陸恬依

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們生活水平的提高，人們開始擁有越來越多的資金用于投資，由此衍生出種種不同的期權(quán)定價(jià)模型.朱盛等[1]通過對金融市場的上大量實(shí)證分析證實(shí)了股票價(jià)格會受到過去價(jià)格的影響，利用偏微分方程得到了幾何布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解.董盈盈等[2]在假定股票價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的條件下，得到了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià).張學(xué)蓮等[3]在上述模型的基礎(chǔ)上，給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià)模型及公式.現(xiàn)在已經(jīng)有更多的學(xué)者參與到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的應(yīng)用研究中來，研究了不同種類的期權(quán)定價(jià)問題[4-11].考慮到在實(shí)際金融市場上無風(fēng)險(xiǎn)利率、股票波動率等變量是隨著時(shí)間變化的隨機(jī)變量，1973年美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Black和Scholes通過假設(shè)股價(jià)概率服從正態(tài)分布，并假設(shè)其股價(jià)的走勢服從馬爾可夫鏈，利用隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)模型，從而得到了微分方程的解[12].同年，Merton和Scholes在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》上提出假定無風(fēng)險(xiǎn)利率并非常數(shù)[13]，而是隨著時(shí)間變化的隨機(jī)變量，從而建立了期權(quán)定價(jià)模型，減少了原有B-S模型的假設(shè)條件，使其更符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)情況.宋瑞麗[14]、王偉[15]將現(xiàn)有的(雙)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型置于馬爾可夫調(diào)制下，利用無套利定價(jià)的方法，分別計(jì)算出具有固定敲定價(jià)格的亞式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式.劉雪汝[16]研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)式由兩因素馬爾可夫調(diào)制的隨機(jī)波動過程和兩因素馬爾可夫跳擴(kuò)散隨機(jī)波動過程驅(qū)動，對歐式期權(quán)和美式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)估計(jì),并求出了美式看跌期權(quán)關(guān)于歐式看跌期權(quán)和早期執(zhí)行溢價(jià)的分解結(jié)果[17].目前，有關(guān)重置期權(quán)的定價(jià)方式有很多種，比如鞅方法、偏微分方程方法、蒙特卡洛方法、保險(xiǎn)精算方法[18]等，其中保險(xiǎn)精算方法[19]由Mogens Bladt于1998年首次提出，以范圍廣、操作便捷著稱.

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，建立馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型，運(yùn)用連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈來描述不同經(jīng)濟(jì)周期中的不同狀態(tài)，再利用保險(xiǎn)精算方法得到符合實(shí)際金融市場的定價(jià)公式.將重置期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)一步推廣.

1 模型假設(shè)

在金融市場中，市場的利率變化、股票平均回報(bào)率和股票的波動率隨時(shí)發(fā)生變化，因此，其時(shí)間狀態(tài)可以由連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈{Xt}描述，狀態(tài)空間可表示為X：=(X1,X2,…,XN)，那么{Xt}t∈Γ只取有限個值(e1,e2,…,eN)，其中ei=(0,…,1,…,0)∈R，其中市場利率r(t)，股票平均回報(bào)率μ(t)和股票波動率σ(t)可分別表示為

r(t)=,r=(r1,r2,…,rN)∈RN，

μ(t)=<μ,Xt>,μ=(μ1,μ2,…,μN(yùn))∈RN，

σ(t)=<σ,Xt>,σ=(σ1,σ2,…,σN)∈RN.

且〈·,·〉表示內(nèi)積，內(nèi)積的值會因馬爾可夫鏈{Xt}t∈Γ狀態(tài)變化而變化.

假設(shè)股票價(jià)格{St,t≥0}滿足方程

(1)

引理1[3]隨機(jī)微分方程(1)的解為

對于任意的隨機(jī)方程，由于r(t)=,μ(t)=<μ,Xt>,σ(t)=<σ,Xt>均為隨機(jī)變量，則可定義在時(shí)間t∈(0,T)，可得

(2)

定義2 股票價(jià)格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率為β(u),u∈[t,T]定義為

引理2 股票價(jià)格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率為

β(s)=μ(s),s∈[t,T].

證明由引理1可知

則

故

定義3 用保險(xiǎn)精算方法將c(Y,T)，p(Y,T)定義為看作是看漲期權(quán)與看跌期權(quán)在t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)值，其中Y為執(zhí)行價(jià)格，T為到期日，表示如下：

2 馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià)

定理1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下，到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為Y的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的保險(xiǎn)精算定價(jià)為

其中N(·)為一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

證明因?yàn)?/p>

和

又因?yàn)?/p>

β(s)=μ(s),s∈[t,T].

記

經(jīng)化簡得

由于

則

故

1)當(dāng)0≤T1≤t時(shí)，即t∈[T1,T]時(shí)，C(t,T1,T)=C(t,T,Y)IST1≥Y+C(t,T,ST1)IST1≤Y；

2)當(dāng)t≤T1≤T，即t∈[0,T1]時(shí)，

證明1)當(dāng)0≤T1≤t時(shí)，即t∈[T1,T]時(shí)，由歐式期權(quán)的定價(jià)公式易得結(jié)論;2)當(dāng)t≤T1≤T，即t∈[0,T1]時(shí)，先假設(shè)

則

I1-I2+I3-I4.

先計(jì)算I1,由于

經(jīng)化簡得

則

再計(jì)算I2

然后計(jì)算I3.由于

經(jīng)化簡得

則

通過等量代換,得

代入上述積分得

最后計(jì)算I4

合并上述計(jì)算式可得定理2.

注1 1)當(dāng)K=1時(shí)，可得馬爾可夫調(diào)制的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià)公式；2)當(dāng)T1=T時(shí)，可得馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)公式.

推論1 馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)公式：

(a)當(dāng)t∈[T1,T]時(shí)，P(t,T1,T)=P(t,T,Y)IST1≤Y+P(t,T,ST1)IST1>Y；

(b)當(dāng)t∈[0,T1]時(shí)，

3 數(shù)值算例

為便于分析引入連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈對雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下重置期權(quán)的影響，選取雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式重置看漲期權(quán)為例，假設(shè)存在一只股票S1，在t=0時(shí)刻S1(0)=35，指數(shù)H=0.55，K=0.65，并假設(shè)金融市場的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)只有兩個狀態(tài)e1、e2，當(dāng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于e1時(shí)，市場利率r1=0.04，股票波動率σ1=0.4；當(dāng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于e2時(shí)，市場利率r2=0.03，股票波動率σ2=0.3，同時(shí)，假定馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

假設(shè)t=0時(shí)，初始狀態(tài)為e1，執(zhí)行價(jià)格K為45到65，步長為5，借助Matlab蒙特卡洛模擬10 000次，分別得到以下雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型環(huán)境下歐式看漲重置期權(quán)價(jià)格和馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式看漲重置期權(quán)價(jià)格.

注2C1表示雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式重置看漲期權(quán)價(jià)格；C2表示馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式看漲重置期權(quán)價(jià)格.

由表1和圖1可知雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下得到的期權(quán)價(jià)格比馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下得到的期權(quán)價(jià)格大.由此可見，如果在實(shí)際金融市場中不考慮狀態(tài)會發(fā)生變化這一現(xiàn)實(shí)情況，將會嚴(yán)重高估期權(quán)的價(jià)格.

表1 兩種不同模型下歐式看漲重置期權(quán)數(shù)值結(jié)果

圖1 兩種不同模型下歐式看漲重置期權(quán)數(shù)值結(jié)果比較

4 結(jié)論