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        二維空間中一類廣義Zakharov系統(tǒng)爆破率的下界估計

        2021-07-14 02:03:58孟令慧
        關(guān)鍵詞:下界常數(shù)命題

        孟令慧, 王 月

        (天津大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,天津300072)

        1 引言與主要結(jié)果

        本文考慮二維空間中一類廣義Zakharov系統(tǒng)

        系統(tǒng)(1)描述了冷等離子體中磁場的自生效應(yīng).(E1,E2)表示緩變高頻電場的復(fù)振幅,n表示電子密度在其平衡位置的擾動[1-2].

        賦予系統(tǒng)(1)初值:

        對于經(jīng)典的Zakharov系統(tǒng)

        的有限時間爆破解的動力學(xué)行為的研究,已有了一些工作.特別地,Merle[3]研究了(3)式有限時間爆破解的爆破率的下界估計.對于系統(tǒng)(1),文獻(xiàn)[4-6]研究了Virial型有限時間爆破解的存在性、非線性不穩(wěn)定性及有限時間爆破解的爆破率的時空積分估計.文獻(xiàn)[4]利用一個Virial型恒等式,采用極限方法得到如下結(jié)果.

        命題1.1設(shè)(E10,E20,n0,v0)是關(guān)于x的徑向?qū)ΨQ函數(shù),且H(E10,E20,n0,v0)<0,則初值問題(1)~(2)的解(E1,E2,n,v)(t,x)滿足如下二擇性結(jié)果:

        (i)(E1,E2,n,v)(t)在空間H1(R2)×H1(R2)×L2(R2)×L2(R2)中有限時間爆破;

        (ii)(E1,E2,n,v)(t)在空間H1(R2)×H1(R2)×L2(R2)×L2(R2)中無限時間爆破,即對任意時間t,(E1,E2,n,v)(t)有定義,且有

        成立,其中H(E10,E20,n0,v0)由第2節(jié)(8)式給出.

        受文獻(xiàn)[3]的啟發(fā),本文將研究當(dāng)爆破時間T<+∞時,(1)~(2)式的有限時間爆破解(E1,E2,n,v)(t)在t→T時,其在空間H1(R2)×H1(R2)×L2(R2)×L2(R2)中的范數(shù)

        是以何種方式趨于無窮,即研究初值問題(1)~(2)的有限時間爆破解的爆破率的下界估計.

        文獻(xiàn)[5]在二維空間中構(gòu)造了初值問題(1)~(2)在[0,T)上的一類爆破解,其形式如下:

        本文將在二維空間中,研究系統(tǒng)(1)的有限時間爆破解的爆破率的下界估計,即如下主要結(jié)果.

        定理1.2設(shè)(E1,E2,n,v)(t)是初值問題(1)~(2)的有限時間爆破解,且T為爆破時間,則存在僅依賴于初始值的常數(shù)

        使得當(dāng)t→T時,有

        與經(jīng)典的Zakharov系統(tǒng)(3)的相關(guān)結(jié)果相比,由于磁場效應(yīng)的存在,即(1)式中非線性項包含這2項的存在給研究本文的相關(guān)問題帶來了一定的困難.針對這些困難,通過對系統(tǒng)(1)做合適的尺度變換,并對磁場效應(yīng)引起的相關(guān)項做恰當(dāng)?shù)南闰?yàn)估計,得到在能量空間中系統(tǒng)(1)的有限時間爆破解的爆破率的一致下界估計.

        2 預(yù)備知識

        由文獻(xiàn)[2,4]可得柯西問題(1)~ (2)解的局部適定性理論.

        命題2.1令初值

        則柯西問題(1)~(2)在[0,T)上存在唯一解

        且成立T=+∞或T<+∞,使得

        此外,對任意t∈[0,T)成立如下的質(zhì)量守恒和能量守恒:

        其中

        利用尺度變換,可得如下結(jié)論.

        引理2.2對任意t∈[0,T),令

        其中,s∈[0,λ2(T-t)),

        此外,有如下結(jié)論成立:

        證明直接計算可得引理2.2的結(jié)論.

        引理2.3對任意s∈[0,λ2(T-t)),方程組(10)~(13)的解滿足

        其中,H如(7)~(8)式定義.此外,當(dāng)t→T時,存在充分小的c>0,使得

        證明利用引理2.2,直接計算可得(17)式.注意到,當(dāng)t→T時,λ(t)→ + ∞,由此可知(18)式成立.

        利用類似于文獻(xiàn)[7]中的方法,可得如下結(jié)果.

        引理2.4令 λ≥1且是方程組(10)~ (13)在[0,θ1]上的解,使得對任意s∈[0,θ1],有

        且對于k≥2,有

        則存在c>0,使得當(dāng)s∈[0,θ1],有

        令A(yù)(t)=eiΔt是自由Schr?dinger半群,由文獻(xiàn)[7]可得如下結(jié)果.

        引理2.5對任意 φ(x)∈H1(R2),有:

        由文獻(xiàn)[8]可得如下引理.

        引理2.6對任意u∈H1(R2),有如下結(jié)論成立

        其中,Q是方程

        的唯一徑向正解.

        3 主要結(jié)果的證明

        定理1.2的證明首先,將證明當(dāng)t→T時,方程組(10)~(13)的解在空間H1(R2)×H1(R2)×L2(R2)×L2(R2)中的范數(shù)一致有界,即如下結(jié)論成立.

        命題3.1令λ≥1,且令存在常數(shù)c1>0使得

        證明取 θ1>0,使得任意s∈[0,θ1],有:

        其中,

        β0>1是給定的一個充分大的常數(shù).由引理2.4知,在[0,θ1]上有定義.

        下證 θ1>θ2>0,其中 θ2僅依賴于常數(shù)c1.此證明分2步.

        由(10)~(11)式知,對任意s∈[0,θ1]可得:

        對任意s∈[0,θ1],由引理2.5可得:

        注意到,由引理2.6可得:

        同理可得

        由(15)~(16)式知

        于是,由(15)~(16)和(25)~(29)式知

        其中,c0≥4.

        第二步,估計

        的一致上界.

        另一方面,由引理2.3,(21)及(30)式知,對任意s∈[0,θ1]可得

        其中,c*≥512.當(dāng)t充分接近有限爆破時間T時,存在充分小的c3>0,使得于是,由(31)式可推知對任意s∈[0,θ1],有

        于是,對任意s∈[0,θ2],有

        由此,命題3.1得證.

        注意到,當(dāng)t→T時,λ(t)→ + ∞.于是,當(dāng)t→T時,由命題3.1及(14)式知

        于是,定理1.2得證.

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