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        數(shù)學(xué)建模在新高考中的實踐與思考

        2021-07-14 02:09:02江蘇
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型教學(xué)

        江蘇 張 陽

        (作者單位:江蘇省蘇州市吳江高級中學(xué))

        在5G時代,數(shù)學(xué)對社會發(fā)展的巨大推動作用已成為所有人的共識,許多尖端科學(xué)技術(shù)的發(fā)展都需要數(shù)學(xué)理論的突破與應(yīng)用,需要數(shù)學(xué)的思考方法,數(shù)學(xué)建模正是將數(shù)學(xué)理論與實踐相結(jié)合的橋梁.狹義的數(shù)學(xué)建模是指利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題,廣義的數(shù)學(xué)建模泛指利用數(shù)學(xué)方法解決與數(shù)學(xué)相關(guān)的所有問題,包括數(shù)學(xué)問題本身.自上世紀(jì)九十年代中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會舉辦了大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽以來,數(shù)學(xué)建?;顒友杆傧砣珖?中學(xué)數(shù)學(xué)建模在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中第一次成為核心素養(yǎng)的重要組成部分,成為普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)從幾個角度考查了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng).

        1.數(shù)學(xué)建模在新高考中的實踐

        1.1以立體幾何為載體的數(shù)學(xué)建模

        【例1】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40°,則晷針與點A處的水平面所成角為

        ( )

        A.20° B.40°

        C.50° D.90°

        【數(shù)學(xué)建模】

        (1)模型準(zhǔn)備(數(shù)學(xué)表征):題中元素涉及直線、平面、球、角度、截面;需要對條件進行數(shù)學(xué)抽象,將晷面抽象為平面,晷針抽象成直線,地球抽象成球,并進一步畫出反映三者圍著的截面圖(球心和晷針?biāo)_定的平面、晷面);

        (2)模型假設(shè)(數(shù)學(xué)對應(yīng)):聯(lián)想到立體幾何,考查球體中的線、面、體三者位置關(guān)系,計算直線與平面所成角度;

        (3)模型建立(數(shù)學(xué)模型):該模型由立體圖形、平面化后的平面幾何圖形構(gòu)成;

        (4)模型求解:根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系,根據(jù)點A處的緯度,計算出晷針與點A處的水平面所成角.

        如圖,CD是赤道所在平面的截線;l是點A處的水平面的截線,依題意可知OA⊥l;AB是晷針?biāo)谥本€.m是晷面的截線,依題意知,晷面和赤道平面平行,晷針與晷面垂直,根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可知m∥CD,根據(jù)線面垂直的定義可得AB⊥m.

        由于∠AOC=40°,m∥CD,所以∠OAG=∠AOC=40°,

        由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°,

        所以∠BAE=∠OAG=40°,也即晷針與點A處的水平面所成角為∠BAE=40°.

        1.2以三角為載體的數(shù)學(xué)建模

        【數(shù)學(xué)建?!?/p>

        (1)模型準(zhǔn)備(數(shù)學(xué)表征):題中元素有圓弧、扇形、三角值、平行、長度、距離、半徑;

        (2)模型假設(shè)(數(shù)學(xué)對應(yīng)):聯(lián)想到三角函數(shù).因為與角度有關(guān)的問題,考慮到角度與旋轉(zhuǎn)有關(guān),可以通過構(gòu)造三角形進行建模,分割后的圖形由扇形、直角三角形兩部分構(gòu)成;

        (3)模型建立(數(shù)學(xué)模型):

        (4)模型求解:

        設(shè)OB=OA=r,由題意AM=AN=7,EF=12,所以NF=5,

        因為AP=5,所以∠AGP=45°,

        因為BH∥DG,所以∠AHO=45°,

        因為AG與圓弧AB相切于A點,所以O(shè)A⊥AG,

        即△OAH為等腰直角三角形;

        1.3以統(tǒng)計案例為背景的數(shù)學(xué)建模

        【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·19)為加強環(huán)境保護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:

        SO2PM2.5 [0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710

        (Ⅰ)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;

        (Ⅱ)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:

        SO2PM2.5 [0,150](150,475][0,75](75,115]

        (Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)?

        P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

        【數(shù)學(xué)建?!?/p>

        (1)模型準(zhǔn)備(數(shù)學(xué)表征):本題統(tǒng)計類型特征明顯,研究兩個分類變量間的關(guān)聯(lián)把握度問題;

        (2)模型假設(shè)(數(shù)學(xué)對應(yīng)):完成數(shù)據(jù)處理,填寫2×2列聯(lián)表,理解表中各項數(shù)據(jù)的意義;

        (3)模型建立(數(shù)學(xué)模型):運用卡方值進行判斷;

        (4)模型求解:

        (Ⅰ)由表格可知,該市100天中,空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64,

        (Ⅱ)由所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表為:

        SO2PM2.5[0,150](150,475]合計[0,75]641680(75,115]101020合計7426100

        (Ⅲ)根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

        因為根據(jù)臨界值表可知,有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

        1.4以時事熱點為背景的數(shù)學(xué)建模

        【例4】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)

        ( )

        A.1.2天 B.1.8天

        C.2.5天 D.3.5天

        【數(shù)學(xué)建?!?/p>

        (1)模型建立(數(shù)學(xué)模型):本題中已經(jīng)給出數(shù)學(xué)模型,讀懂模型是前提,清楚題中變量的意義;

        (2)模型求解:

        設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為t1天,

        則e0.38t+t1=2e0.38t,所以e0.38t1=2,所以0.38t1=ln2,

        1.5以數(shù)學(xué)工具應(yīng)用為背景的數(shù)學(xué)建模

        【數(shù)學(xué)建模】

        (1)模型準(zhǔn)備(數(shù)學(xué)表征):題中涉及的元素有直四棱柱、棱長、角度、球心、球面、未知的交線;

        (3)模型建立(數(shù)學(xué)模型):取BC中點M,以D為坐標(biāo)原點,DA所在直線為x軸,DM所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;

        (4)模型求解:

        圖中各點坐標(biāo)分別為

        x2+(z-2)2=2,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

        2.數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的思考

        數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,在解決問題的過程中,數(shù)學(xué)建模并不是孤立存在的,還需要聚合數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等其他核心素養(yǎng)進行解題,所以數(shù)學(xué)建模更多的是一種設(shè)計解題方案,尋求最優(yōu)解題路徑的過程.

        2.1優(yōu)化數(shù)學(xué)建模流程 探尋數(shù)學(xué)建模本質(zhì)

        如圖是數(shù)學(xué)建?;顒拥囊话氵^程

        上述流程注重完整性,從如何產(chǎn)生問題,到建模解模驗?zāi)H鞒?,面面俱?但對于高中生來說,數(shù)學(xué)建模的重點是在確定問題的前提下,如何建立合理的數(shù)學(xué)模型,并解決模型.所以高中數(shù)學(xué)建模的流程還可以進一步優(yōu)化.

        如圖的流程關(guān)注學(xué)生從現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)模型的生成,即提煉現(xiàn)實問題中的元素數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系,結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識,建立數(shù)學(xué)模型,求解數(shù)學(xué)模型,將數(shù)學(xué)的解與現(xiàn)實問題的解進行對應(yīng),并對現(xiàn)實問題給予合理解釋.四個環(huán)節(jié)的本質(zhì)是四個對應(yīng)過程,現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)模型的對應(yīng),數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)求解的對應(yīng),數(shù)學(xué)解答與現(xiàn)實問題解答對應(yīng),現(xiàn)實解答與現(xiàn)實問題的對應(yīng).其中現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的對應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂,是數(shù)學(xué)的魅力所在,兩者是雙向的,即現(xiàn)實可以對應(yīng)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)也應(yīng)可以對應(yīng)現(xiàn)實.前者比較容易,后者則很難,高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以設(shè)置兩個層級,一是數(shù)學(xué)問題對應(yīng)數(shù)學(xué)模型,二是現(xiàn)實問題對應(yīng)數(shù)學(xué)問題再對應(yīng)為數(shù)學(xué)模型.所以數(shù)學(xué)建模不能狹義地理解為數(shù)學(xué)應(yīng)用題,而應(yīng)泛指一切用數(shù)學(xué)工具解決問題的過程.

        2.2剖析數(shù)學(xué)建模要素 全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

        從問題到數(shù)學(xué)問題,是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié),在這一環(huán)節(jié)中有三項要素參與,分別是學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備、問題的數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)表征與知識儲備間的對應(yīng)能力,如圖所示.

        A是問題表征的結(jié)果,B是學(xué)生知識儲備情況,f則是對應(yīng)關(guān)系,在數(shù)學(xué)建?;顒又?,A,B,f是教學(xué)重點,教會學(xué)生從問題中提煉有效信息并進行表征,是一種數(shù)學(xué)抽象能力;對元素的形與數(shù)的轉(zhuǎn)換需要學(xué)生具有直觀想象能力;在教學(xué)中加強基礎(chǔ)知識教學(xué),形成良好的數(shù)學(xué)功底,讓數(shù)學(xué)應(yīng)用成為一種自覺行為,需要縝密的邏輯推理能力.

        因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在問題表征、概念教學(xué)、對應(yīng)關(guān)系建立三個方面加強.

        (1)數(shù)學(xué)表征

        所給出的問題主要有陳述性知識、程序性知識與策略性知識.陳述性知識是問題中的數(shù)學(xué)概念系與命題系,將問題中的概念體系進行抽象,對問題中的命題與命題網(wǎng)絡(luò)進行描述,形成問題的原始條件與目標(biāo).程序性知識是對陳述性知識進行合理組合,使其內(nèi)部具有一定的邏輯關(guān)聯(lián).策略性知識是對經(jīng)過程序加工過的陳述性知識進行初步加工,常見形式有“如果……那么……”,即根據(jù)所給條件意味著什么,往往是這一條件還能推導(dǎo)出什么樣的結(jié)論,是對條件的深入理解.

        數(shù)學(xué)表征能力是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵一步,在表征時經(jīng)常需要多重表征,即用多種方式來刻畫某個對象,陳述性表征行為主要有常用的文字表征、數(shù)學(xué)符號表征、圖表或圖形表征,策略性表征行為則更加注重數(shù)學(xué)知識的介入,如文字、符號、圖表(圖形)所反映出的數(shù)學(xué)性質(zhì),多重表征是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn).

        在教學(xué)中,教師應(yīng)給予學(xué)生充足的時間進行表征活動.教會學(xué)生常用的數(shù)學(xué)表征方法,對學(xué)生表征時遇到的困難進行指導(dǎo),將多重表征作為數(shù)學(xué)教學(xué)的原則和目標(biāo),自覺地實踐于自己的教學(xué)中.對于高中一些缺少嚴(yán)謹(jǐn)理論基礎(chǔ)的問題,運用現(xiàn)代技術(shù)對學(xué)生表征行為進行驗證肯定.

        (2)概念教學(xué)

        以系統(tǒng)論思想為出發(fā)點,結(jié)合大概念教學(xué)理念,進行大單元設(shè)計.在設(shè)計教學(xué)時,將內(nèi)容放在整個知識體系中去理解,如三角函數(shù)定義,課本中利用單位圓進行講解,那么為什么要利用單位圓,它的必然性與工具性怎么表達.

        【例6】如圖,摩天輪的半徑為50 m,圓心O點距地面的高度為60 m.摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每3 min轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.求在20 min時點P距離地面的高度.

        【點評】此題學(xué)生都知道要建立坐標(biāo)系,但是學(xué)生建系的方式各不相同,有的以地面為x軸,有的以圓的最低點為坐標(biāo)原點建系.產(chǎn)生這些問題的根本原因是什么?更多的是學(xué)生對三角工具性的理解比較膚淺,只知道需要建系,不清楚如何建系.角的概念是由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的,三角的定義是在旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上通過三角函數(shù)進行幾何直觀與代數(shù)運算,而這一旋轉(zhuǎn)的中心是放在坐標(biāo)原點位置,所以本題應(yīng)以O(shè)為坐標(biāo)原點進行建系.角、三角、三角函數(shù)是一個完整的知識體系,三角是一個大概念、三角函數(shù)是大單元.

        將大單元教學(xué)應(yīng)用于概念教學(xué),需要以學(xué)期為單位,對教材邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)容結(jié)構(gòu)進行理解,結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》,從學(xué)情出發(fā),以學(xué)生的認(rèn)知、元認(rèn)知水平為基礎(chǔ),對所教學(xué)內(nèi)容進行合理分割;明確每一單元需要著重培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),有的放矢地組織教學(xué),這些核心素養(yǎng)的落實路徑是什么;尋找統(tǒng)領(lǐng)每一單元的大概念是什么,這些大概念聚合了哪些概念與命題,通過大概念如何搭建知識體系.

        例6中摩天輪問題的解決,需要對問題進行數(shù)學(xué)表征,其表征內(nèi)容觸及“角”這一大概念(角的定義:旋轉(zhuǎn)),在“角”大概念下聚合了三角與三角函數(shù),其中三角函數(shù)是以角作為自變量的函數(shù)問題,所以本題可聯(lián)想到三角函數(shù),進一步理解三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)角的結(jié)合點是坐標(biāo)系,所以建立坐標(biāo)系成為選項,建立坐標(biāo)系應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)的產(chǎn)生,其單位圓的圓心作為坐標(biāo)原點建系成為必然選擇.

        (3)對應(yīng)關(guān)系

        問題到模型間的對應(yīng)關(guān)系f,在教學(xué)中需要強化兩個方面,一是對應(yīng)意識,給學(xué)生完整的解決問題的機會,不代替學(xué)生思考問題,培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作探究的能力,教師做顧問角色.現(xiàn)實課堂中,學(xué)生需要體驗解題全流程,拋棄題海戰(zhàn)術(shù),實施精品課堂;二是概念教學(xué),不僅要幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系,還要厘清知識產(chǎn)生的背景與發(fā)展方向,如統(tǒng)計教學(xué),講清楚統(tǒng)計源自什么、統(tǒng)計的意義與價值是什么,在講解卡方統(tǒng)計量的時候,學(xué)生很迷茫,卡方統(tǒng)計量的合理性解釋就顯得很有必要了.對于高中階段一部分無法講清楚但又直接使用的知識,如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、正態(tài)分布表達式,教師可以從數(shù)學(xué)史的角度闡述,先說明其合理性,讓學(xué)生先接受知識的應(yīng)用,其完整的邏輯推理留到以后解決.

        3.結(jié)束語

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