周 振， 王冬青， 許崇立

(1.青島大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266071; 2.青島大學(xué) 電氣工程學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引 言

機(jī)械臂是一種具有高度非線性、多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜被控對(duì)象，容易受到自身參數(shù)不確定和外界干擾等不確定因素的影響[1～3]，尤其是當(dāng)前研究熱點(diǎn)的模塊化機(jī)械臂，其參數(shù)不確定性更大，很難得到精確的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型[4,5]。因此,其軌跡跟蹤控制具有極高的研究?jī)r(jià)值并且是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂穩(wěn)定、快速、精確的軌跡跟蹤控制，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究工作。

目前機(jī)械臂的軌跡跟蹤方法主要包括有自適應(yīng)比例—積分—微分(proportional-integral-differential,PID)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制、模糊自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制和魯棒自適應(yīng)控制幾種控制方法[6，7]。其中滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)快速、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)不敏感等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂的軌跡跟蹤中[8,9]。但由于滑模控制固有的抖振問(wèn)題不僅會(huì)影響系統(tǒng)控制的精確性，而且會(huì)增加控制器的負(fù)擔(dān)，容易損壞控制器的部件。并且滑模控制需要假設(shè)系統(tǒng)不確定性上界已知，這就增加了理論分析的約束條件?；？刂婆c智能控制相結(jié)合的控制方法是近年來(lái)抗抖振研究的熱點(diǎn)[10]。文獻(xiàn)[11，12]將滑?？刂婆c模糊控制相結(jié)合，抑制了輸出力矩的抖振，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的軌跡跟蹤。但模糊控制主要依賴研究者的經(jīng)驗(yàn)，有一定的應(yīng)用難度。文獻(xiàn)[13]使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)整滑模開(kāi)關(guān)增益，使控制器獲得了良好的動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[14]針對(duì)機(jī)械臂的不確定性和外部干擾提出了一種神經(jīng)滑?？刂品椒ǎ珱](méi)有補(bǔ)償神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，在不同的條件下的收斂速度有較大的差別。

本文考慮到機(jī)械臂的模型不確定性以及外部干擾項(xiàng)，設(shè)計(jì)了一種控制算法不依賴機(jī)械臂的精確動(dòng)力學(xué)模型和先驗(yàn)的上界知識(shí)。

1 機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

如圖1所示三自由度(degree of freedom,DoF)RRR構(gòu)型模塊化機(jī)械臂，其基座腰關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，肩與肘兩關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)俯仰運(yùn)動(dòng)。為了建模方便，只考慮了基座、前臂和后臂，忽略了手腕部分。a2和a3分別是后臂連桿質(zhì)心到關(guān)節(jié)2的距離和前臂連桿質(zhì)心到關(guān)節(jié)3的距離，l2和l3為后臂連桿和前臂連桿的長(zhǎng)度，I1，I2，I3分別是基座、后臂連桿和前臂連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。m2和m3分別是后臂連桿和前臂連桿的質(zhì)量。

圖1 3DoF自由度模塊化機(jī)械臂模型

前臂連桿末端的位置在基參考坐標(biāo)系下的位置為

x=[l2cosq2+l3cos(q2+q3)]cosq1

y=[l2cosq2+l3cos(q2+q3)]sinq1

z=l2sinq2+l3sin(q2+q3)

(1)

根據(jù)拉格朗日建模法，針對(duì)圖1所示的3DoF自由度模塊化機(jī)械臂，建立其動(dòng)力學(xué)模型

(2)

其中

2m3a3l2cos(q2)cos(q2+q3)

2m3a3l2cos(q3)

G1=0,G2=(m2a2+m3l2)cos(q2)+m3a3gcos(q2+q3),G3=m3a3gcos(q2+q3)

可以將機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為

(3)

從動(dòng)力學(xué)模型可以看出，3DOF模塊化機(jī)械臂具有非線性和強(qiáng)耦合性，所以,存在較大外部干擾并且機(jī)械臂系統(tǒng)的精確動(dòng)力學(xué)模型難以獲得。

2 改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)

由于指數(shù)趨近律具有參數(shù)可調(diào)節(jié)，趨近速度快，可在有限時(shí)間內(nèi)收斂的優(yōu)點(diǎn)，所以本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。但在指數(shù)趨近律中，系統(tǒng)在切換帶中向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能趨近于原點(diǎn)，而是在原點(diǎn)附近來(lái)回震動(dòng)進(jìn)而引起抖振。本文對(duì)指數(shù)趨近律做出如下改進(jìn)：利用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)tanh(s)代替符號(hào)函數(shù)sgn(s)，并且在指數(shù)趨近項(xiàng)中引入自適應(yīng)項(xiàng)。表示如下

(4)

雙曲正切函數(shù)的表達(dá)式為

(5)

其中,w>0,w的大小決定雙曲正切函數(shù)拐點(diǎn)的變化快慢。取w=0.5，雙曲正切函數(shù)和符號(hào)函數(shù)的比較如圖2所示?？梢钥闯?，雙曲正切函數(shù)是連續(xù)光滑的，彌補(bǔ)了一般指數(shù)趨近律由于符號(hào)函數(shù)sgn(s)在平衡點(diǎn)處不連續(xù)引起的高頻抖振，緩解了控制輸入的不連續(xù)性。

圖2 連續(xù)冪次函數(shù)和符號(hào)函數(shù)比較

當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，s較大，指數(shù)項(xiàng)占主導(dǎo)作用，此時(shí)|s|q的值比較大，使得系統(tǒng)狀態(tài)能以較大的速度趨近于滑動(dòng)模態(tài)，彌補(bǔ)了引入飽和函數(shù)而降低的系統(tǒng)跟蹤速度。而隨著系統(tǒng)對(duì)誤差的調(diào)節(jié)，s較小，此時(shí)-ε|s|ptanh(s)為主導(dǎo)項(xiàng)，|s|p也較小，能保證系統(tǒng)以較小的速度到達(dá)滑模面，進(jìn)而降低了系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑模面的初始抖振。系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，狀態(tài)變量穿過(guò)滑模面的幅度逐漸減小，直到系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定于平衡點(diǎn)，抖振現(xiàn)象消失。

由上述分析可知，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)指數(shù)趨近律克服了指數(shù)趨近律中切換帶為帶狀的缺點(diǎn)，能夠在提高系統(tǒng)趨近滑模面速度的同時(shí)削弱輸入力矩的抖振現(xiàn)象，并且滿足滑模存在及可達(dá)性條件

(6)

3 控制算法

3.1 名義模型控制率

對(duì)于系統(tǒng)的名義模型，采用計(jì)算力矩法控制，在內(nèi)控制回路中引入非線性補(bǔ)償，使機(jī)械臂控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為易于控制的線性定常系統(tǒng)

(7)

(8)

(9)

結(jié)合式(7)和式(8)得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)

(10)

可以看出，在不考慮建模誤差和外界擾動(dòng)時(shí)，通過(guò)選擇合適的增益矩陣Kd和Kp，跟蹤誤差可趨近于零。而實(shí)際應(yīng)用中，很難得到精確的數(shù)學(xué)模型，因此,考慮到模型不確定性和未知外界干擾，將機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步表示為

(11)

(12)

3.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

綜合考慮到機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，總控制器為

(13)

式中τs為滑?？刂破?，滑模面采用線性滑模函數(shù)

(14)

將式(12)、式(13)代入上式得

(15)

取趨近律為改進(jìn)的趨近律，結(jié)合式(15)，那么滑?？刂破髟O(shè)計(jì)為

τs=M0(q)(ε|s|ptanh(s)+

(16)

3.3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

為了實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確的軌跡跟蹤，并抑制輸出力矩的抖振，機(jī)械臂的不確定項(xiàng)必須得到近似。與反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(back propogation neural network,BPNN)相比，徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural network,RBFNN)具有逼近性能好、全局最優(yōu)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、訓(xùn)練速度快等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用。理論上，RBFNN可以逼近任意精度的任意連續(xù)函數(shù)。因此，本文采用RBFNN對(duì)不確定性項(xiàng)進(jìn)行逼近。理想的RBFNN算法描述如下

(17)

ρ(x,θ)=θ*Tφ(x)+η

(18)

(19)

(20)

式中?！蔙3×3為待設(shè)計(jì)的調(diào)整系數(shù)矩陣?？紤]到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，那么系統(tǒng)的總控制器重描述為

(21)

式中v為克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差ε的魯棒項(xiàng)，v=-η0tanh(s)。趨近律為

(22)

利用Lyapunov函數(shù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并將Lyapunov函數(shù)選為

(23)

求導(dǎo)得到

(24)

根據(jù)LaSalle不變性原理，閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。綜上所述，本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

4 仿真與分析

機(jī)械臂連桿的桿長(zhǎng)為l2=0.5 m,l3=0.5 m；質(zhì)量為m2=5 kg,m3=3 kg；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1=1.5 kg·m-2,I2=0.8 kg·m-2,I3=0.6 kg·m-2。取外界干擾模型的參數(shù)為d1=2，d2=3，d3=6。取建模誤差為ΔM=0.2M，ΔC=0.2C，ΔG=0.2G。滑?？刂破鞯膮?shù)設(shè)定為：V=diag(10,10,10)，ε=0.6，p=2，q=2，w=0.5，k=5，η0=0.1，Γ=[5,5,5,5,5]。RBFNN的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為7，高斯基函數(shù)的基寬度bi=2，隱含層高斯基函數(shù)的中心值為c=[-1,-0.5,0,0.5,1]。

取機(jī)械臂初始狀態(tài)為q1=[0,π/6,-5π/6]T終止?fàn)顟B(tài)為q2=[-π/2,π/3,-π/2]T。3個(gè)關(guān)節(jié)的初始角速度、初始角加速度和終止角速度、終止角加速度均為零。通過(guò)5次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃獲得其期望軌跡，并對(duì)比基于指數(shù)趨近律的滑模控制的仿真結(jié)果加以分析。兩種算法的關(guān)節(jié)位置仿真結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，兩種算法都能取得較好的跟蹤效果。兩種算法的關(guān)節(jié)角度跟蹤誤差比較如圖4(c)所示，相較而言，由于改進(jìn)趨近律中自適項(xiàng)的引入，使得本文所提算法收斂速度更快，跟蹤精度更高。

圖4 兩種算法滑?？刂平嵌雀櫧Y(jié)果和關(guān)節(jié)角度誤差比較

兩種算法的輸出力矩如圖5所示。在基于指數(shù)趨近律的滑?？刂浦校瑸榱藢?shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)角度的準(zhǔn)確跟蹤，而選擇了充分大的不確定項(xiàng)的上界值，雖然實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)角度的準(zhǔn)確跟蹤，但是加重了輸出力矩的抖振，可以看出基于指數(shù)趨近律的滑?？刂戚敵隽厥冀K有較大抖振，而本文所提方法可以自適應(yīng)地辨識(shí)并補(bǔ)償不確定項(xiàng)，又使用改進(jìn)趨近律又進(jìn)一步抑制了抖振，可以看出，得到的輸出力矩只在開(kāi)始階段有小幅抖振，其余階段輸出力矩平穩(wěn)。

圖5 二種算法滑模控制輸出力矩結(jié)果

5 結(jié) 論

針對(duì)不確定性較強(qiáng)的模塊化機(jī)械臂系統(tǒng)中控制精度低，尤其是輸出力矩抖振嚴(yán)重這一問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律，并利用RBFNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)地補(bǔ)償建模不確定項(xiàng)和外界干擾。在3DoF模塊化機(jī)械臂上對(duì)控制算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明：所提方法在考慮到外部干擾且沒(méi)有精確的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的情況下，不僅提升了控制精度，加快了控制系統(tǒng)的收斂速度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)規(guī)劃的期望軌跡快速穩(wěn)定精確跟蹤，而且極大地降低輸入力矩的抖振，在實(shí)際應(yīng)用中可以較好地保護(hù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。