余為梁希

(燕山大學工程力學系，河北秦皇島066004)

在央視《是真的嗎》電視節(jié)目中曾經演示了這樣一個實驗：用三根火柴桿和棉線，組成如圖1所示的構架形式，可以掛數瓶礦泉水而不垮塌?；鸩馩B水平放置在桌面邊緣，一部分在桌面外，與桌面邊緣接觸處為O點；火柴DE水平地將兩棉線撐開；火柴BC一端撐住火柴OB的端點，另一端垂直作用在火柴DE的中點C處。節(jié)目最后定性地簡單解釋了一下原理，并舉例說明了一些桿件結構的相關應用。田雁等[1]解釋了與之類似的一道全國物理競賽題，但并未得出具體的計算公式。本文基于理論力學和材料力學的基本知識，從定量計算的角度解釋其原理。

圖1 三根火柴掛礦泉水

現場實驗發(fā)現，當第一瓶礦泉水掛上后，火柴OB尾部即發(fā)生了如圖2(a)所示的翹起，然后繼續(xù)增加懸掛礦泉水的瓶數，雖然系統(tǒng)仍然保持平衡，但桌面那根火柴的翹起角度逐漸增加，見圖2(b)。當懸掛到第9瓶礦泉水時，系統(tǒng)整體不再平衡而發(fā)生了垮塌現象(火柴并未斷裂)。三根火柴系統(tǒng)能懸掛數瓶礦泉水的原理是什么呢？火柴OB尾部為何出現不同程度的翹起現象呢？

圖2 三根火柴懸掛礦泉水圖(欄目中截圖)

1 理論分析

初始時，為了能將三根火柴安裝成圖1所示的結構，需要用重物將火柴OB末端壓住，如圖3所示，待掛上一瓶水，并安裝好三根火柴后，再將重物移走。顯然此結構不能保持平衡，而是整體繞火柴與桌面邊緣的接觸點O轉動一個角度，使得礦泉水重力的作用點位于桌面邊緣O點的正下方，如圖4所示。這就是掛上一瓶礦泉水后OB尾部立即翹起的原因。

圖3 整體圖(側視圖)

設轉動角度為α0，由圖4整體受力圖可得O點處的摩擦力與支撐力的合力最終與系統(tǒng)重力G平衡，此時忽略棉線和火柴桿的重量，則有

圖4 初始整體受力圖(側視圖)

可見，只要火柴傾角α0小于火柴與桌面的摩擦角，該系統(tǒng)即屬于自鎖狀態(tài)，即可保持平衡。其中A點為棉線的作用點，與O點位置很接近，設OA=d，AB=l，AC=h，此時∠CAB≈90°。則有

隨著礦泉水瓶數增加，火柴OB尾部翹起角度逐漸增加，但只要該角度小于摩擦角，系統(tǒng)均可保持平衡。本文認為增加重物重量，火柴尾部翹起角度增加的原因是火柴OB和DE發(fā)生了彎曲變形。設某時刻火柴OB尾部翹起角度為α，受力圖及其他各處角度如圖5所示。F A為兩根棉線的合力，火柴BC可視為二力桿。本文中不考慮桌面的厚度，因此桌面下邊緣對棉線無接觸作用力。

火柴OB發(fā)生彎曲變形使得尾部進一步翹起，但不會引起C處的角度變化。所以由圖5(b)可得

圖5 火柴系統(tǒng)整體及部分受力圖

分析圖5(c)求火柴OB的彎曲變形。為簡化計算，此時可將其看成如圖6所示的外伸梁，此時火柴已因發(fā)生了初始的剛體轉動而傾斜，為方便觀測將其畫成水平放置形式。

圖6 火柴OB外伸梁

忽略軸向力對梁變形的影響，設火柴的抗彎剛度為EI，則可得到O界面受彎曲的轉角絕對值，即火柴OB尾端因彎曲引起的翹起轉角為[2]

將式(5)代入可得

由于d遠小于l，則式(7)可簡化為

另外，由圖1可見，火柴DE中點的撓度f C可以由簡支梁中點受集中力作用計算，設火柴的長度為L，則有

由于DE彎曲使得C向斜下方有位移，導致了火柴系統(tǒng)整體繞O點再次發(fā)生剛體轉動，但D和E兩點由于整體受力可知不發(fā)生位移。設該轉角為φ，忽略BC桿的壓縮變形，則

火柴OB尾部總的翹起角度α為

由式(11)可知，隨著懸掛重物增加，火柴OB的彎曲轉角θO和轉角φ均會逐漸增大，則火柴的整體翹起角度α隨之增加，當α達到摩擦角時，所懸掛重量達到極限值，再增加重量，則系統(tǒng)就會發(fā)生垮塌，與實驗過程完全符合。將式(11)改寫成計算重物重量的形式，則有

由式(12)可知，系統(tǒng)所能懸掛的總重量與火柴的抗彎剛度成正比。當火柴與桌面摩擦系數確定后，摩擦角α為已知量，再根據初始條件計算出初始剛體轉角α0，即可算出所能懸掛的總重量。

2 算例分析

從資料查得木質火柴桿一般采用白楊、松木等制作，其抗彎彈性模量一般在7～13 GPa之間，本文取 10 GPa，普通火柴桿尺寸約為38 mm×1.5 mm×1.5 mm，若取d=2 mm，l=19 mm，木材與硬塑料、鋼之間的靜摩擦系數f一般在0.2～0.25之間，此處取火柴與桌面摩擦系數為0.2，即摩擦角為11.3°，則可算得這樣的三根火柴系統(tǒng)可懸掛重物的重量為

即，該系統(tǒng)可懸掛的重量約為3 kg，約5瓶550 mL的礦泉水。由圖2可見，節(jié)目現場試驗火柴OB外伸長度未達到火柴一半，因此懸掛重物可比上述理論值更大一些。所以，可認為本文理論分析結果與實驗結果較為符合。下面進行一下強度校核。由整體受力圖可見，此刻桌面的支撐力為

根據以上結果可算出A截面的彎矩，再由彎曲正應力公式，可得A截面下邊緣最大拉應力為

式中，b=1.5 mm，為火柴桿邊長。由于選擇的棉線具有一定粗度才能將火柴撐住，如圖2所示，此時棉線的直徑與OA間距離d值已經較為接近，因此可以將棉線對火柴桿的作用力考慮為均布載荷，如圖7所示。

圖7 火柴OB計算圖

根據試驗情況，可設棉線直徑為1 mm，A截面位于其中點上，則有

可算得A截面最大正應力為

式中，棉線半徑a=0.5 mm。顯然，按均布載荷計算所得最大應力值更小一些。實際選用哪種計算方式需要根據棉線的粗細來決定。查閱文獻可知，楊木、松木的拉伸屈服極限一般為88～118 MPa，可見按本文的理論計算結果，火柴桿的強度也在范圍之內，所以可認為理論分析合理。但由于火柴桿選材、棉線與桌面的距離、火柴外伸長度等參數均人為選擇，其結果會有一些差異。下面將幾種選擇的計算結果列于表1中。

由表1可見，摩擦系數f、棉線與桌面的距離d均對懸掛重量具有較大影響。如果棉線緊貼桌面，使得距離d很小，則可顯著提高懸掛的重量，當摩擦系數f=0.2時，文中的火柴系統(tǒng)最多可懸掛13瓶礦泉水，且火柴的最大應力還不至于太大?；鸩駰U與桌面摩擦系數f增大可提高懸掛的重量，但當f=0.25時，懸掛重物達到一定重量后，火柴會先發(fā)生斷裂破壞，而不會是整體垮塌。

表1 幾個例子的計算結果

3 結語

本文介紹了三根火柴懸掛礦泉水瓶的有趣試驗現象，基于理論力學中的自鎖原理和材料力學中梁的彎曲理論分析了系統(tǒng)保持平衡的力學原理，并得出了其極限載荷的計算公式，為該試驗給出了較為合理的理論解釋。通過幾個算例可知，摩擦系數、棉線與桌面距離均對懸掛的極限載荷具有較大的影響。

致謝感謝田振國、黃良及張任良等老師的有益討論！