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        基于邊值多值決策圖的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估方法

        2021-07-12 09:02:38李煥徐立立杜勝杰張明明志茂
        新型工業(yè)化 2021年3期
        關(guān)鍵詞:邊值組件狀態(tài)

        李煥,徐立立,杜勝杰,張明,明志茂

        (廣州廣電計(jì)量檢測股份有限公司,廣東 廣州 510656)

        0 引言

        隨著現(xiàn)代社會(huì)對產(chǎn)品可靠性要求的提高,很多系統(tǒng)通過增加系統(tǒng)單元備份來提高可靠性水平,如計(jì)算機(jī)服務(wù)器系統(tǒng),通信系統(tǒng),水、氣和電力分配系統(tǒng)。對于這樣的系統(tǒng),當(dāng)一個(gè)單元故障發(fā)生時(shí),系統(tǒng)仍可在可接受的或者降級的狀態(tài)繼續(xù)工作,體現(xiàn)出多性能狀態(tài)特性。因此如何表征系統(tǒng)的多性能狀態(tài)特性逐漸成為可靠性理論研究的重點(diǎn),表征多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性模型也層出不窮。

        針對多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性評估,研究人員已經(jīng)提出了多種多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性建模和評估方法。其中MDD模型是從傳統(tǒng)的二元決策圖(Binary Decision Diagram,BDD)擴(kuò)展而來的解決多狀態(tài)系統(tǒng)的有效方法,已經(jīng)得到了廣泛地研究。但是,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)量較多時(shí),MDD模型的規(guī)模會(huì)急劇增長。針對這種情況有學(xué)者提出了EVMDD模型,該模型能夠降低MDD模型的復(fù)雜度[1]。

        但是目前的EVMDD模型都是由MDD模型轉(zhuǎn)換而來,實(shí)際應(yīng)用中仍然需要先構(gòu)建MDD模型,對于節(jié)點(diǎn)多、狀態(tài)多的系統(tǒng)構(gòu)建MDD模型的過程將特別復(fù)雜,這也限制了EVMDD在實(shí)際工程中的應(yīng)用。本文研究一種直接構(gòu)造EVMDD的方法,不需要先構(gòu)建MDD模型可以直接生成EVMDD模型,對具有節(jié)點(diǎn)數(shù)量多、系統(tǒng)狀態(tài)多的復(fù)雜多狀態(tài)系統(tǒng)分析更加高效。

        1 概述

        最近,人們引入了不同的多狀態(tài)模型來表示各種多狀態(tài)系統(tǒng)的惡化過程,如計(jì)算機(jī)服務(wù)器系統(tǒng)、電信系統(tǒng)、水、氣、配電系統(tǒng)。這些數(shù)學(xué)方法可以分為兩類:基于狀態(tài)空間的方法和組合方法。多值決策圖是結(jié)構(gòu)函數(shù)的一種緊湊表示形式。MDDs作為一種解決多狀態(tài)系統(tǒng)的有效方法,在許多文獻(xiàn)中得到了廣泛的研究。此外,還提出了基于擴(kuò)展形式的MDDs,以減少節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。通過給邊緣賦值,比MDDs具有更緊湊的形式。Nagayama提出了EVMDDs中邊緣數(shù)的最小化算法,用于多狀態(tài)系統(tǒng)的快速分析。通過引入EVMDDs約簡規(guī)則,進(jìn)一步提高了計(jì)算速度[2]。

        本文提供了一種不需要從MDD轉(zhuǎn)換即可直接構(gòu)造EVMDD進(jìn)行多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估的方法。本文的目的和解決的問題是:根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù),直接構(gòu)建多狀態(tài)系統(tǒng)的EVMDD模型,評估系統(tǒng)可靠性。該方法首先分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)建系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù),并以表格形式表示。之后,根據(jù)本文提出的直接構(gòu)造EVMDD的方法,得到多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性評估模型。構(gòu)造EVMDD的核心思想是如何計(jì)算EVMDD邊值,系統(tǒng)的狀態(tài)由從根節(jié)點(diǎn)到終端節(jié)點(diǎn)的邊值之和表示。因此,我們可以使用深度優(yōu)先搜索并假定初始值來獲得完整的EVMDD。當(dāng)完成一條路徑的遍歷時(shí),邊值之和應(yīng)等于系統(tǒng)的狀態(tài)。如果值不相等,則反向更新邊值。最后,利用本文提出的構(gòu)建方法,對于多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行評估。

        2 評估方法

        本文提出的直接構(gòu)造EVMDD的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估方法主要包含以下四個(gè)部分。

        2.1 根據(jù)系統(tǒng)的多性能水平狀態(tài),構(gòu)建系統(tǒng)的多值結(jié)構(gòu)函數(shù)

        構(gòu)造多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)就是構(gòu)造組件狀態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)之間的各種映射。結(jié)構(gòu)函數(shù)可以用表格、解析式或算法表示。本文中為了顯示直觀,用表格表示多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。下面說明結(jié)構(gòu)函數(shù)的具體構(gòu)建步驟:

        步驟1:確定系統(tǒng)、分系統(tǒng)和單元的任務(wù)目標(biāo),分別監(jiān)測系統(tǒng)、分系統(tǒng)和單元的降級過程,并將其具有的明顯功能降級的各個(gè)狀態(tài)用離散的數(shù)值進(jìn)行表示。如一個(gè)包含n個(gè)組件的多狀態(tài)系統(tǒng),向量表示所有n個(gè)系統(tǒng)組件的狀態(tài);系統(tǒng)共有m個(gè)狀態(tài):從系統(tǒng)最佳狀態(tài)(m-1狀態(tài))到系統(tǒng)完全失效(0狀態(tài)),在一些研究中m也被稱作多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性水平。每個(gè)系統(tǒng)組件有m個(gè)狀態(tài)每種狀態(tài)的概率為:

        多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性(狀態(tài))取決于組件狀態(tài)和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù):

        步驟2:若系統(tǒng)、分系統(tǒng)和單元的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)是連續(xù)值,則需要根據(jù)不同的數(shù)據(jù)范圍與步驟1中定義的離散狀態(tài)值建立映射關(guān)系,即用一個(gè)離散的值表示單元性能的某個(gè)區(qū)間值。若系統(tǒng)、分系統(tǒng)和單元的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)本身是離散值,則直接與步驟1中的狀態(tài)值建立一一對應(yīng)關(guān)系即可。這樣就可以得到多組單元、分系統(tǒng)和系統(tǒng)的狀態(tài)組合關(guān)系,將這些組合關(guān)系以表格的形式進(jìn)行表示,表中的每一行表示了一種組合關(guān)系。

        在實(shí)際應(yīng)用中,一個(gè)組件的退化會(huì)影響系統(tǒng)的性能,即使系統(tǒng)不會(huì)立即發(fā)生明顯退化,所以多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以看作一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)。

        2.2 根據(jù)系統(tǒng)的多性能水平狀態(tài),構(gòu)建系統(tǒng)的多值結(jié)構(gòu)函數(shù)

        本文采用深度優(yōu)先和假定初始值的方法來獲得多狀態(tài)系統(tǒng)的EVMDD模型。每條路徑邊值之和就是系統(tǒng)的一種狀態(tài)。判斷得到的邊值是否與結(jié)構(gòu)函數(shù)表中系統(tǒng)狀態(tài)值對應(yīng),如果不對應(yīng)就反向更新邊值,直到等于系統(tǒng)狀態(tài)值[4]。

        首先給出方法構(gòu)建中所應(yīng)用相關(guān)符號(hào)的定義:

        ti是第i個(gè)組件的狀態(tài)空間

        si是ti確定的系統(tǒng)狀態(tài)值,

        ni是ti中的狀態(tài)數(shù)量;

        L是組件狀態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)之間的映射關(guān)系的數(shù)量;

        pi是EVMDD中一條路徑;

        wij是路徑pi的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重值;

        k是一個(gè)臨時(shí)變量;

        i是下標(biāo)變量;

        根據(jù)EVMDDs的特點(diǎn)和多值函數(shù)的定義,可以得出EVMDD的構(gòu)建過程包括以下七個(gè)步驟:

        步驟1:設(shè)初值:令i=1;

        步驟2:當(dāng)i>L時(shí),過程結(jié)束;否則轉(zhuǎn)第三步;

        步驟3:根據(jù)結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造EVMDD的第i條路徑;令k=ni,如果組件狀態(tài)是0,將0賦值給節(jié)點(diǎn)引出邊的邊值;否則賦值為1;

        步驟5:根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)更新路徑pi的邊值。如果第k邊的值是0,轉(zhuǎn)步驟6;否則通過下面的公式驗(yàn)證權(quán)值:然后轉(zhuǎn)步驟7;

        步驟6:令k=k-1,返回步驟5;

        步驟7:判斷節(jié)點(diǎn)的所有的邊是否都構(gòu)造完成,如果已經(jīng)完成,判斷節(jié)點(diǎn)是否已經(jīng)存在。如果節(jié)點(diǎn)已經(jīng)存在,刪除節(jié)點(diǎn)并讓引進(jìn)的邊連接到已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)。然后令i=i+1并返回步驟2。

        2.3 應(yīng)用兩個(gè)簡化規(guī)則減少EVMDD模型節(jié)點(diǎn)的數(shù)量,提高計(jì)算效率

        規(guī)則1:共享子圖

        當(dāng)2個(gè)節(jié)點(diǎn)引出邊的邊值完全對應(yīng)相同,且所有的邊連接到相同的節(jié)點(diǎn)或者對應(yīng)相等的系統(tǒng)狀態(tài)值的情況下,這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)就是完全相同的,可以簡化為一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

        規(guī)則2:刪除滿足以下兩個(gè)條件的非終端節(jié)點(diǎn),并將指向已刪除節(jié)點(diǎn)的邊重新指向節(jié)點(diǎn)V。

        (1)它的引出邊都指向同一個(gè)節(jié)點(diǎn)V;

        (2)所有引出邊的邊值都為0。

        兩個(gè)條件需同時(shí)滿足才可以進(jìn)行刪減節(jié)點(diǎn)。

        2.4 EVMDD模型進(jìn)行多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性評估

        多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性與系統(tǒng)當(dāng)前性能水平有關(guān),多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性計(jì)算使用下面的公式:

        s(t)表示系統(tǒng)當(dāng)前性能水平下的狀態(tài),s(t)表示系統(tǒng)的性能需求。本文中將系統(tǒng)的連續(xù)性能指標(biāo)離散化,與離散的系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行映射。

        3 具體實(shí)施方式

        實(shí)施方式說明:提供了一種基于系統(tǒng)、分系統(tǒng)和單元的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)自動(dòng)學(xué)習(xí)系統(tǒng)可靠性模型和失效參數(shù),并對系統(tǒng)進(jìn)行可靠性進(jìn)行評估的方法,具體實(shí)施方式說明如下。

        3.1 構(gòu)建多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)

        通過對系統(tǒng)每個(gè)單元所包含的不同狀態(tài)進(jìn)行分析,進(jìn)而得到整個(gè)多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。下面結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行說明:

        一個(gè)多狀態(tài)n中取k系統(tǒng),由三臺(tái)熱電聯(lián)產(chǎn)機(jī)組組成的區(qū)域電力和供熱系統(tǒng),可同時(shí)產(chǎn)生電力和熱能,該系統(tǒng)為負(fù)荷提供電能和熱能。在該系統(tǒng)中在該系統(tǒng)中,G1是一個(gè)GPC-180D氣體單元,G2和G3是GPC-70D氣體單元。三個(gè)燃?xì)鈾C(jī)組的額定發(fā)電能力列于表1。

        表1 各單元發(fā)電能力參數(shù)表

        每個(gè)發(fā)電機(jī)組包含三種狀態(tài):0;1;2,三種機(jī)組狀態(tài)對應(yīng)的性能等級及該性能水平發(fā)生概率如下表格2所示:

        表2 G1機(jī)組的三種狀態(tài)的性能參數(shù)及每種狀態(tài)發(fā)生概率

        表3 G2機(jī)組的三種狀態(tài)的性能參數(shù)及每種狀態(tài)發(fā)生概率

        表4 G3機(jī)組三種狀態(tài)的性能參數(shù)及每種狀態(tài)發(fā)生概率

        表5 電力和供熱系統(tǒng)的容量分配

        因此,對應(yīng)多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以由系統(tǒng)中每個(gè)單元的狀態(tài)組合得到,如表6所示:

        表6 熱電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)

        3.2 建系統(tǒng)的EVMDD模型

        本文采用深度優(yōu)先和假定初始值的方法來獲得多狀態(tài)系統(tǒng)的EVMDD模型。通過遍歷每條路徑,得到相應(yīng)的邊值,每條路徑上的邊值之和對應(yīng)多狀態(tài)系統(tǒng)的一種狀態(tài)。判斷路徑的邊值之和是否與結(jié)構(gòu)函數(shù)表中系統(tǒng)狀態(tài)值對應(yīng),如果不對應(yīng)就反向更新邊值,直到等于系統(tǒng)狀態(tài)值就完成當(dāng)前路徑,繼續(xù)下一條路徑[5]。

        ti是第i個(gè)組件的狀態(tài)空間

        si是ti確定的系統(tǒng)狀態(tài)值,

        ni是ti中的狀態(tài)數(shù)量;

        L是組件狀態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)之間的映射關(guān)系的數(shù)量,L=27;

        pi是EVMDD中一條路徑;

        wij是路徑pi的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重值;

        k是一個(gè)臨時(shí)變量;

        i是下標(biāo)變量;

        具體構(gòu)建步驟描述如下:

        步驟1:設(shè)定初值:令i=1;

        步驟2:當(dāng)i>L時(shí),過程結(jié)束;否則轉(zhuǎn)第三步;

        步驟3:根據(jù)結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造EVMDDs的第i條路徑;令k=ni,如果組件狀態(tài)是0,將0賦值給節(jié)點(diǎn)引出邊的邊值;否則賦值為1;

        步驟5:根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)更新路徑pi的邊值。如果第k邊的值是0,轉(zhuǎn)步驟6;否則通過下面的公式驗(yàn)證權(quán)值:然后轉(zhuǎn)步驟7;步驟6:令k=k-1,返回步驟5;

        步驟7:判斷節(jié)點(diǎn)的所有的邊是否都已經(jīng)構(gòu)造完成。若已經(jīng)完成,判斷節(jié)點(diǎn)是否已經(jīng)存在。若節(jié)點(diǎn)已經(jīng)存在,刪除節(jié)點(diǎn)并讓引進(jìn)的邊連接到已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)。然后令i=i+1并返回步驟2。

        3.3 減少節(jié)點(diǎn)數(shù)量、提高算法效率

        依照上述步驟遍歷結(jié)構(gòu)函數(shù)表格中所有向量,構(gòu)建出系統(tǒng)所有路徑,并應(yīng)用兩個(gè)簡化規(guī)則,將相同子圖保留一個(gè),刪除對系統(tǒng)無影響的節(jié)點(diǎn),對EVMDD進(jìn)行簡化,最終得到多狀態(tài)系統(tǒng)的EVMDD結(jié)構(gòu)

        3.4 EVMDD模型進(jìn)行多狀態(tài)的可靠性評估

        根據(jù)n中取k多狀態(tài)系統(tǒng)中每個(gè)機(jī)組的狀態(tài)概率分布(表7),可以得到多狀態(tài)系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的聯(lián)合概率分布,如表7所示:

        表7 多狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)概率分布表

        則該n中取k的多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠度是0.89925

        4 結(jié)語

        本文提出了一種直接從結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造EVMDDs的方法,而不是使用MDDs。對于具有大量系統(tǒng)狀態(tài)的大型多狀態(tài)系統(tǒng),該方法非常方便有效。此外,為了減少時(shí)間開銷,本文還介紹了一種基于EVMDDs的并行分析算法。該算法很容易在當(dāng)前的并行框架或庫中實(shí)現(xiàn)。通過對并行算法和直接算法效率的比較表明,隨著構(gòu)件數(shù)量和系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)的增加,并行算法比直接算法具有更大的優(yōu)勢。

        本文提出的算法沒有考慮變量的階數(shù),因?yàn)殡A數(shù)會(huì)影響EVMDDs的大小。在以后的工作中,我們將研究變量的順序和evmdd的大小之間的關(guān)系。

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