王 威，叢 旭，武佳佳，馬東輝

(北京工業(yè)大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)部，北京 100124)

0 引言

為減少管網(wǎng)失效事件發(fā)生，提高城市供水管網(wǎng)韌性，諸多學(xué)者在對(duì)城市供水管網(wǎng)爆管率，漏點(diǎn)率以及剩余壽命進(jìn)行大量預(yù)測(cè)工作，對(duì)城市安全具有重大意義。

管道破損的影響因素較多，Barton等[1]將其歸納為3大類：管道本身性質(zhì)；環(huán)境因素；運(yùn)行因素。

王圃等[2]將方差—協(xié)方差優(yōu)選組合模型應(yīng)用于對(duì)給水管網(wǎng)年漏損件數(shù)的預(yù)測(cè)并進(jìn)行實(shí)例分析，結(jié)果表明組合模型具有較高的預(yù)測(cè)精度；邱云龍[3]針對(duì)給水管網(wǎng)漏損特點(diǎn)，用方差-協(xié)方差優(yōu)選組合模型將灰色GM(1,1)模型、二次指數(shù)平滑模型、自回歸移動(dòng)平均模型應(yīng)用于漏損頻率的預(yù)測(cè)，提高單個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度；王麗娟等[4]在此基礎(chǔ)上結(jié)合漏點(diǎn)數(shù)的季節(jié)性周期特點(diǎn)，建立基于差分自回歸移動(dòng)平均模型的管網(wǎng)漏損預(yù)測(cè)模型。

基于管道自身性質(zhì)的漏損模型預(yù)測(cè)方面，Kang等[5]根據(jù)GRA的主要程序，對(duì)城市供水管網(wǎng)基本滲漏數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果反映與滲漏有較大關(guān)系的前3個(gè)因素為管徑、管道壓力以及深度；包涵等[6]同樣利用灰色模型對(duì)管道漏損率進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出使用等維灰色模型相比傳統(tǒng)灰色模型和無(wú)偏灰色模型進(jìn)行供水管網(wǎng)漏損率預(yù)測(cè)效果更好；王志紅等[7]針對(duì)城市管網(wǎng)漏損率數(shù)據(jù)的非線性和隨機(jī)波動(dòng)性特點(diǎn)，建立以馬爾可夫鏈修正灰色GM(1,1)的預(yù)測(cè)模型，比較分析灰色和灰色馬可夫鏈預(yù)測(cè)結(jié)果，指出經(jīng)馬爾可夫鏈修正后的模型預(yù)測(cè)精度更高。

除了以上幾種預(yù)測(cè)方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者還從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論出發(fā)在管道漏損率的預(yù)測(cè)中進(jìn)行應(yīng)用分析。Dongwoo等[8]采用主成分分析(PCA)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)用于估計(jì)配水管網(wǎng)中的漏水量，并通過(guò)Z評(píng)分法獲得標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)并證明PCA-ANN方法比單個(gè)ANN模擬更準(zhǔn)確地估計(jì)泄漏率；邵圓媛[9]在常規(guī)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上，結(jié)合平行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和最小均方誤差識(shí)別模式，構(gòu)建單因素的嵌套GMS神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用來(lái)進(jìn)行管網(wǎng)的漏損預(yù)測(cè)；汪健[10]在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)小波變化的研究，建立小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)供水管網(wǎng)的壓力及管道進(jìn)行預(yù)測(cè)研究。

綜上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者目前針對(duì)供水管網(wǎng)漏損方面均進(jìn)行了卓有成效的研究，但是在相關(guān)討論過(guò)程中，目前關(guān)于管網(wǎng)漏損率的研究方法大多數(shù)停留在靜態(tài)分析階段，劉曉然等[11]應(yīng)用動(dòng)態(tài)分級(jí)方法對(duì)管網(wǎng)漏損分類分級(jí)控制，但并無(wú)預(yù)測(cè)由于時(shí)變因素對(duì)管網(wǎng)漏損率的影響，所以本文在Lee-Carter模型[12]的基礎(chǔ)上結(jié)合曾燕等[13]選用的Bootstrap方法，充分考慮Lee-Carter模型所有參數(shù)的變動(dòng)性，對(duì)昆明市某供水管網(wǎng)的漏點(diǎn)率進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，以便彌補(bǔ)靜態(tài)分析模型的不足。

1 供水片區(qū)管網(wǎng)概況

基于前期調(diào)研資料[14]，截止到2016年，昆明市某片區(qū)供水管網(wǎng)約413 km，2016年平均日供水量約1.46×104m3，供水面積約106 km2，并供約36.2萬(wàn)人口使用。不同管徑和管材管道占比統(tǒng)計(jì)如表1所示，不同管材管道占比統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表1 不同管徑管道統(tǒng)計(jì)情況

表2 不同管材管道統(tǒng)計(jì)情況

2 Lee-Carter模型動(dòng)態(tài)分析及其參數(shù)估計(jì)

2.1 模型簡(jiǎn)介

以供水管網(wǎng)的管齡時(shí)間作為影響管道漏點(diǎn)率的主要影響因素，Lee-Carter模型如式(1)所示:

lnmx,t=ax+bxkt+εx,t

(1)

式中：mx,t為t年管徑/管材為x的管道漏點(diǎn)率；kt為依賴于時(shí)間t的參數(shù)；ax為依賴于管徑/管材的參數(shù)；bx為各管徑/管材漏點(diǎn)率對(duì)kt的敏感度；εx,t為誤差項(xiàng)。

(2)

式中：c為任意常數(shù)。

對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行歸一化處理，如式(3)所示：

(3)

式中：t為年份；T為年份總數(shù)；x為管徑或管材。

Lee-Carter模型預(yù)測(cè)供水管網(wǎng)漏損預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)步驟：1)通過(guò)往年漏點(diǎn)率數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)ax，bx，kt；2)通過(guò)ARIMA方法得到kt在未來(lái)的預(yù)測(cè)值；3)將kt及ax,bx代入模型，以獲得漏點(diǎn)率的預(yù)測(cè)值。

2.2 參數(shù)估計(jì)

1)最小二乘法(OLS)

基于Lee-Carter模型的假設(shè)，如式(4)所示：

(4)

將式(1)兩邊對(duì)管徑/管材x進(jìn)行求和，如式(5)所示：

(5)

(6)

2)加權(quán)最小二乘法(WLS)

(7)

式中：dx,t為管道漏點(diǎn)數(shù)。

2.3 數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果

采用OLS和WLS對(duì)該片區(qū)供水管網(wǎng)數(shù)據(jù)分析，可得不同管徑管道的Lee-Carter模型參數(shù)的估計(jì)值，如圖1所示。不同管材管道的Lee-Carter模型參數(shù)的估計(jì)值如圖2所示。kt值整體上變化幅度較??；ax代表管道的中心漏點(diǎn)率，隨著管徑增大漏點(diǎn)率減?。粡腷x的波動(dòng)可以看出，小管徑管道對(duì)時(shí)間因子的敏感度較低，大管徑管道對(duì)時(shí)間更為敏感。

圖1 不同管徑管道經(jīng)典模型的參數(shù)估計(jì)值

針對(duì)球墨鑄鐵管(DIP)、灰口鑄鐵管(GCIP)、鋼管(SP)、PE管(PEP)和水泥管(CP)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)，由圖2可知，2種估計(jì)方法得到的管材kt值整體上變化幅度比較小；ax的參數(shù)值反映出，DIP的管道漏點(diǎn)率較低，其余5種管材類型的管道均具有較高的漏點(diǎn)率；DIP，PEP和CP受時(shí)間因子影響較小，而GCIP和SP受時(shí)間因子影響較大。

圖2 不同管材管道經(jīng)典模型的參數(shù)估計(jì)值

在2種參數(shù)估計(jì)方法中，OLS假設(shè)殘差獨(dú)立同分布；WLS假設(shè)殘差獨(dú)立，但方差與管道漏點(diǎn)數(shù)有關(guān)。為檢驗(yàn)2種方法的殘差是否滿足各自的殘差假設(shè)，可根據(jù)參數(shù)估計(jì)時(shí)做的分布假設(shè)對(duì)2種方法殘差進(jìn)行修正。若殘差的分布假設(shè)成立，則修正后的殘差應(yīng)具有明顯的獨(dú)立同分布性。因此修正后殘差的獨(dú)立同分布性質(zhì)可用來(lái)判別這2種估計(jì)方法的優(yōu)劣。

根據(jù)式(1)可知，OLS估計(jì)的殘差假設(shè)為獨(dú)立同分布，因此不用對(duì)殘差進(jìn)行修正，如式(8)所示：

(8)

WLS的殘差平方以管道漏點(diǎn)數(shù)作為權(quán)重，因此定義其修正后的殘差，如式(9)所示：

(9)

利用MATLAB編程，可得到不同管徑管道的殘差等高線圖如圖3所示，不同管材管道的殘差等高線圖如圖4所示。從圖3中管徑的殘差等高線圖中可以看出OLS和WLS均具有一定的聚集特性，而圖4中管材的殘差等高線圖都表現(xiàn)出了較好的隨機(jī)性。本文采用Levene方差齊性檢驗(yàn)方法[15]對(duì)其進(jìn)行分析，結(jié)果如表3所示。

圖3 不同管徑管道的2種參數(shù)估計(jì)方法的殘差等高線

圖4 不同管材管道的2種參數(shù)估計(jì)方法的殘差等高線

基于Levene檢驗(yàn)的參數(shù)值如表3所示。可知，無(wú)論按照管徑類別或管材類別，還是按照年齡，F(xiàn)>P，即第1列都大于最后1列，說(shuō)明接收H0，不接受H1，不同方差齊性，各個(gè)樣本方差不相同?？紤]時(shí)間因子，WLS的p值更大，結(jié)合殘差等高線圖，綜合考慮WLS作為參數(shù)的估計(jì)方法更優(yōu)。

表3 基于Levene檢驗(yàn)參數(shù)值

3 經(jīng)典Lee-Carter模型預(yù)測(cè)管道漏點(diǎn)率

圖5 2017年不同管徑管道漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值置信區(qū)間

圖6 2017年不同管材漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值置信區(qū)間

由圖5和圖6可知，供水管道漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間并不太準(zhǔn)確，原因在于傳統(tǒng)的Lee-Carter模型沒(méi)有考慮其他2個(gè)參數(shù)ax，bx的變動(dòng)性。而Lee-Carter模型不能通過(guò)傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，其參數(shù)的分布不能由已知的分布函數(shù)進(jìn)行描述，因此可結(jié)合Bootstrap方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并計(jì)算參數(shù)及漏點(diǎn)率的置信區(qū)間。

4 結(jié)合Bootstrap方法預(yù)測(cè)漏點(diǎn)率

以傳統(tǒng)Lee-Carter模型作為漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)模型，基于Bootstrap方法計(jì)算參數(shù)置信區(qū)間的穩(wěn)健性，同時(shí)在考慮所有參數(shù)變動(dòng)性的基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)未來(lái)漏點(diǎn)率的置信區(qū)間。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下[13]：

(10)

圖7 2017年不同管徑管道Bootstrap漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值置信區(qū)間

圖8 2017年不同管材管道Bootstrap漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值置信區(qū)間

將2017年不同管徑以及不同管材的管道Bootstrap預(yù)測(cè)的漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)與實(shí)際的漏點(diǎn)率進(jìn)行對(duì)比，誤差統(tǒng)計(jì)如表4所示。

由表4可知，DN800的管道的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間誤差較大，其余管徑類型誤差較小，這是由于大管徑管道實(shí)際漏點(diǎn)率較低，計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)作為分母較小，導(dǎo)致誤差增大，但就漏點(diǎn)率本身而言，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值接近。對(duì)于不同管材的管道，計(jì)算結(jié)果顯示其他管材類型的管道誤差稍高，主要考慮到種類較多，因而漏點(diǎn)數(shù)的累積值較大，但預(yù)測(cè)值與實(shí)際值接近。

表4 2017年的Bootstrap漏點(diǎn)率預(yù)測(cè)值誤差統(tǒng)計(jì)

綜上，結(jié)合Bootstrap方法的Lee-Carter模型預(yù)測(cè)管道漏點(diǎn)率在精度上有較大提高，擬合效果貼近實(shí)際情況。

5 結(jié)論

1)基于Lee-Carter模型對(duì)昆明市某供水片區(qū)的管道漏點(diǎn)率進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，分析得到加權(quán)最小二乘法的殘差具有較好的獨(dú)立同分布性質(zhì)。結(jié)果表明，利用Bootstrap方法預(yù)測(cè)的管道漏點(diǎn)率置信區(qū)間能夠包含真實(shí)的漏點(diǎn)率，具有較高的精度。

2)從分析結(jié)果可以得到影響管道剩余壽命的2個(gè)危險(xiǎn)因子——管齡和管徑：管道的年限越長(zhǎng)，管徑越小，管道剩余壽命愈短，即管道的漏損率越高。在城市供水管網(wǎng)系統(tǒng)中，為避免爆管事故的頻繁發(fā)生，需要采取針對(duì)性措施降低管道的滲漏風(fēng)險(xiǎn)，延長(zhǎng)管道經(jīng)濟(jì)剩余壽命。