張君賢， 瞿葉高， 謝方濤， 郭其威 ， 張崇峰

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201108；3.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109)

為了減輕結(jié)構(gòu)重量并提高結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，在高速飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中廣泛采用復(fù)合材料層合壁板。在高速飛行時(shí)，壁板常常處于氣動(dòng)載荷和噪聲載荷聯(lián)合作用下的復(fù)雜力學(xué)環(huán)境中。由于制造和裝配過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，非光滑摩擦界面廣泛存在于結(jié)構(gòu)邊界處(例如飛行器壁板連接處)，導(dǎo)致壁板產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為。Dowell[1]基于von Karman非線性應(yīng)變和完全線性化氣動(dòng)載荷模型研究了壁板的顫振行為，分析了不同馬赫數(shù)和板的長(zhǎng)寬比對(duì)壁板產(chǎn)的影響。Shore等[2-4]基于有限元方法建立了壁板的非線性顫振數(shù)值模型，研究了不同邊界條件以及不同來(lái)流角度的氣動(dòng)載荷對(duì)壁板顫振特性的影響。Dhainaut等[5]研究了熱和聲載荷聯(lián)合作用下復(fù)合材料壁板的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，分析了壁板的線性隨機(jī)振動(dòng)、跳變運(yùn)動(dòng)和非線性隨機(jī)振動(dòng)等響應(yīng)。Vahid等[6]采用三次NURBS基函數(shù)建立了板的幾何形狀，分析了斜層合板的自由振動(dòng)和線性顫振問(wèn)題，結(jié)果表明，斜板兩端的纖維方向?qū)ζ漕澱穹€(wěn)定性有顯著影響。Pacheco等[7]研究了柔性梁加固板的顫振問(wèn)題，結(jié)果表明將加強(qiáng)筋建模為不動(dòng)邊界會(huì)高估顫振邊界。Guimar?es等[8]分析了復(fù)合材料壁板的纖維軌跡對(duì)復(fù)合材料板氣動(dòng)彈性的影響，指出對(duì)纖維的牽引轉(zhuǎn)向是提高復(fù)合材料板氣動(dòng)彈性和屈曲性能的有效手段。在國(guó)內(nèi)，夏巍等[9-10]針對(duì)飛行器壁板的氣熱彈性問(wèn)題開(kāi)展了一系列研究，提出“穿零頻次”的概念對(duì)熱聲載荷聯(lián)合作用下壁板的跳變運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了研究[10]。沙云東等[11]從結(jié)構(gòu)勢(shì)能出發(fā)，認(rèn)為跳變運(yùn)動(dòng)是因?yàn)榍笃桨宓膭?shì)能曲線出現(xiàn)了兩個(gè)勢(shì)能井，較大的激勵(lì)使平板在兩個(gè)勢(shì)能井間跳躍，而當(dāng)溫度增加時(shí)勢(shì)能井加深，跳變運(yùn)動(dòng)逐漸被限制在單一勢(shì)能井中。Chai等[12]研究了基于彈性地基的點(diǎn)陣夾芯板在超音速氣流作用下的熱彈性顫振和熱屈曲特性，并利用彈性地基實(shí)現(xiàn)在不影響結(jié)構(gòu)固有頻率的情況下消除結(jié)構(gòu)的熱屈曲。Sun等[13]導(dǎo)出了二維壁板在經(jīng)典齊次邊界條件下顫振問(wèn)題的解析結(jié)果，并基于精確解進(jìn)行了氣動(dòng)力作用下壁板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。Lin等[14]研究了含形狀記憶合金的復(fù)合材料壁板在熱、氣動(dòng)載荷和聲載荷共同作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明形狀記憶合金可以顯著改變復(fù)合材料的振動(dòng)特性。Jiang等[15]研究了梯形復(fù)合材料層合板在超音速氣流作用下的熱彈性問(wèn)題，詳細(xì)分析了鋪設(shè)參數(shù)和氣流方向等對(duì)壁板熱屈曲和顫振邊界的影響。針對(duì)含摩擦邊界的振動(dòng)結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也開(kāi)展了相關(guān)研究。Lassalle等[16]采用諧波平衡法和實(shí)驗(yàn)研究了摩擦阻尼作用下葉片圓盤(pán)的非線性氣動(dòng)彈性行為。Xie等[17]采用宏觀黏滑摩擦模型模擬了摩擦邊界，基于有限元方法建立了含摩擦邊界的復(fù)合材料層合壁板顫振的數(shù)值模型，研究了摩擦邊界參數(shù)對(duì)層合壁板顫振響應(yīng)的影響。

本文基于von Karman型非線性應(yīng)變、Reddy三階剪切鋸齒理論和準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)一階活塞理論，采用高斯限帶白噪聲模型計(jì)算壁板所受聲壓，利用宏觀黏滑摩擦模型對(duì)摩擦邊界進(jìn)行建模，建立了強(qiáng)噪聲載荷作用下含摩擦邊界復(fù)合材料壁板的氣動(dòng)彈性非線性動(dòng)力學(xué)有限元數(shù)值計(jì)算模型。研究了在不同聲壓和氣動(dòng)載荷聯(lián)合作用下壁板的非線性振動(dòng)響應(yīng)，在此基礎(chǔ)上分析了摩擦邊界正壓力對(duì)壁板振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 動(dòng)力學(xué)方程

含摩擦邊界的復(fù)合材料壁板模型如圖1所示，其中a,b和h分別表示壁板的長(zhǎng)度、寬度和厚度。在壁板中面上引入笛卡爾坐標(biāo)系o-xyz，其中高速氣流沿著x軸正方向流過(guò)，有限帶寬的高斯隨機(jī)噪聲載荷以聲壓Pacoustic的形式沿著z軸負(fù)方向均勻作用于壁板表面。不失一般性，假設(shè)摩擦邊界沿著x=x1至x=x2分布在y=b邊界上。

圖1 含摩擦邊界的復(fù)合材料壁板

采用Reddy三階剪切鋸齒理論來(lái)描述復(fù)合材料壁板的振動(dòng)變形。層合板內(nèi)任意一點(diǎn)處的位移可以表示為

(1)

式中:u，v和w分別表示層合板中面上任意一點(diǎn)沿x，y和z方向的位移分量；?1，?2，η1和η2為中面上的廣義位移變量。φ(z,k)為鋸齒函數(shù)，用于滿足層合板厚度方向位移場(chǎng)分段連續(xù)性條件，其表達(dá)式為

(2)

式中:zk和zk+1表示第k鋪層下表面和上表面的z坐標(biāo);hk=zk+1-zk代表第k鋪層的厚度。

考慮壁板的幾何非線性大變形效應(yīng)，采用von Karman位移-應(yīng)變關(guān)系得到層合板內(nèi)任意一點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

第k層壁板鋪層的應(yīng)力分量可表示為

(4)

應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)一階活塞理論，得到作用在復(fù)合材料壁板上的氣動(dòng)力為

(5)

式中:λ和RM分別代表無(wú)量綱動(dòng)壓和無(wú)量綱氣動(dòng)阻尼；D110為當(dāng)層合板中所有纖維方向都與氣流方向相同時(shí)壁板彎曲剛度矩陣中的第一個(gè)元素，具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

采用有限帶寬高斯白噪聲來(lái)描述均勻施加在壁板表面上的隨機(jī)氣動(dòng)噪聲載荷。當(dāng)指定聲壓級(jí)SPL時(shí)，采用下式計(jì)算聲載荷的功率譜密度[18]

(6)

式中:p0代表參考聲壓，p0=20 μPa；fc為聲載荷的上截止頻率。

根據(jù)功率譜密度可以得到有限帶寬高斯白噪聲的聲壓表達(dá)式

(7)

式中，n代表時(shí)域范圍內(nèi)需要計(jì)算的所有時(shí)間步。

采用如圖2所示的宏觀黏滑摩擦模型計(jì)算摩擦邊界上的摩擦力。圖中m為摩擦邊界中包含的有限元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)由壁板變形產(chǎn)生的彈性力小于臨界摩擦力時(shí)，摩擦邊界處于黏滯狀態(tài)并且等效為剛度為kt的線性彈簧支承邊界；當(dāng)彈性力大于臨界摩擦力時(shí)，摩擦邊界轉(zhuǎn)換為滑移狀態(tài)，此時(shí)接觸面間發(fā)生滑動(dòng)并且產(chǎn)生一個(gè)大小恒定的摩擦力作用在摩擦邊界上?；诤暧^黏滑摩擦模型計(jì)算的摩擦力為

圖2 宏觀黏滑摩擦模型

(8)

(9)

強(qiáng)噪聲和氣動(dòng)載荷聯(lián)合作用下含摩擦邊界復(fù)合材料壁板的非線性氣動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)方程由Hamilton原理推導(dǎo)得出

(10)

式中:T和V分別代表層合板的動(dòng)能和應(yīng)變能；Wareo,Wf和Wacoustic分別表示由氣動(dòng)載荷，邊界摩擦力和隨機(jī)聲載荷所做的功。T,V,Wareo和Wf的表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。聲載荷所做的功δWacoustic可以表示為

(11)

式中,Pacoustic為根據(jù)式(6)計(jì)算得到的聲壓載荷。

將δT,δV,δWareo,δWf和δWacoustic的表達(dá)式代入式(9)并采用有限元方法對(duì)壁板進(jìn)行離散，可以得到壁板的非線性動(dòng)力學(xué)方程

(12)

2 算例及討論

本節(jié)選取的研究對(duì)象為正方形壁板，其幾何尺寸為：0.3 m×0.3 m×0.000 9 m；所有鋪層的厚度相等，鋪設(shè)方式為[0°/90°/0°/0°/90°/0°]s，每個(gè)鋪層的材料參數(shù)為：E1=69 GPa，E2=10 GPa，μ12=0.22，G12=G13=G23=4.55 GPa，ρ=1 550 kg/m3。 層合板的邊界條件為：x=0 m和x=0.3 m兩條邊上為簡(jiǎn)支邊界條件，在y=0.3 m的邊上沿x=0.15 m至x=0.3 m為摩擦接觸面，其余邊界自由。摩擦邊界的接觸剛度kt=1×105N/m，正壓力N0=50 N，摩擦因數(shù)μ=0.3。

2.1 結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算程序的正確性，計(jì)算了四邊簡(jiǎn)支壁板的前兩階固有頻率隨無(wú)量綱動(dòng)壓λ的變化規(guī)律，并與文獻(xiàn)[19]進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖3所示，從圖中可以看出本文結(jié)果與已有文獻(xiàn)中的結(jié)果吻合得很好。

圖3 四邊簡(jiǎn)支壁板的固有頻率隨無(wú)量綱動(dòng)壓λ的變化曲線

2.2 強(qiáng)噪聲作用下復(fù)合材料壁板的顫振特性分析

如前所述，當(dāng)摩擦邊界處于黏滯狀態(tài)時(shí)，摩擦邊界為線性彈簧支承邊界。因此，在計(jì)算壁板的顫振臨界動(dòng)壓時(shí)，將壁板的摩擦邊界替換成一系列剛度大小為摩擦邊界接觸剛度的線性彈簧即可。如圖4為摩擦壁板的前四階固有頻率隨無(wú)量綱動(dòng)壓λ的變化曲線。結(jié)果表明，隨著λ逐漸增加，第二階和第三階固有頻率逐漸相互靠近并且在λ≥273時(shí)重合，因此可以得到壁板的臨界顫振動(dòng)壓為λcr=273。

圖4 壁板固有頻率隨無(wú)量綱動(dòng)壓λ的變化曲線

圖5為作用在壁板表面上的氣動(dòng)噪聲載荷的時(shí)域波形，聲壓級(jí)取為90 dB。圖6為在聲壓級(jí)為90 dB的噪聲載荷作用下，無(wú)量綱動(dòng)壓分別為λ=0，λ=210，λ=300和λ=330時(shí)層合板幾何中心處的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)。結(jié)果表明，來(lái)流動(dòng)壓較小時(shí)，氣動(dòng)載荷幅值較小，壁板沒(méi)有產(chǎn)生穩(wěn)定的顫振響應(yīng)，如圖6(a)和圖6(b)；而隨著來(lái)流動(dòng)壓的增大，壁板發(fā)生顫振響應(yīng)，如λ=300時(shí)的響應(yīng)曲線的幅值開(kāi)始趨于穩(wěn)定，當(dāng)λ=330時(shí)壁板振動(dòng)的幅值基本穩(wěn)定。這表明，隨著氣動(dòng)載荷的增大，氣動(dòng)載荷逐漸對(duì)壁板的顫振響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)作用。圖7給出了無(wú)量綱動(dòng)壓為λ=0和λ=330時(shí)，層合板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)的概率密度。圖中的曲線是按照每組數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差作為參數(shù)作出的正態(tài)分布曲線。結(jié)果表明，僅有聲壓載荷作用時(shí)(即λ=0)，層合板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)的分布基本符合正態(tài)分布，其與作用于層合板表面上的聲壓載荷分布形式是一致的；而當(dāng)λ=330時(shí)，層合板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)分布呈現(xiàn)為一個(gè)雙峰分布，這表明壁板的振動(dòng)響應(yīng)在兩個(gè)峰值之間振蕩，也即氣動(dòng)載荷主導(dǎo)下的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)特征。

圖5 隨機(jī)聲壓載荷(90 dB)

(a) λ=0

(a) λ=0

將氣動(dòng)載荷λ=330時(shí)的噪聲載荷提高至120 dB，得到的壁板中心的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)與響應(yīng)的概率密度，如圖8所示。結(jié)果表明，層合板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)相比于噪聲載荷為90 dB的情況顯著增大，但層合板的極限環(huán)顫振特征已經(jīng)消失，層合板的振動(dòng)表現(xiàn)為接近于正態(tài)分布的隨機(jī)振動(dòng)，這種情況下噪聲載荷對(duì)于層合板的振動(dòng)響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)作用。

圖8 聲載荷(120 dB)和氣動(dòng)載荷(λ=330)聯(lián)合作用下壁板位移響應(yīng)及其概率密度

2.3 摩擦邊界正壓力對(duì)壁板響應(yīng)的影響

首先考慮僅有氣動(dòng)載荷作用下的含摩擦壁板的非線性振動(dòng)響應(yīng)。圖9給出了無(wú)量綱動(dòng)壓λ=330作用下，取摩擦邊界上正壓力為N0=0.05 N和N0=50 N時(shí)，計(jì)算得到的層合壁板幾何中心處的橫向振動(dòng)響應(yīng)。從圖中可以看出，正壓力取50 N時(shí)，層合板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)幅值明顯大于正壓力為0.05 N的情況。通過(guò)計(jì)算，得到兩種正壓力條件下，層合板摩擦邊界上宏觀黏滑模型的臨界摩擦力大小分別為15 N和0.015 N。圖10(a)給出了位于壁板x=0.15 m，y=0.3 m處的摩擦力曲線。從圖中可以看出所有時(shí)刻的摩擦力絕對(duì)值均小于臨界摩擦力，此時(shí)摩擦邊界處于完全黏滯狀態(tài)并可以等效為彈性支承邊界，且由于僅有氣動(dòng)載荷作用下壁板的振動(dòng)類型為極限環(huán)振動(dòng)，因此穩(wěn)定后的摩擦力也呈現(xiàn)一定的周期性。圖10(b)則給出了同樣載荷情況下但正壓力為0.05 N時(shí)，位于壁板同一位置處的摩擦力曲線。結(jié)果表明層合壁板的振動(dòng)存在明顯的黏滯與滑移運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相互切換的現(xiàn)象。根據(jù)上一節(jié)的理論分析可知，處在滑移狀態(tài)的摩擦邊界存在著相對(duì)滑動(dòng)，從而耗散了壁板的振動(dòng)能量，因此這種情況下的層合壁板振動(dòng)響應(yīng)相比于正壓力50 N作用下完全黏滯的壁板響應(yīng)更小。

圖9 不同正壓力條件下壁板的位移響應(yīng)(SPL=0, λ=330)

(a) 正壓力50 N

下面考慮噪聲載荷與氣動(dòng)載荷聯(lián)合作用下的壁板非線性振動(dòng)響應(yīng)。圖11給出了噪聲載荷和無(wú)量綱動(dòng)壓分別為120 dB和λ=330時(shí)的摩擦力曲線。結(jié)果表明，相較于僅有氣動(dòng)載荷作用的情況而言，處于黏滯狀態(tài)的摩擦力變得十分復(fù)雜，具有隨機(jī)性。圖12給出了x=0.15 m，y=0.25 m處的層合板橫向振動(dòng)位移響應(yīng)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，由于正壓力為5N的摩擦邊界上存在滑動(dòng)摩擦，其耗散了壁板振動(dòng)的能量，壁板的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)相對(duì)于完全黏滯狀態(tài)有所減小。對(duì)比圖9的結(jié)果可知，圖12中由于摩擦邊界滑移削弱的層合壁板振動(dòng)響應(yīng)程度較小，這一方面是因?yàn)閺?qiáng)噪聲載荷的引入使得摩擦力甚至氣動(dòng)載荷對(duì)壁板振動(dòng)的影響減弱；另一方面，統(tǒng)計(jì)兩種載荷條件下滑移狀態(tài)占整個(gè)時(shí)間歷程的比例可以發(fā)現(xiàn)，圖9所示的運(yùn)動(dòng)有97.1%的時(shí)刻存在滑移運(yùn)動(dòng)，而圖12所示的運(yùn)動(dòng)僅有2.1%的時(shí)刻存在滑移運(yùn)動(dòng)。

(a) 正壓力50 N

圖12 不同正壓力對(duì)位移響應(yīng)的影響(SPL=120 dB, λ=330)

3 結(jié) 論

本文建立了強(qiáng)噪聲載荷作用下含摩擦邊界復(fù)合材料壁板的氣動(dòng)彈性非線性動(dòng)力學(xué)有限元數(shù)值計(jì)算模型。利用Reddy三階剪切變形鋸齒理論結(jié)合von Karman大變形理論建立壁板的非線性結(jié)構(gòu)模型。采用高斯限帶白噪聲、一階活塞理論和宏觀黏滑模型分別計(jì)算噪聲載荷、氣動(dòng)載荷和摩擦邊界上的摩擦力。結(jié)果表明：

(1) 在不同氣動(dòng)載荷和聲載荷的聯(lián)合作用下，壁板的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)呈現(xiàn)出由氣動(dòng)載荷主導(dǎo)的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)特征和聲載荷主導(dǎo)下近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)振動(dòng)；

(2) 摩擦邊界上過(guò)大的正壓力使得摩擦邊界的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于完全黏滯的狀態(tài)，減小正壓力會(huì)導(dǎo)致臨界摩擦力的減小從而使摩擦邊界上存在耗散振動(dòng)能量的滑移運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而對(duì)層合壁板的振動(dòng)位移響應(yīng)產(chǎn)生抑制作用；

(3) 含有強(qiáng)噪聲載荷作用的情況下，相對(duì)較小的摩擦力對(duì)壁板響應(yīng)的影響較弱，同時(shí)占比較少的滑移狀態(tài)也使得摩擦力對(duì)位移響應(yīng)的削弱作用很小。