周 媛，劉永芳，馬生昌，趙 宇

（西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安 710129）

1 引 言

隨著計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)、微電子等新科技在軍事方面的不斷發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)形態(tài)逐漸從“機(jī)械化”向“信息化、智能化”轉(zhuǎn)變，無人系統(tǒng)作戰(zhàn)技術(shù)已成為各國(guó)爭(zhēng)相發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)。而傳統(tǒng)的單機(jī)作戰(zhàn)由于其探測(cè)能力、抗擾能力、打擊能力等方面的局限性導(dǎo)致其無法適應(yīng)現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)環(huán)境的復(fù)雜性、作戰(zhàn)任務(wù)的艱巨性，因此，無人系統(tǒng)集群作戰(zhàn)將成為未來戰(zhàn)爭(zhēng)的主要作戰(zhàn)方式[1-3]。在此背景下，對(duì)基于多智能體的無人系統(tǒng)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制這一關(guān)鍵技術(shù)就顯得尤為重要。

多智能體系統(tǒng)是近年來新興的一個(gè)比較熱門的研究方向，它是指由一系列信息交互的智能體組成的群體系統(tǒng)，其內(nèi)部的各智能體可通過相互感知、相互通信等方式，完成單個(gè)智能體所不能完成的大規(guī)模的復(fù)雜的特定任務(wù)。分布式控制是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的主要方式，其僅依賴每個(gè)智能體與其鄰居智能體間的狀態(tài)信息交互對(duì)系統(tǒng)實(shí)行控制。分布式控制的優(yōu)勢(shì)在于完成任務(wù)的同時(shí)也克服了集中式控制產(chǎn)生的計(jì)算量與能耗較大的缺陷，具有更高的應(yīng)用價(jià)值。作為多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的熱點(diǎn)研究問題，編隊(duì)控制要求系統(tǒng)中的每個(gè)個(gè)體在執(zhí)行任務(wù)過程中能保持一定的幾何形態(tài)，以適應(yīng)其所處的環(huán)境約束。比如在大型物資運(yùn)輸過程中，對(duì)運(yùn)輸車輛所處的位置有一定的要求，以滿足運(yùn)輸過程的穩(wěn)定和負(fù)載平衡等[4-5]。

近年來，大量的國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多智能體系統(tǒng)分布式編隊(duì)控制進(jìn)行了深入的研究，并且取得了豐碩的研究成果。文獻(xiàn)[6]基于人工勢(shì)能場(chǎng)，對(duì)輪式機(jī)器人模型系統(tǒng)領(lǐng)航—跟蹤問題進(jìn)行了深入研究，提出了一種新型的“行星–衛(wèi)星”式避障算法。但該算法僅能保證系統(tǒng)漸近收斂，即當(dāng)時(shí)間接近正無窮大時(shí)，跟蹤者才能收斂到其領(lǐng)航者的軌跡。然而，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，對(duì)任務(wù)時(shí)間總是有著一定的要求，人們期望系統(tǒng)能在給定的時(shí)間限制之前達(dá)到控制目標(biāo)。因此，Cortés[7]基于一階積分器系統(tǒng)提出了有限時(shí)間控制，并將其應(yīng)用于梯度系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性控制。自此，出現(xiàn)了多種多樣的有關(guān)多智能體有限時(shí)間控制問題，如有限時(shí)間跟蹤問題[8-9]，多衛(wèi)星有限時(shí)間編隊(duì)問題[10-13]和自適應(yīng)有限時(shí)間同步問題[14]。但是，有限時(shí)間控制所得到的收斂時(shí)間常與初始狀態(tài)相關(guān)，如果不能預(yù)先獲得系統(tǒng)的初始狀態(tài)，那么控制器將會(huì)失去其效用。于是又提出了固定時(shí)間算法[15-17]來解決這個(gè)問題。該算法主要依賴控制器的參數(shù)，計(jì)算出其收斂時(shí)間的上界，所以，固定時(shí)間算法的收斂時(shí)間通常具有一定的保守性。為克服以上算法的缺陷，本文提出了一種指定時(shí)間控制算法，使系統(tǒng)的收斂時(shí)間僅取決于用戶的設(shè)定值。

需要指出的是，上述文獻(xiàn)的研究均是基于智能體之間為協(xié)同合作關(guān)系假設(shè)得出的，而實(shí)際中不同個(gè)體間既存在合作關(guān)系又存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，這樣的考慮更為普遍。文獻(xiàn)[18]正是基于這樣的想法，將智能體間的信息交互用圖論進(jìn)行描述，其中正的邊權(quán)重可以表示個(gè)體間為合作關(guān)系，負(fù)的權(quán)重可表示智能體間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系?；谶@樣的模型，Altafini[18]提出了“雙向一致性”的概念，并給出了多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)雙向一致性的充要條件。于是，文獻(xiàn)[19-20]分別研究了一階積分器和二階積分器多智能體系統(tǒng)雙向一致性編隊(duì)問題，其要求智能體能以分組的形式實(shí)現(xiàn)各組的編隊(duì)構(gòu)型，并且每組智能體能以特定的隊(duì)形、相反的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。除此之外，文獻(xiàn)[21]針對(duì)二階非線性多智能體系統(tǒng)雙向編隊(duì)問題，設(shè)計(jì)了脈沖控制器及狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)脈沖控制機(jī)制下系統(tǒng)雙向編隊(duì)目標(biāo)。但目前，在多智能體系統(tǒng)雙向編隊(duì)控制這一問題上的研究成果還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足，還需從不同的控制算法、不同的控制系統(tǒng)對(duì)多智能體系統(tǒng)雙向編隊(duì)控制進(jìn)行較為深入的探討。

因此，本文研究了具有一般線性動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間雙向編隊(duì)問題。利用龐特里亞金極大值原理和運(yùn)動(dòng)規(guī)劃技術(shù)，提出了雙向編隊(duì)控制算法，使系統(tǒng)能夠在指定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)雙向編隊(duì)。與現(xiàn)有的多智能體系統(tǒng)分布式控制結(jié)果相比，本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：首先，提出了一種變?cè)鲆娴闹付〞r(shí)間控制律，系統(tǒng)的收斂時(shí)間可由用戶任意指定，克服了傳統(tǒng)的有限時(shí)間控制對(duì)初始狀態(tài)的依賴性和固定時(shí)間控制導(dǎo)致的保守性的缺點(diǎn)[7-17]。其次，與現(xiàn)有的基于完全協(xié)同拓?fù)鋄6-17]的文獻(xiàn)不同，本文研究的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)同時(shí)含有協(xié)同和競(jìng)爭(zhēng)作用。但本文提出的控制算法同樣適用于解決傳統(tǒng)的非負(fù)圖的指定時(shí)間一致性編隊(duì)問題。最后，值得注意的是，本文提出的控制器僅依賴離散的采樣時(shí)刻多智能體的狀態(tài)，也就是說該算法并不需要系統(tǒng)實(shí)時(shí)通信，僅要求系統(tǒng)在采樣點(diǎn)處滿足一定的通信條件。因此，該算法能夠減輕網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)擔(dān)，降低其對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信能力的要求。

2 背景知識(shí)

2.1 記號(hào)說明

本文使用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。文中，用R表示實(shí)數(shù)集，Rn表示n維的實(shí)列向量集， Rm×n表示m×n的實(shí)矩陣集。那么， 1n∈Rn表示元素為1的n維列向量，In∈Rn×n表示單位矩陣。d iag {m1,m2,… ,mn}表示以m1,m2,… ,mn為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。?表示克羅內(nèi)克積，表示歐幾里得范數(shù)， det ()表示行列式， sgn ()表示符號(hào)函數(shù)，表示絕對(duì)值符號(hào)。對(duì)于一個(gè)矩陣M∈Rn×n來說，M?0意味著M的所有元素均非負(fù)，若其同時(shí)滿足M1n=1n，則稱M為隨機(jī)矩陣。

引理 1.對(duì)于隨機(jī)矩陣M，若其所有特征值滿足則稱其為SIA（Stochastic，Indecomposable, Aperiodic）矩陣。并且M具有如下性質(zhì)：其中y∈Rn表示元素均非負(fù)的n維列向量[22]。

2.2 圖論知識(shí)

基于圖論知識(shí)，本文使用帶符號(hào)的有向圖G = ( V,E,A)來表示智能體間通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中點(diǎn)集 V ={1 ,2,…,N}表示N個(gè)智能體，邊集E = {Eij= (i,j)} 表示智能體之間的信息流，A= [aij] ∈RN×N表示圖G 的加權(quán)鄰接矩陣。邊集元素表示從有信息流從j節(jié)點(diǎn)傳遞給i節(jié)點(diǎn)，從而A中相應(yīng)的元素αij≠ 0，反之，αij=0；如果αij＜ 0表示j節(jié)點(diǎn)和i節(jié)點(diǎn)之間為競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，αij＞ 0表示j節(jié)點(diǎn)和i節(jié)點(diǎn)之間為合作關(guān)系。本文不考慮帶有自環(huán)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此，αii= 0。符號(hào) adj(i)表示智能體i的鄰居集合。那么，圖的拉普拉斯矩陣可以定義為L(zhǎng)=[lij]，其中若圖G 中存在一個(gè)點(diǎn)i可以向圖中其他所有的點(diǎn)傳送信息，那么稱i節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)，稱圖G 含有生成樹。

圖G 稱為結(jié)構(gòu)平衡圖當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)集V分為完全沒有交集的兩個(gè)子集并且同時(shí)滿足以下條件：（1） V1∪ V2=V， V1∩ V2=?；（2）αij＜ 0, ?i,j∈Vk；αij＞ 0, ?i∈Vk,j∈V3-k，其 中k∈{ 1 ,2}。

引理2.如果圖G 為結(jié)構(gòu)平衡圖，L為其相應(yīng)的拉普拉斯矩陣，那么，一定存在對(duì)角矩陣Υ=diag {γ1,γ2,… ,γn}，使ΥLΥ?0，其中γi∈ {1 ,-1 }[18]。

2.3 系統(tǒng)模型

考慮由N個(gè)一般線性動(dòng)力學(xué)組成的多智能體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可以描述為

定義編隊(duì)誤差ei(t) =xi(t)-hi，其中hi∈Rn為第i個(gè)智能體的編隊(duì)向量，那么，系統(tǒng)(1)的指定時(shí)間雙向編隊(duì)目標(biāo)可以表述如下。

定義 1.對(duì)多智能體系統(tǒng)(1)，如果對(duì)于任意的初始狀態(tài)xi(t0)及人為指定的時(shí)間T，都有

則稱系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)了指定時(shí)間雙向編隊(duì)。

注 1.式(2)所表述的指定時(shí)間雙向編隊(duì)問題要求不同組的智能體的狀態(tài)分別實(shí)現(xiàn)自己的編隊(duì)構(gòu)型，并以不同的方向分別運(yùn)動(dòng)。具體來講，當(dāng)智能體i和智能體j屬于同一子集時(shí)，αij＞ 0，那么即i和j運(yùn)動(dòng)方向相同；當(dāng)i和j屬于不同子集時(shí)，即i和j運(yùn)動(dòng)方向相反。顯然，當(dāng)hi=hj= 0時(shí)，式(2)描述的控制目標(biāo)可以重新表述為“指定時(shí)間雙向一致性”。因此，得出結(jié)論：“雙向一致性”是“雙向編隊(duì)”的特例。

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)“指定時(shí)間雙向編隊(duì)”的控制目標(biāo)，本文做出如下假設(shè)。

假設(shè)1.多智能體系統(tǒng)(1)能控；

假設(shè)2.帶符號(hào)的有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G為含有一棵生成樹的結(jié)構(gòu)平衡圖。

注 2.本文考慮兩個(gè)組的智能體分別實(shí)現(xiàn)各自的編隊(duì)構(gòu)型，因此系統(tǒng)(1)滿足能控條件僅是對(duì)線性系統(tǒng)一個(gè)比較基本的條件。另外，假設(shè)2要求拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中有足夠的信息流，其能從網(wǎng)絡(luò)中的某個(gè)節(jié)點(diǎn)流向其他節(jié)點(diǎn)；此外，智能體實(shí)現(xiàn)雙向編隊(duì)還需滿足分組條件。綜其所述，本文所給的假設(shè)1和假設(shè)2是必要且可行的。

引理 3.若多智能體系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1，那么當(dāng)t≠t0時(shí)，有[10]

引理 4.記若拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G滿足假設(shè)2，那么圖G的拉普拉斯矩陣L滿足：

其中：lii為拉普拉斯矩陣L的對(duì)角元素。

因此，式(4)成立。

3 指定時(shí)間雙向編隊(duì)控制算法

3.1 指定時(shí)間雙向編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)

基于非周期采樣算法，本文提出非周期采樣時(shí)間序列為

另外，在運(yùn)動(dòng)規(guī)劃技術(shù)和SIA矩陣的性質(zhì)下，第i個(gè)智能體在第k+1步的終端狀態(tài)約束為

因此，對(duì)式(1)、(6)應(yīng)用龐特里亞金極大值原理，構(gòu)造式(6)的哈密頓函數(shù)：

其中：?i(t)為協(xié)態(tài)變量。繼而，式(8)分別對(duì)hi,xi和ui求偏導(dǎo)，有

其中，式(9c)為式(8)存在極值的必要條件。聯(lián)立式(9a)、(9b)，可發(fā)現(xiàn)其為一線性矩陣方程組。對(duì)其從tk至tk1+進(jìn)行積分，有

其中：

3.2 指定時(shí)間雙向編隊(duì)收斂性分析

定理1.若系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G滿足假設(shè) 2，那么，控制器(12)按照時(shí)間序列式(5)進(jìn)行采樣，能夠保證系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間雙向編隊(duì)。

證.首先，證明在控制器(12)作用下，多智能體系統(tǒng)(1)的采樣狀態(tài)收斂，即

將式(12)代入系統(tǒng)，并對(duì)其從t至tk1+進(jìn)行積分，有

根據(jù)引理4中SIA矩陣的性質(zhì)，有

綜上所述，控制器(12)能夠使系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間雙向編隊(duì)。

注 3.文中設(shè)計(jì)的控制器(12)取決于時(shí)間序列間隔tk+1-tk的大小，由于采樣時(shí)間序列是非周期的，因此控制器(12)的增益是時(shí)變的。另外，控制器的大小僅取決于離散的采樣時(shí)刻狀態(tài)大小，而不需系統(tǒng)滿足實(shí)時(shí)通信，從而減輕網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)擔(dān)，降低其對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信能力的要求。

注 4.控制器(12)可實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間雙向編隊(duì)控制。與文獻(xiàn)[7-17]相比，本文設(shè)計(jì)的控制器主要優(yōu)勢(shì)在于系統(tǒng)的收斂時(shí)間可事先人為指定，而不依賴系統(tǒng)的初始狀態(tài)，同時(shí)也不具有保守性。

注 5.由于文中提出的控制器適用于結(jié)構(gòu)平衡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而傳統(tǒng)的無符號(hào)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一類特殊的結(jié)構(gòu)平衡圖，其中一個(gè)子集為空。因此，將本文的控制器應(yīng)用于傳統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上時(shí)可實(shí)現(xiàn)一般的指定時(shí)間編隊(duì)控制。

注 6.顯然，采樣序列(1)的收斂性在控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間編隊(duì)的過程中發(fā)揮著重要作用，在此，可選取采樣時(shí)間間隔為k= 1,2,…}，其以多項(xiàng)式速率收斂至T。另一個(gè)可選取的采樣時(shí)間間隔為k= 1,2,…}，其以指數(shù)速率收斂到T。

但是，注意到在以上采樣序列作用下，控制器(12)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生無數(shù)次采樣，即產(chǎn)生了芝諾效應(yīng)。為解決這一問題，通常會(huì)采取一個(gè)誤差上界來避免此現(xiàn)象，即：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為其已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了指定時(shí)間雙向編隊(duì)。由此，可以推導(dǎo)出采樣頻率的上界：

因此，修正后的采樣間隔序列為

4 仿真結(jié)果及分析

在這一部分，我們考慮6個(gè)動(dòng)力學(xué)為二階積分器類型的智能體的指定時(shí)間二分編隊(duì)控制問題的數(shù)值仿真。為便于刻畫其在指定時(shí)間的收斂性，本文僅考慮x-y平面內(nèi)智能體實(shí)現(xiàn)編隊(duì)，即則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可如式(16)所示：

其中：

顯然，式(16)描述的系統(tǒng)一定為能控系統(tǒng)，即滿足假設(shè)1。智能體間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可由圖1來描述，其滿足假設(shè) 2，其中V1= {1 ,2,3}，V2= {4 ,5,6}。

圖1 6個(gè)智能體的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 The communication topology with 6 agents

為了能夠以一個(gè)三維視圖（時(shí)間–二維平面）的方式顯示指定時(shí)間算法的有效性，假設(shè)智能體在高度方向上保持一致，則相應(yīng)的編隊(duì)隊(duì)形為二維平面圖形。指定智能體最后的編隊(duì)隊(duì)形為兩正三角形，則相應(yīng)的編隊(duì)向量可以給定為指定系統(tǒng)的收斂時(shí)間為T=8以及編隊(duì)誤差界限ε= 10–3，對(duì)其進(jìn)行仿真，結(jié)果如下所示。

圖2 智能體位置誤差和速度誤差Fig.2 The position errors and velocity errors of agents

圖3刻畫了6個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)軌跡，并繪制了系統(tǒng)在t=8和t=15時(shí)兩組智能體的編隊(duì)隊(duì)形。顯然，屬于不同子集的智能體實(shí)現(xiàn)各自編隊(duì)隊(duì)形之后便朝著相反的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，即實(shí)現(xiàn)了雙向編隊(duì)。

圖3 6個(gè)智能體的飛行軌跡Fig.3 The real flight trajectories of 6 agents

5 結(jié) 論

計(jì)算機(jī)及網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，推動(dòng)了現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)向集群作戰(zhàn)方式轉(zhuǎn)變，同時(shí)也為多智能體系統(tǒng)技術(shù)的應(yīng)用提供了一個(gè)廣闊的平臺(tái)。本文針對(duì)作戰(zhàn)過程中無人系統(tǒng)的編隊(duì)問題，利用龐特里亞金極大值原理，設(shè)計(jì)了一類分布式雙向編隊(duì)控制器，解決了一般線性動(dòng)力學(xué)多智能體系統(tǒng)指定時(shí)間雙向編隊(duì)問題，并且通過數(shù)值仿真證明了控制器的有效性，為無人系統(tǒng)的編隊(duì)飛行提供了潛在的應(yīng)用前景。

后續(xù)還可圍繞文中所提算法進(jìn)行以下研究：

（1）針對(duì)領(lǐng)航者—跟隨者網(wǎng)絡(luò)編隊(duì)問題，設(shè)計(jì)相應(yīng)的分布式控制器使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間收斂。

（2）本文控制器依靠狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)指定時(shí)間雙向編隊(duì)，但當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受到攻擊時(shí)，智能體間的通信會(huì)受到干擾，因此，可以考慮基于輸出反饋來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)指定時(shí)間雙向編隊(duì)控制。