于慎波， 江爽， 夏鵬澎

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110870)

0 引 言

軸向磁場盤式永磁電動機(jī)因其具有高轉(zhuǎn)矩慣量比，結(jié)構(gòu)緊湊，效率高，功率密度大等優(yōu)點(diǎn)，因此適用于電動汽車驅(qū)動，新能源發(fā)電等領(lǐng)域。

在盤式永磁電機(jī)的分析與設(shè)計(jì)階段，可以利用有限元軟件進(jìn)行仿真分析，但仿真過程需要較長的時間進(jìn)行，這時候就需要用到解析法對盤式永磁電機(jī)進(jìn)行初步分析。不管何種結(jié)構(gòu)電機(jī)，該電機(jī)的漏磁系數(shù)與空載氣隙磁密都是對該種電機(jī)進(jìn)行初步分析需要考慮的。等效磁網(wǎng)絡(luò)法是一種將磁路問題轉(zhuǎn)化為電路問題來進(jìn)行分析的方法。其中，等效磁網(wǎng)絡(luò)模型中的電阻代表磁阻，電流代表磁通，電動勢代表磁動勢。這種方法對于軸向磁場、徑向磁場、混合型磁場全都適用，相較于磁網(wǎng)絡(luò)法來說，解析建模過程更加簡單而且便于理解；相較于有限元法來說，不需要對復(fù)雜的電機(jī)本體進(jìn)行實(shí)體建模，能更快高效地解決問題。文獻(xiàn)[1]采用該方法對一臺徑向磁場永磁電機(jī)進(jìn)行了分析，計(jì)算了電機(jī)在不同氣隙長度,不同極距和不同剩磁密度下的氣隙磁密及漏磁系數(shù)，并且經(jīng)過了有限元仿真計(jì)算的驗(yàn)證，但該文獻(xiàn)沒有考慮端部漏磁。文獻(xiàn)[2]采用該種方法分析計(jì)算了單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁場盤式電機(jī)不同氣隙長度和極弧系數(shù)下的漏磁系數(shù)，并且經(jīng)過了有限元仿真計(jì)算的驗(yàn)證，該文獻(xiàn)考慮了端部漏磁。文獻(xiàn)[3]計(jì)算了橫向磁通永磁直線電機(jī)定轉(zhuǎn)子在不同位置下的氣隙磁導(dǎo)，由此建立了該電機(jī)變磁導(dǎo)等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，基于此模型解析計(jì)算出電機(jī)的空載反電勢。文獻(xiàn)[4]建立了無刷雙饋電機(jī)的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，基于此模型分析了電機(jī)在不同工況下的運(yùn)行特性，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5]采用精確子域模型法解析計(jì)算了一臺10極12槽不等寬不等厚Halbach部分分段徑向永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁密，并且考慮了齒槽效應(yīng)。文獻(xiàn)[6-8]給出了空載氣隙磁密分布解析公式，利用此公式可以直接算出軸向磁通永磁電機(jī)任何位置的空載氣隙磁密的大小。該公式由三部分組成：永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密、齒槽效應(yīng)函數(shù)、端部效應(yīng)修正函數(shù)。文獻(xiàn)[9]基于一個永磁直線電機(jī)模型，介紹了一個基于傅里葉分析的永磁體產(chǎn)生的氣隙磁通密度分布方程。文獻(xiàn)[10]完全利用二維有限元進(jìn)行曲線擬合出軸向磁通永磁無刷直流電機(jī)的端部效應(yīng)函數(shù)曲線，并將平均半徑處的氣隙磁密曲線利用有限元與解析算法進(jìn)行對比，結(jié)果比較吻合。文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上提出了利用虛擬等效直線電機(jī)模型的概念推導(dǎo)端部效應(yīng)修正函數(shù)解析公式。本文首先對盤式電機(jī)的磁路進(jìn)行了分析，解析求出氣隙磁場中的各種漏磁磁阻，提出利用等效磁網(wǎng)絡(luò)法求解盤式電機(jī)氣隙漏磁系數(shù)。通過函數(shù)的變形并利用二分法優(yōu)化計(jì)算去求解該種電機(jī)端部效應(yīng)修正函數(shù)，并利用解析法求解考慮開槽效應(yīng)的平均半徑處的空載氣隙磁密。最后，通過有限元法進(jìn)行了對比驗(yàn)證。

1 軸向磁場盤式永磁電機(jī)等效磁網(wǎng)絡(luò)模型

軸向磁場盤式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。電機(jī)模型參數(shù)如表1所示。該電機(jī)額定功率為5 kW，額定轉(zhuǎn)速為450 r/min。

圖1 盤式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Construction of disc PM motor

表1 電機(jī)參數(shù)

由于盤式電機(jī)的對稱性，在對電機(jī)的磁路進(jìn)行分析時，不需要對整機(jī)的磁路進(jìn)行分析，只需在一個極距單元來進(jìn)行分析。如圖2所示為一個極距單元下的盤式電機(jī)磁路模型圖。其中，回路①表示氣隙主磁通，回路②表示永磁體邊緣漏磁磁路(分為3種情況漏磁，分別是沿永磁體圓周方向漏磁，沿永磁體內(nèi)圓周邊緣漏磁，沿永磁體外周邊緣漏磁)，回路③表示相鄰永磁體之間的漏磁磁路。由圖2所示的盤式電機(jī)磁路圖可以得到如圖3所示的盤式電機(jī)等效磁網(wǎng)絡(luò)圖。在圖3中，Φr為永磁體虛擬內(nèi)稟磁通，Φm為永磁體向外磁路提供的總磁通，Φg為氣隙主磁通，Rg為氣隙磁阻，Rc為電樞電阻，Rm為永磁體自身磁阻，Rmo為永磁體外周邊緣漏磁，Rmi為永磁體內(nèi)周邊緣漏磁磁阻，Rmr為永磁體沿圓周方向漏磁磁阻，Rmm為相鄰永磁體之間漏磁磁阻，F(xiàn)ad為電樞反應(yīng)產(chǎn)生的電動勢。

圖2 盤式永磁電機(jī)磁路模型Fig.2 Magnetic circuit model of disc PM motor

圖3 盤式永磁電機(jī)等效磁路網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Equivalent magnetic circuit of disc PM motor

考慮到磁路對稱性，可以將圖3簡化為圖4。在對模型進(jìn)行簡化時，可以認(rèn)為Rc=0，F(xiàn)ad=0。

圖4 盤式永磁電機(jī)簡化磁網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Reduced magnet circuit of disc PM motor

根據(jù)圖4所示的簡化等效磁路網(wǎng)絡(luò)圖，可以得到：

(1)

(2)

(3)

平均氣隙磁通密度為

(4)

式中：Ag為氣隙面積；Am永磁體軸向面積；αp為極弧系數(shù)。

2 各部分磁阻的計(jì)算

2.1 永磁體內(nèi)磁阻Rm以及氣隙磁阻Rg

永磁體內(nèi)磁阻Rm和氣隙磁阻Rg可以表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Am為每極永磁體的充磁方向截面積；Aeff為考慮邊緣效應(yīng)時每極氣隙有效截面積；hm為永磁體厚度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體相對磁導(dǎo)率；αp為極弧系數(shù)；p為極對數(shù)；Dmo為永磁體外直徑；Dmi為永磁體內(nèi)直徑；g′為考慮開槽效應(yīng)后的氣隙長度。

由于存在開槽效應(yīng)，在槽口處的氣隙長度會發(fā)生變化，所以需要用卡特系數(shù)kc去表示實(shí)際氣隙長度g′。卡特系數(shù)kc計(jì)算方法[9]為：

(9)

g′=kcg。

(10)

式中：ωs定子齒寬；τs為槽距。

2.2 其他漏磁磁導(dǎo)的計(jì)算

文獻(xiàn)[12]介紹了如何利用圓弧直線法求解雙氣隙電機(jī)漏磁磁導(dǎo)，由此我們可以直接得到電機(jī)的其他漏磁磁導(dǎo)。

永磁體內(nèi)周邊緣漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(11)

永磁體外周邊緣漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(12)

本文使用的電機(jī)兩永磁體極間距離的一半大于氣隙長度，因此永磁體沿圓周方向漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(13)

相鄰永磁體之間漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(14)

將式(11)到式(14)表示的磁導(dǎo)分別求倒數(shù)，即可得到各自的漏磁磁阻。

3 空載氣隙磁密解析

在對電機(jī)進(jìn)行空載氣隙磁密數(shù)學(xué)模型的建立時，當(dāng)考慮齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)的情況下，半徑r處的空載氣隙磁密可表示為[7]

B(r,θ)=Bslotless(r,θ)ξ(r,θ)τ(r)。

(15)

式中：Bslotless(r,θ)表示忽略齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)時半徑r處永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密；ξ(r,θ)表示考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)；τ(r)表示考慮定子極外半徑和內(nèi)半徑附近端部效應(yīng)的端部效應(yīng)修正函數(shù)。

Bslotless(r,θ)=

(16)

式中：n為氣隙磁密諧波次數(shù)；αp(r)為半徑r處的極弧系數(shù)。對于常規(guī)扇形永磁體，αp(r)=αp。

3.1 端部效應(yīng)修正函數(shù)τ(r)解析

端部效應(yīng)修正函數(shù)τ(r)的表達(dá)式為[8]

(17)

(18)

式中：Ro為定子外半徑；Ri為定子內(nèi)半徑；ψ為與電機(jī)參數(shù)相關(guān)的參數(shù)。

如圖5為有限元法仿真得到的磁極中心線氣隙磁密圖，由圖可以看出在徑向距離為80～115 mm范圍內(nèi)氣隙磁密保持不變，即τ(r=80～115 mm)=1，取r=85代入式(18)，分析得出ψ的取值范圍為1≤ψ≤4。利用二分法優(yōu)化計(jì)算，取ψ=1、2、3、4，得到圖6。取ψ=1.7、2、2.3，徑向位置取72～82 mm,得到圖7。從圖7中可以看出ψ=2為最佳值。

圖5 磁極中心線氣隙磁密曲線圖Fig.5 Air gap flux density in the radial center line of one pole

圖6 ψ分別取1、2、3、4時磁極中心線氣隙磁密與有限元仿真對比圖Fig.6 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method when ψ is taken as 1,2,3,4

圖7 ψ分別取1.7、2、2.3時磁極中心線氣隙磁密與有限元仿真對比圖Fig.7 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method when ψ is taken as 1.7,2,2.3

由此可以得出盤式永磁電機(jī)的端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線如圖8所示。

圖8 端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線Fig.8 Analytical results for end effect correction function

3.2 考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)ξ(r,θ)解析

定子開槽會導(dǎo)致槽口部分的氣隙磁密發(fā)生變化，這是由于槽口區(qū)域的氣隙長度大于非槽口區(qū)域的氣隙長度，從而使得槽口部分的氣隙磁阻大于非槽口區(qū)域的氣隙磁阻。文獻(xiàn)[13]給出了氣隙中和槽口部分的磁通路徑的求解方法：將其分別等效為平行直線與四分之一圓弧。

文獻(xiàn)[11]給出了一個槽距內(nèi)考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到24個槽距內(nèi)考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，即

(19)

(20)

其中：k=0，1，2，…，23；b0表示槽口寬度。將式(20)代入到式(19)中，得到平均半徑處考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)曲線，如圖9所示。

圖9 平均半徑處考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)曲線Fig.9 Relative air gap permeance function curve considering slotting at average radious

4 有限元仿真驗(yàn)證

本文以一臺22極24槽軸向磁場盤式永磁電機(jī)為例, 首先是針對盤式永磁電機(jī)進(jìn)行三維建模。在針對盤式電機(jī)的空載氣隙磁場進(jìn)行有限元仿真分析時，永磁體的充磁方向的設(shè)置是沿軸向的。對于永磁體的充磁方向具體在軟件中的設(shè)置就是：“N”極的“X，Y”方向設(shè)置為“0”，“Z”方向設(shè)置為“1”；“S”極的“X，Y”方向設(shè)置為“0”，“Z”方向設(shè)置為“-1”。圖10給出了有限元仿真計(jì)算結(jié)果的空載情況下的三維磁通密度分布云圖。如圖11所示為盤式永磁電機(jī)三維氣隙磁密圖。

圖10 空載下的三維磁通密度分布云圖Fig.10 Three dimensional magnetic flux density distribution nephogram under no load

圖11 盤式永磁電機(jī)三維氣隙磁密圖Fig.11 Three dimensional air gap flux density of disc motor

4.1 氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密的驗(yàn)證

有限元法算出的氣隙漏磁系數(shù)為1.139 7，而用等效磁網(wǎng)絡(luò)法算出的漏磁系數(shù)為1.101 6，誤差為3.34%。有限元法算出的平均氣隙磁密為0.780 4 T，而用等效磁網(wǎng)絡(luò)法算出的平均氣隙磁密為0.751 8 T，誤差為3.66%。

4.2 端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線驗(yàn)證

為驗(yàn)證驗(yàn)證本文所提出的端部效應(yīng)修正函數(shù)，又選取了一個20極30槽，定子外徑為200 mm，定子內(nèi)徑為128 mm的雙定子單轉(zhuǎn)子盤式電機(jī)，對其磁極中心線氣隙磁密進(jìn)行仿真，圖12為有限元與解析法計(jì)算磁極中心線氣隙磁密對比圖。說明端部效應(yīng)修正函數(shù)適用于不同尺寸、不同極槽配合、不同結(jié)構(gòu)類型的軸向磁場盤式永磁電機(jī)。

圖12 有限元與解析法計(jì)算磁極中心線氣隙磁密對比圖Fig.12 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method

4.3 平均半徑處氣隙磁密函數(shù)驗(yàn)證

當(dāng)徑向位置在平均半徑處，τ(r)=1。圖13是利用解析法和有限元法計(jì)算平均半徑處的氣隙磁密對比圖。

從圖13可以看出有限元與解析法對比的結(jié)果基本吻合，特別是在齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁密發(fā)生突變的地方能較好的對應(yīng)上，這說明了考慮開槽的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)是切實(shí)的。用有限元法算出氣隙磁密的平均值為0.780 4 T，解析法算出的氣隙磁密的平均值為0.761 1 T，誤差為2.47%。綜上，說明本文采用的解析法計(jì)算空載氣隙磁密是可行的。

圖13 有限元與解析法計(jì)算平均半徑處氣隙磁密對比圖Fig.13 Comparison of air gap flux density at average radius between FEM and analytical method

5 結(jié) 論

本文針對一臺22極24槽的軸向磁場盤式永磁同步電機(jī)，利用解析法與有限元法計(jì)算了氣隙漏磁系數(shù)，端部效應(yīng)修正函數(shù)，槽數(shù)為24槽的齒槽效應(yīng)函數(shù)、完整的空載氣隙磁密函數(shù)。

1)本文利用等效磁網(wǎng)絡(luò)法建立了雙定子單轉(zhuǎn)子盤式永磁電機(jī)的等效磁路網(wǎng)絡(luò)模型，利用圓弧直線法求出了該電機(jī)的各種漏磁磁阻，解析計(jì)算出氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密，解析法與有限元法所計(jì)算的氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密的誤差分別為 3.34%和3.66%。

2)經(jīng)過推導(dǎo)得出新的端部效應(yīng)修正函數(shù)，然后運(yùn)用二分法優(yōu)化計(jì)算，確定了未知參數(shù)ψ，得到了解析法繪制的端部效應(yīng)曲線圖。推導(dǎo)出的端部效應(yīng)修正函數(shù)適用于不同尺寸、不同極槽配合、不同結(jié)構(gòu)類型的軸向磁場盤式永磁電機(jī)。

3)利用解析法計(jì)算出24個槽距下的相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)和考慮齒槽效應(yīng)的平均半徑處的空載氣隙磁密分布，并與有限元法得到的磁密曲線進(jìn)行了對比，其氣隙磁密的平均值的誤差為2.47%。