方昊，劉洋，鄭俊杰

(華中科技大學(xué) 巖土與地下工程研究所，湖北 武漢 430074)

運(yùn)動(dòng)荷載作用下道路路面的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題一直以來(lái)受到學(xué)者們的關(guān)注，道路路面結(jié)構(gòu)通常被視為置于彈性或黏彈性地基上的梁或板。Kim[1-2]考慮了板內(nèi)應(yīng)力以及板底剪切阻尼的影響，對(duì)黏彈性地基上板的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析；Huang等[3]采用有限條分法研究了移動(dòng)荷載作用下黏彈性地基上對(duì)邊簡(jiǎn)支板的動(dòng)力響應(yīng)；姚海林等[4]利用Fourier變換的方法，研究了多輪荷載作用下黏彈性Winkler地基上正交各向異性薄板的動(dòng)撓度；王春玲等[5]利用積分變換法，得出了移動(dòng)荷載作用下彈性半空間地基上矩形薄板的動(dòng)力響應(yīng)解析解；顏可珍等[6]研究了在移動(dòng)荷載作用下的Vlazov 地基上無(wú)限長(zhǎng)梁的動(dòng)力響應(yīng)。以上研究都將移動(dòng)荷載假設(shè)成為勻速荷載，實(shí)際上，車(chē)輛在行駛過(guò)程中存在大量變速的情況，例如啟動(dòng)、超車(chē)以及剎車(chē)，因此將移動(dòng)荷載假設(shè)成變速荷載更為合理。

目前，學(xué)者們針對(duì)變速荷載下道路路面的動(dòng)力響應(yīng)做了一些研究，但是非常有限。Beskou等[7]和Michaltsos[8]利用振型疊加以及Duhamel積分的方法，對(duì)勻變速荷載作用下黏彈性地基上兩端簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析；Huang等[9]利用有限條分法研究了黏彈性地基上對(duì)邊簡(jiǎn)支板的動(dòng)力響應(yīng)；Suziki[10]對(duì)Winkler地基上有限長(zhǎng)梁的動(dòng)撓度進(jìn)行了分析。上述都將地基簡(jiǎn)化成黏彈性Winkler地基，但是Winkler地基模型過(guò)于簡(jiǎn)化，不能反映土體的性質(zhì)。學(xué)者們?yōu)榱烁倪M(jìn)該模型的缺陷，研究了一系列雙參數(shù)地基模型。Vlazov地基就是這類(lèi)模型中具有代表意義的一種。Nogami等[11-12]和高廣運(yùn)等[13-14]進(jìn)一步得到了修正的Vlazov地基模型。而勻變速荷載作用下Vlazov地基上梁的動(dòng)力響應(yīng)還未見(jiàn)報(bào)道。

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，采用一種Fourier變換與有限差分法相結(jié)合的方法，并利用數(shù)值積分，得出了勻變速荷載作用下Vlazov地基上梁的動(dòng)撓度數(shù)值結(jié)果。利用數(shù)值結(jié)果，進(jìn)一步分析了荷載加速、減速和初速度對(duì)梁的動(dòng)態(tài)撓度的影響。

1 控制方程及求解

如圖1所示，假設(shè)路面梁和地基完全接觸，位移連續(xù)且不考慮接觸面上的剪切應(yīng)力，根據(jù)Euler-Bernoulli梁和Vlazov地基理論，Vlazov地基上梁的動(dòng)力控制方程可寫(xiě)為[6]：

圖1 Vlazov均質(zhì)地基上梁模型

(1)

式中：EI為梁的抗彎剛度;W為梁的位移;p為施加在梁上的荷載。對(duì)于非均質(zhì)地基，假設(shè)彈性模量呈線性變化，且彈性層頂面的彈性模量為E1，彈性層底面的彈性模量為E2，則：

(2)

彈性層模量可寫(xiě)為：

(3)

式中：Es和νs分別表示彈性層的彈性模量和泊松比；ρs表示彈性層的密度；H表示彈性層的厚度；d、ρ和h分別為梁的寬度、密度和厚度。對(duì)于均質(zhì)地基，則有E1=E2=Es。

邊界條件為：

(4)

定義對(duì)x的Fourier變換為：

(5)

其Fourier逆變換為:

(6)

對(duì)式(1)中的x進(jìn)行Fourier變換，可得到：

(7)

荷載可表示為：

p(x,t)=FdH[l2-(x-xc)2]

(8)

式中:

(9)

式中：F、2l、xc、x0、v、a依次表示線荷載的荷載大小、荷載寬度、任意時(shí)刻荷載位置的中心坐標(biāo)、初始時(shí)刻荷載中心坐標(biāo)、荷載速度以及荷載的加速度;H[·]為Heaviside函數(shù)。對(duì)荷載進(jìn)行Fourier變換，可得到：

(10)

利用有限差分法，則對(duì)于時(shí)間的二階微分可寫(xiě)為：

(11)

tj=Δt(j-1)

(12)

將式(11)代入式(7),可得：

(13)

式中：

(14)

(15)

采用移動(dòng)坐標(biāo)系的方法，可得出勻速荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解[6]。本文采用同樣的方法，求出Vlazov地基上梁的動(dòng)力響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解，并將該穩(wěn)態(tài)解作為勻變速荷載作用下Vlazov地基上梁的動(dòng)力響應(yīng)的初始條件。

引入移動(dòng)坐標(biāo)系，對(duì)于任一勻速線荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，令X=x-x0-vt，則方程(1)可以簡(jiǎn)化為：

(16)

定義對(duì)X的Fourier變換為：

(17)

其Fourier逆變換為:

(18)

同樣地，對(duì)X進(jìn)行Fourier變換，則式(1)可寫(xiě)為：

(19)

其中：

(20)

可以得出：

(21)

對(duì)比式(6)和式(18)，由于：

W(x,t)=W(X)

(22)

可以得到：

(23)

(24)

對(duì)于第1個(gè)時(shí)間步和第2個(gè)時(shí)間步，即j=1,2的情況，將t=0，Δt代入式(24)，可得出:

(25)

將式(25)代入式(13)，作為式(13)的初始條件，并利用Fourier逆變換，就可得到勻變速荷載作用下Vlazov地基上梁的動(dòng)力響應(yīng)：

(26)

2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的正確性，假設(shè)荷載加速度為0，則可退化成文獻(xiàn)[6]中勻速線荷載的情況。取該文獻(xiàn)中的參數(shù)：地基土的質(zhì)量密度ρs=1 550 kg/m3，地基土的泊松比νs=0.3，地基土層厚度H=3 m，地基土的彈性模量Es=2.69×107N/m2，梁的彈性模量E=3.1×109N/m2，梁的截面是矩形截面，其中梁的寬度為d=0.3 m，梁的厚度為h=0.3 m，梁的質(zhì)量密度為ρ=2 450 kg/m3，初始時(shí)刻荷載的中心坐標(biāo)為x0=0，荷載強(qiáng)度F=3 333 N/m2，線荷載分布寬度2l=0.3 m。圖2表示不同荷載速度作用下板撓度沿x軸的分布情況。本文的計(jì)算結(jié)果與顏可珍等[6]的計(jì)算結(jié)果吻合得很好，說(shuō)明本文的方法正確可行。

圖2 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[6]結(jié)果的對(duì)比

3 數(shù)值分析

荷載速度、地基土的模量以及地基土層的厚度對(duì)板的動(dòng)力響應(yīng)的影響已經(jīng)在文獻(xiàn)中有了詳細(xì)的討論。本文主要討論單軸勻變速荷載作用下加速度對(duì)Vlazov地基上梁的動(dòng)撓度的影響。采用文獻(xiàn)[6]中的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析。

3.1 不同初速度下加速對(duì)梁動(dòng)撓度的影響

圖3為線荷載以不同的初速度和相同加速度a=3 m/s2運(yùn)動(dòng)至xc=0,250, 500, 750 m處時(shí)，Vlazov地基上梁在靠近荷載中心的位置的動(dòng)撓度曲線。從圖中可看出，撓度峰值發(fā)生在荷載中心，且隨著運(yùn)動(dòng)距離xc的增加，動(dòng)撓度峰值增加，振動(dòng)更加劇烈。

圖3 加速荷載運(yùn)動(dòng)至不同位置時(shí)梁在x方向的動(dòng)撓度曲線

圖4表示線荷載在初速度分別為v=0,30, 60 m/s，加速度均為a=0,1, 2, 3 m/s2時(shí)，從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，梁上在x方向不同位置對(duì)應(yīng)的動(dòng)撓度峰值圖像。從圖中可看出，當(dāng)加速度大于0時(shí)，動(dòng)撓度峰值隨著x的增加而增加，說(shuō)明勻變速狀態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)是非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，且加速度越大，增加幅度越大。

對(duì)比圖4(a)、(b)、(c)，可以看出，當(dāng)初速度為v=0時(shí)，梁的撓度幅值隨著距離x的增加呈線性增加的趨勢(shì)，最大增幅達(dá)到6.448 μm，增加約23.412%；當(dāng)v=30 m/s，梁的撓度幅值隨著距離x的增加呈線性增加的趨勢(shì)，最大增幅達(dá)到7.384 μm，增加約25.874%；而當(dāng)初速度為v=60 m/s，且加速度為a=3 m/s2時(shí)，梁的撓度幅值隨著距離x的增加呈非線性增加的趨勢(shì)，最大增幅達(dá)到12.250 μm，增加約37.879%。說(shuō)明初速度越大，隨著距離x的增加，動(dòng)撓度增加幅度越大，加速度對(duì)于動(dòng)撓度的影響越大。文獻(xiàn)[6]中的研究成果表明：速度越大，Vlazov地基上梁的動(dòng)撓度響應(yīng)越大，且速度越大，速度的增加對(duì)梁的動(dòng)撓度影響越大。由此可以分析，當(dāng)初速度一定時(shí)，加速度越大，到達(dá)位置x處的速度就越大，Vlazov地基上梁的非穩(wěn)態(tài)動(dòng)撓度響應(yīng)就越大，且初速度越大，加速度對(duì)梁的動(dòng)撓度影響越大。由此可見(jiàn)，加速度對(duì)于動(dòng)撓度的影響是不可忽略的。

圖4 加速荷載作用下梁的撓度峰值沿x方向的分布

3.2 不同初速度下減速對(duì)梁動(dòng)撓度的影響

圖5表示線荷載以不同的初速度和相同加速度a=-3 m/s2運(yùn)動(dòng)至xc=0, 50, 100 m處時(shí)，Vlazov地基上梁在不同位置的動(dòng)撓度曲線。從圖5中可看出，撓度峰值發(fā)生在荷載中心，且隨著運(yùn)動(dòng)距離xc的增加，動(dòng)撓度峰值減小，振動(dòng)更加平緩。

圖5 減速荷載運(yùn)動(dòng)至不同位置時(shí)梁在x方向的動(dòng)撓度曲線

圖6表示線荷載在初速度分別為v=30, 60, 90 m/s,加速度均為a=-1,-2,-3 m/s2時(shí)，從x=0運(yùn)動(dòng)至不同位置時(shí)，梁上不同x位置對(duì)應(yīng)的動(dòng)撓度峰值圖像。由圖可看出，隨著距離x的增加，撓度最大值減小，且減速越大，減小幅度越大。

圖6 減速荷載作用下梁的撓度峰值沿x方向的分布

對(duì)比圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)當(dāng)初速度為v=30 m/s時(shí)，梁撓度的最大減幅達(dá)到0.672×10-6m，減少約2.355%；v=60 m/s時(shí)，梁撓度的最大減幅達(dá)到0.977×10-6m，減少約3.021%，且梁的撓度最大值隨著距離x的增加呈線性減小的趨勢(shì)；當(dāng)v=90 m/s，且加速度為a=-3 m/s2時(shí)，梁撓度的最大減幅達(dá)到2.512×10-6m，減少約5.636%，梁的撓度最大值隨著距離x的增加呈非線性減小的趨勢(shì)，說(shuō)明初速度越大，動(dòng)撓度峰值減小幅度越大，減速對(duì)于動(dòng)撓度的影響越大。同樣地可以分析出，當(dāng)初速度一定時(shí)，減速越大，到達(dá)位置x處的速度就越小，Vlazov地基上梁的非穩(wěn)態(tài)動(dòng)撓度響應(yīng)就越小，且初速度越小，減速對(duì)梁的動(dòng)撓度影響越小。由此可見(jiàn)，減速對(duì)于動(dòng)撓度的影響是不可忽略的。

3.3 梁動(dòng)撓度的參數(shù)敏感性分析

本文主要對(duì)荷載初速度、加速和減速進(jìn)行敏感性分析。從圖7和圖8可以看出，載荷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)于梁上的不同位置x，梁的動(dòng)撓度都對(duì)梁的初速度敏感；從圖9可以看出，當(dāng)x≤50 m，即靠近荷載初始位置時(shí)，梁的動(dòng)撓度隨加速度的變化很小，即對(duì)加速度不敏感，對(duì)比a=0的情況，梁的撓度峰值增加最大也只有1.657%，但在遠(yuǎn)離荷載初始位置處，即x較大時(shí)，梁的動(dòng)撓度對(duì)加速度敏感，且對(duì)比荷載勻速運(yùn)動(dòng)的情況，a=3 m/s2情況下梁的撓度峰值最大可增加26.736%，a=-3 m/s2情況下梁的撓度峰值最大可減少14.808%，說(shuō)明梁的動(dòng)撓度響應(yīng)對(duì)加速更敏感。

圖7 減速荷載以不同初速度作用下梁的撓度峰值

4 結(jié)論

1)隨著運(yùn)動(dòng)距離的增加，加速荷載作用下的梁的振動(dòng)幅值越大，振動(dòng)更加劇烈，減速荷載作用下的梁的振動(dòng)幅度越小，振動(dòng)越平緩，說(shuō)明梁的動(dòng)撓度與荷載的運(yùn)動(dòng)距離有關(guān)，且加速荷載相較于減速荷載對(duì)梁的動(dòng)撓度影響更大。

2)勻變速荷載的初速度對(duì)彈性地基上梁的動(dòng)撓度影響非常明顯，初速度越大，梁的動(dòng)撓度越大，加速或減速對(duì)梁的動(dòng)撓度的影響越大，即加速越大，梁的動(dòng)撓度增加的幅度越大；減速越大，梁的動(dòng)撓度減小的幅度越大。

3)彈性地基上梁的動(dòng)撓度峰值對(duì)荷載加速度的敏感程度與距離荷載初始位置的距離x有關(guān)，當(dāng)x≤50 m，即靠近荷載初始位置時(shí)，梁的動(dòng)撓度峰值對(duì)加速度不敏感，但是在遠(yuǎn)離荷載初始位置處，即x較大時(shí)，梁的動(dòng)撓度對(duì)加速度敏感，且對(duì)加速更敏感。在x=600 m處，對(duì)比勻速運(yùn)動(dòng)的情況，a=3 m/s2情況下梁的撓度峰值最大可增加26.736%，因此在工程設(shè)計(jì)過(guò)程中，將荷載考慮成勻變速荷載更合理，且應(yīng)當(dāng)精確測(cè)量荷載的加速度，以減少計(jì)算誤差。