中，一些參數(shù)設(shè)置如下：ρ=0.7，Ps=15 dBW，Pj=10 dBW，L=4，ε= 0.15。 從圖4中，很容易發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有曲線，K的增加會(huì)導(dǎo)致Rs快速下降，但下降速度會(huì)逐漸變慢。圖4的仿真結(jié)果顯示Eve的數(shù)量K的增加會(huì)有損通信的保密性能。其原因是，隨著Eve的數(shù)量K的增加，有一個(gè)較好條件的竊聽信道概率會(huì)增加。另外，圖4的仿真結(jié)果再次證實(shí)，Alice具有更多發(fā)射天線對(duì)于范數(shù)邊界法和伯恩不等式法而言更加有利。

綜合來看圖2至圖4，范數(shù)邊界法一般要優(yōu)于伯恩不等式法和傳統(tǒng)的合作干擾方法。并且，這些方法獲得的性能增益取決于功率相關(guān)系數(shù)期望值、保密中斷概率和Eve數(shù)量的具體取值。究其原因是，范數(shù)邊界法和伯恩不等式法是通過近似手段將概率約束條件轉(zhuǎn)化成確定形式的，而其近似程度與上述變量的取值密切相關(guān)。

圖4 Eve 的數(shù)量與可實(shí)現(xiàn)的保密速率的關(guān)系

8 結(jié)束語

本文針對(duì)采用合作干擾的相關(guān)MISO竊聽信道，提出了一種基于相關(guān)性的合作干擾方案，能夠在一定條件下提升在保密中斷概率約束下的保密速率。首先，建立了相關(guān)MISO竊聽信道下的合作干擾模型，并形成一個(gè)在保密中斷概率約束下的保密速率最大化問題。為了求解該問題，采用范數(shù)邊界法和伯恩不等式法將概率約束條件近似保守地轉(zhuǎn)化成確定的形式，進(jìn)而將該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸優(yōu)化問題并獲得了波束成形矢量和人工噪聲協(xié)方差的一組近似解。根據(jù)仿真結(jié)果，在主竊信道相關(guān)性較高時(shí)，提出的基于相關(guān)性的合作干擾方案相比傳統(tǒng)方案，能夠獲得較高保密速率增益。并且，提出的合作干擾方案在發(fā)射者具有更多天線時(shí)優(yōu)勢(shì)更加明顯。