夏文杰，黎 鑫，曹偉浩，尹錫帆

(1. 國家海洋技術(shù)中心漳州基地籌建辦公室，福建廈門361001；2. 國防科技大學(xué)氣象海洋學(xué)院，江蘇南京210000；3. 海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，湖北武漢430000)

0 引 言

偵察聲吶作用距離比對方主動(dòng)聲吶作用距離遠(yuǎn)，對遠(yuǎn)程警戒有重要意義，偵察的對象常是水中平臺輻射的主動(dòng)脈沖信號。主動(dòng)聲吶典型的發(fā)射脈沖[1]有：單頻(Continuous Wave, CW)信號和調(diào)頻(Frequency Modulation, FM)信號，F(xiàn)M信號主要為線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)和雙曲調(diào)頻(Hyperbolic Frequency Modulation, HFM)形式。

針對無先驗(yàn)知識的信號檢測問題，目前主要有能量檢測器、冪律檢測器、基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)的檢測和功率譜熵檢測器等方法。能量檢測器[2]是高斯背景中檢測高斯信號的最佳檢測器，但脈沖信號有其特征，不屬于隨機(jī)信號范疇，難以在低信噪比下檢測信號。冪律檢測器[3]是一種非高斯背景下檢測隨機(jī)信號的非參數(shù)方法，可看作高次冪的能量檢測器，檢測性能較優(yōu)于前者，但在海洋色噪聲背景下性能低?；贔RFT檢測的方法較多[4-5]，其中短時(shí)分?jǐn)?shù)傅里葉變換(Short Time-Fractional Fourier Transform, ST-FRFT)檢測方法[5]結(jié)合時(shí)頻分析和信號能量聚集性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了水聲脈沖信號的截獲檢測。功率譜熵檢測算法利用信號與噪聲的功率譜熵差異，判斷是否存在信號，已應(yīng)用于各類信號檢測領(lǐng)域，檢測器對未知CW信號有較好的檢測性能，但是對FM信號的檢測性能劣于前者[6]。針對這些不足，結(jié)合FRFT能聚集FM信號能量的性質(zhì)與功率譜熵檢測方法，提出了一種分?jǐn)?shù)階功率譜的非合作檢測器，利用脈沖信號與噪聲的統(tǒng)計(jì)量差異，實(shí)現(xiàn)對水聲脈沖信號的檢測。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了FRFT對FM信號的能量聚集效果和檢測性能。海試結(jié)果表明，檢測器能在低信噪比下捕獲主動(dòng)聲吶廣泛使用的CW和FM水聲脈沖信號，可實(shí)現(xiàn)信號的統(tǒng)一自動(dòng)檢測。

1 功率譜熵檢測器

信息熵是描述系統(tǒng)信息量的物理量，系統(tǒng)有序程度越高，熵值就越小，信息量就越大，反之系統(tǒng)無序，熵值大，信息量小。未知水聲脈沖信號檢測從頻域角度定義信息熵，可度量接收信號在頻域上的復(fù)雜程度，利用功率譜熵表征和提取脈沖信號與背景噪聲的不確定性差異，實(shí)現(xiàn)信號檢測。具體地，若接收數(shù)據(jù)中不含信號，其功率譜熵值較大；否則功率譜熵值較小。將未知脈沖信號檢測看成二元假設(shè)檢驗(yàn)問題：

式中：x(n)表示接收數(shù)據(jù)，s(n)為信號，w(n)為加性噪聲，N為樣本長度。

功率譜熵檢測的步驟如下[7]：

(1) 利用離散傅里葉變換得到信號歸一化的功率譜密度估計(jì)：

式中：X(k)為信號的離散傅里葉變換，p(k)表示第k個(gè)功率譜值占總功率譜的值。

(2) 計(jì)算的相應(yīng)功率譜熵H，作為檢測統(tǒng)計(jì)量T：

式中：γ為檢測門限。若檢測統(tǒng)計(jì)量T小于檢測門限，備擇假設(shè)成立，認(rèn)為接收數(shù)據(jù)中存在脈沖信號。

功率譜熵檢測器對未知CW脈沖信號有較好的檢測性能，但由于FM信號的功率譜聚集性不強(qiáng)，導(dǎo)致檢測器性能降低。而FRFT對于LFM信號，通過搜索到合適的旋轉(zhuǎn)角度，理論上可得到一個(gè)沖激信號，信號能量由原先在頻域內(nèi)散布變換到新域內(nèi)聚集；對于小曲率HFM信號，F(xiàn)RFT也有一定的聚集作用。因此，提出分?jǐn)?shù)階功率譜熵算法來提升對未知LFM和HFM脈沖信號的檢測性能。

2 分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器

2.1 分?jǐn)?shù)階功率譜定義

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可將信號作任意角度α=πp/2的旋轉(zhuǎn)，從線性積分的角度定義信號的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[8]：

2.2 脈沖信號分?jǐn)?shù)階功率譜

常用的聲吶脈沖有CW、LFM和HFM信號，復(fù)數(shù)表達(dá)式分別為[9-10]

式中：A為信號幅度；f0為中心頻率；T為信號長度；k為線性調(diào)頻率；K為雙曲系數(shù)；t0為常數(shù)。

當(dāng)k=0時(shí)，LFM信號即為CW信號，下面分析FM信號的分?jǐn)?shù)階功率譜聚集性。

2.2.1 LFM信號分?jǐn)?shù)階功率譜

仿真驗(yàn)證：LFM 信號中心頻率f0=100.1 Hz，調(diào)制頻率 k=50 Hz·s-1，幅度 A=1，采樣頻率fs=1024 Hz，點(diǎn)數(shù)N=1 024。圖1(a)為p=1.031時(shí)的分?jǐn)?shù)階功率譜，圖 1(b)為式(13)的理論計(jì)算結(jié)果，圖1(c)為 p=1時(shí)的分?jǐn)?shù)階功率譜，即功率譜。驗(yàn)證了仿真結(jié)果和理論計(jì)算的一致性，F(xiàn)RFT對 LFM信號能量聚集強(qiáng)。

圖1 LFM信號的分?jǐn)?shù)階功率譜Fig.1 Fractional power spectrum of complex LFM signal

2.2.2 HFM信號分?jǐn)?shù)階功率譜

HFM信號的FRFT解析式求解困難，這里通過仿真驗(yàn)證FRFT對小曲率HFM信號的聚集性。HFM 信號的雙曲系數(shù) K=-2 000，t0=7.5 s，幅度A=1，采樣頻率fs=1 024 Hz，點(diǎn)數(shù) N=1 024。圖2(a)、2(b)分別為階數(shù)p=1.02和p=1的分?jǐn)?shù)階功率譜，對比兩圖可知，F(xiàn)RFT對小曲率HFM信號也有能量聚集性。

圖2 HFM信號的分?jǐn)?shù)階功率譜Fig.2 Fractional power spectrum of complex HFM signal

2.2.3 FRFT處理增益分析

接收脈沖信號一般會(huì)被噪聲污染。由于 HFM信號增益分析較為困難，且可將其看作類 LFM 信號，故僅分析LFM信號的處理增益。LFM信號經(jīng)FRFT后，信號和帶噪信號的分?jǐn)?shù)階功率譜二維分布為

式(15a)表示LFM信號經(jīng)FRFT形成的分?jǐn)?shù)階功率譜二維分布，式(15b)表示信號與均值為0、方差為的高斯白噪聲形成帶噪信號的分?jǐn)?shù)階功率譜二維分布。

2.3 檢測流程

圖3為分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測流程，在二維平面內(nèi)搜索Dx( p, k)的峰值，得到最佳變換階數(shù)p0，再采用紐曼皮爾遜準(zhǔn)則，對p0階分?jǐn)?shù)階功率譜Dx( p0, k )熵檢測，檢測門限通過學(xué)習(xí)獲取。

圖3 分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測流程Fig.3 Process of fractional power spectrum entropy detection

搜索最佳階數(shù)時(shí)，為兼顧估計(jì)精度和計(jì)算量，使用一種穩(wěn)定的快速算法：

(1) 在區(qū)間[0, 2]內(nèi)采取大步長搜索峰值，得到階數(shù)p1。步長設(shè)置原則為信號出現(xiàn)“能量聚集”(峰值譜線數(shù)值高于其他譜線 3 dB)，一般令步長s=0.1。

(2) 用e控制階數(shù)精度，一般取e=10-4，設(shè)置循環(huán)次數(shù)i=1。

(3) 在區(qū)間[pi- s / 2, pi+ s /2]內(nèi)搜索，再令搜索步長s=0.1 s，i=i+1，進(jìn)行搜索得到階數(shù)pi。

(4) 當(dāng) s≤e時(shí)，終止運(yùn)算。此時(shí)最佳階數(shù)p0=pi，否則跳轉(zhuǎn)至步驟(3)。

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)一：分?jǐn)?shù)階功率譜熵對未知 LFM 信號的檢測性能。LFM信號中心頻率f0=300 Hz，調(diào)頻率k=40 Hz·s-1，幅度 A=1，采樣頻率fs=1 024 Hz，點(diǎn)數(shù)N=1 024，噪聲均值為0、方差為的高斯白噪聲，信噪比。圖4(a)為不同信噪比分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器工作機(jī)接收(Receiver Operating Characteristic, ROC)曲線，檢測門限由蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)確定，圖 4(b)為虛警概率Pfa=10-4時(shí)三種檢測方法的性能對比，檢測概率Pd=0.5時(shí)，要求分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測的信噪比大約為-14 dB，優(yōu)于功率譜熵檢測器5.5 dB，優(yōu)于能量檢測器7 dB。實(shí)際上，LFM 信號帶寬與功率譜熵檢測器性能成反比，但分?jǐn)?shù)階功率譜熵器不受信號帶寬的影響，對 LFM信號具有良好檢測性能。

圖4 LFM信號檢測性能Fig.4 Detection performance of LFM signal

實(shí)驗(yàn)二：分?jǐn)?shù)階功率譜熵對未知HFM信號的檢測性能。HFM 信號下限頻率fL=200 Hz，上限頻率fH=250 Hz，其他條件與實(shí)驗(yàn)一相同。圖5(a)為不同信噪比分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器 ROC曲線，圖5(b)為虛警概率Pfa=10-4檢測方法的性能，檢測概率Pd=0.5時(shí)，要求分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測的信噪比大概為-12.5 dB，優(yōu)于功率譜熵檢測器5 dB，優(yōu)于能量檢測器5.5 dB。分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器對HFM信號的檢測性能要低于 LFM 信號，但優(yōu)于功率譜熵檢測和能量檢測。

圖5 HFM信號檢測性能Fig.5 Detection performance of HFM signal

3.2 海試數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

某地海試時(shí)，聲源船發(fā)射CW和LFM脈沖，選取60 s試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。CW信號：中心頻率6.5 kHz，脈寬64 ms，重復(fù)周期9.5 s；LFM信號：中心頻率6.5 kHz，帶寬300 Hz，脈寬128 ms，重復(fù)周期9.5 s。

圖6(a)是CW脈沖信號波形，共有6個(gè)脈沖，圖 6(b)是用功率譜熵和分?jǐn)?shù)階功率譜熵處理的結(jié)果，處理時(shí)寬為128 ms，兩種檢測算法處理結(jié)果基本一致，都出現(xiàn)了6個(gè)谷值，說明對于CW脈沖信號，分?jǐn)?shù)階功率譜熵算法性能不會(huì)下降。

圖6 CW脈沖信號處理結(jié)果Fig.6 Processing results of CW pulse signal

圖7(a)是LFM脈沖信號波形，共有7個(gè)脈沖，圖 7(b)是用功率譜熵和分?jǐn)?shù)階功率譜熵處理的結(jié)果，處理時(shí)寬為128 ms，學(xué)習(xí)門限γ= 5 .799，兩種算法都檢測出了7個(gè)脈沖信號。但可以看出分?jǐn)?shù)階功率譜熵值更小，說明對于LFM脈沖信號，分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器要優(yōu)于前者。

圖7 LFM脈沖信號處理結(jié)果Fig.7 Processing results of LFM pulse signal

為了驗(yàn)證低信噪比條件下分?jǐn)?shù)階功率譜熵的實(shí)際檢測性能，截取一段無 LFM 脈沖信號的海試背景噪聲數(shù)據(jù)乘以倍數(shù)來控制噪聲的功率，控制信噪比，疊加到信號中。估計(jì)信號平均功率Ps，信噪比RSN= 10lg(Ps/)。圖 8是仿真數(shù)據(jù)和海試數(shù)據(jù)檢測概率的對比，虛警概率Pfa=10-4，兩者基本吻合。檢測概率Pd=0.5時(shí)，海試結(jié)果信噪比為-10 dB，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器在低信噪比下的工程可行性。

圖8 海試數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)檢測性能對比Fig.8 Detection performance comparison between sea trial data and simulation data

4 結(jié) 論

針對低信噪比條件下未知水聲脈沖信號的檢測問題，提出了一種基于FRFT的分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測方法。對于CW信號，該方法和功率譜熵檢測算法的處理結(jié)果基本無差別，證實(shí)分?jǐn)?shù)階功率譜熵算法對CW信號檢測同樣適用，其性能不受算法復(fù)雜度的影響；對于LFM信號和小曲率HFM信號，該方法處理效果更優(yōu)。由此，建立了分?jǐn)?shù)階功率譜熵的統(tǒng)一算法，實(shí)現(xiàn)了在無先驗(yàn)信息條件下水聲脈沖信號的統(tǒng)一自動(dòng)檢測。

本文從理論和仿真驗(yàn)證了 FRFT對 LFM 和HFM信號的能量聚集作用，優(yōu)化了FRFT階數(shù)搜索方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對于 LFM 信號，分?jǐn)?shù)階功率譜熵檢測器在Pfa=10-4，Pd=0.5時(shí)，檢測信噪比為-14 dB，性能優(yōu)于功率譜熵5.5 dB。因?yàn)樾∏蔋FM信號可看作類LFM信號，故當(dāng)HFM信號瞬時(shí)頻率緩慢變化時(shí)，性能較后者也提高了5 dB。對海上試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，對于 LFM 信號，在虛警概率為10-4、檢測概率為0.5時(shí)，要求檢測信噪比RSN=-10 dB，驗(yàn)證了檢測器在低信噪比下的實(shí)際檢測能力。