王申鵬，崔巖，孫觀，周六圓，趙少卿

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

1892年，Lyapunov發(fā)表博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》，系統(tǒng)性給出了穩(wěn)定性的科學(xué)概念和研究方法，即Lyapunov穩(wěn)定性理論。該理論簡(jiǎn)單、協(xié)調(diào)和恰當(dāng)，逐步成為研究最充分、應(yīng)用最廣泛的穩(wěn)定性理論。近年來，Lyapunov指數(shù)的概念引起了廣泛興趣，并與混沌理論結(jié)合了起來。文獻(xiàn)［1］研究了一類帶外部噪聲的不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性及自適應(yīng)滑模同步控制，文獻(xiàn)［2］基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論構(gòu)造了控制器以及分?jǐn)?shù)階的參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的同步。文獻(xiàn)［3］針對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種時(shí)滯相關(guān)的反饋控制器，利用Lyapunov函數(shù)法對(duì)整個(gè)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明。文獻(xiàn)［4］運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，獲取混沌金融系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定的條件，構(gòu)造其時(shí)滯系統(tǒng)控制器，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)混沌控制。文獻(xiàn)［5］針對(duì)參數(shù)未知分?jǐn)?shù)階混沌Chen和R?ssler系統(tǒng)的同步問題，選取了一個(gè)具有較強(qiáng)魯棒性分?jǐn)?shù)階積分滑模面，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破?，利用模糊逼近的方法使系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時(shí)間和抖振性能綜合最優(yōu)，最后實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步。文獻(xiàn)［6］基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，通過輸出反饋控制使得非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)［7］研究一類具有混沌同步的Lorenz時(shí)滯系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性以及Hopf分支，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性開關(guān)和Hopf分支出現(xiàn)的條件，并討論出分支周期解的分支方向、穩(wěn)定性和分支周期的變化律。

在混沌系統(tǒng)的定性分析中，較為重要的是有界性，其能夠?qū)⑾到y(tǒng)的全局化為局部，無窮變成有限[8-9]。文獻(xiàn)［10］通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，分別研究了T系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)與NSG系統(tǒng)的有界性問題。文獻(xiàn)［11］研究了無刷直流發(fā)電機(jī)系統(tǒng)和一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)，利用廣義Lyapunov函數(shù)理論和優(yōu)化理論研究了全局吸引集和正向不變集，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步。文獻(xiàn)［12］運(yùn)用Lyapunov函數(shù)直接方法和比較方法，結(jié)合Razumikhin技巧，分別討論了系統(tǒng)解的有界性、一致有界性、最終有界性和系統(tǒng)關(guān)于兩個(gè)測(cè)度的有界性的幾個(gè)結(jié)論。文獻(xiàn)［13］提出了具有唯一平衡點(diǎn)或兩個(gè)平衡點(diǎn)的四維超混沌系統(tǒng)，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)證明不存在同宿軌與異宿軌， 表明此系統(tǒng)是非Shil’nikov意義下的超混沌。

本文提出了一種新的拓展Lü系統(tǒng)，從穩(wěn)定性和有界性兩方面對(duì)其進(jìn)行整體性分析。穩(wěn)定性是指系統(tǒng)通過內(nèi)部的Lyapunov指數(shù)變化達(dá)到一種穩(wěn)定狀態(tài)。有界性是指系統(tǒng)在相平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，其吸引子存在一個(gè)整體的有界范圍。

1 拓展Lü系統(tǒng)

新三維二次型混沌系統(tǒng)可用以下形式描述：

其中a=-1，b=2。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 整體穩(wěn)定性控制

通過非線性系統(tǒng)中的Lyapunov指數(shù)可以對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行判斷。若Lyapunov指數(shù)中存在一個(gè)正指數(shù)，則該系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)，若Lyapunov指數(shù)均為負(fù)指數(shù)，則該系統(tǒng)是處于穩(wěn)定狀態(tài)。采用Lyapunov控制法[14]，可以控制非線性系統(tǒng)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)。

系統(tǒng)（1）屬于三維二次型自治方程，當(dāng)Lyapunov指數(shù)全部為負(fù)數(shù)時(shí)，該系統(tǒng)處于整體穩(wěn)定狀態(tài)。為此，可以令整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定控制在點(diǎn)A（2，3，5），Lyapunov指數(shù)為σ1=-2，σ2=-3，σ3=-2。

根據(jù)上述原理和參數(shù)設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性控制。

原系統(tǒng)表示為f，可得：

該系統(tǒng)的Jacobi矩陣為：

在系統(tǒng)中加入σ1，σ2，σ3，則受控系統(tǒng)的線性矩陣項(xiàng)為：

得出受控系統(tǒng)的常數(shù)項(xiàng)：

構(gòu)造合適的線性控制器：

新的受控系統(tǒng)可以表示為：

2.2 數(shù)值仿真

采用MATLAB軟件對(duì)新的受控系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，令初始點(diǎn)為。

圖2 受控系統(tǒng)y變量軌線穩(wěn)定圖

圖3 受控系統(tǒng)z變量軌線穩(wěn)定圖

從圖1、2、3中可以看出，通過添加一個(gè)線性控制器，系統(tǒng)中的Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能夠快速收斂到點(diǎn)A（2，3，5），原系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象被完全控制，從而得出該方法可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)于拓展Lü系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性控制。

圖1 受控系統(tǒng)x變量軌線穩(wěn)定圖

3 有界性分析

3.1 整體有界函數(shù)構(gòu)造

通過全局吸引域可表現(xiàn)出系統(tǒng)的整體有界性，因此可以采用對(duì)拓展Lü系統(tǒng)進(jìn)行整體函數(shù)構(gòu)造的方法分析其整體有界性。

系統(tǒng)方程在全局吸引域中的整體性理論概述如下[15-17]：系統(tǒng)方程為設(shè)為混沌系統(tǒng)的解。若系統(tǒng)中存在常數(shù)則可通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)表示整體有界性，若Lyapunov函數(shù)存在則有因此整個(gè)系統(tǒng)的軌線是呈現(xiàn)出一種收縮狀態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)的全局吸引域可以表示為若和則有整個(gè) 吸引域表現(xiàn)為正向的，呈現(xiàn)出整體有界狀態(tài)。若系統(tǒng)中存在常數(shù)滿足則可以得出Lyapunov指數(shù)不等式：該不等式一直成立，通過Lyapunov函數(shù)可以表示為系統(tǒng)的有界性為 。

因此系統(tǒng)（1）的Lyapunov有界性可以表示為：

證明：可以構(gòu)造Lyapunov函數(shù)分析拓展Lü系統(tǒng)的整體有界性，該函數(shù)表示式如下：

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

令

定義該函數(shù)：

分析函數(shù)可知，該函數(shù) 為二次函數(shù)，其局部最大值就是全局的極大值，即該函數(shù)的Lagrange極值 。

對(duì)函數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)

因此

3.2 整體有界性分析

利用構(gòu)造出的Lyapunov函數(shù)中的不同取值，，從而得出有界域的估計(jì)方程。

（1）若m取值為0，則整體有界性估計(jì)式如下：

該有界性表現(xiàn)為一個(gè)圓柱形。

（2）若m取值為1，則整體有界性估計(jì)式如下：該有界性表現(xiàn)為一個(gè)球形。

該有界性表現(xiàn)為一個(gè)橢球形。

綜上，該系統(tǒng)的整體有界性是在一定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要從穩(wěn)定性和有界性兩方面對(duì)拓展Lü系統(tǒng)進(jìn)行整體性分析。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，為使得整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，通過控制系統(tǒng)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)，使其均為負(fù)值，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定在期望點(diǎn)上。為證明該系統(tǒng)的整體有界性是在一定范圍內(nèi)出現(xiàn)的，可以通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，分析其整體有界性。綜上可以看出該拓展Lü系統(tǒng)有著較強(qiáng)的整體性，為其在保密通信等實(shí)際工程中的應(yīng)用提供了更豐富的理論依據(jù)。