路世偉， 周傳波， 劉洪宇， 吉 凌

(1.長江大學城市建設學院， 荊州 434023； 2.中國地質(zhì)大學工程學院， 武漢 430074)

對于彈性波的散射及動應力集中等問題研究長久來一直受到各個領域都受到很多學者的關注，關于含孔洞的均勻各向同性半空間介質(zhì)中彈性波的傳播和散射，中外學者已經(jīng)做了大量的研究。Lee等[1-2]基于Fourier-Bessel展開和多極坐標研究了不同深度的圓柱腔對平面P波和SV波的散射和衍射。文獻[3-5]采用復變函數(shù)方法研究了無限域內(nèi)各向異性彈性介質(zhì)中圓孔和各向異性凹陷地形對SH 波的散射問題；李彤等[6]采用復變函數(shù)法研究了含有圓形孔洞的半圓形凸起地形對SH波的散射問題；陳志剛[7]研究了穩(wěn)態(tài)水平剪切(SH)波作用下含有圓柱形孔洞的各向異性彈性半空間的動力響應問題，探討介質(zhì)的各向異性對孔附近動應力的影響規(guī)律；付佳等[8]研究了平面SH波作用下土-隧道相互作用；王進[9]分析了SH波的入射角度不同，介質(zhì)特性不同以及入射波波數(shù)不同，圓柱形夾雜埋深不同時對于圓柱形夾雜周邊的動應力集系數(shù)以及地表位移的影響。

汪勇[10]依據(jù)Hudson模型假設,討論了P波在HTI(horizontal transverse isotropy)介質(zhì)中的衰減特征。姜寬等[11]研究了夾層物理性質(zhì)非均勻分布對塊系巖體擺型波傳播規(guī)律的影響,分析同一區(qū)域夾層黏彈性特性變化對不同區(qū)域塊體動力響應的影響,以及不同區(qū)域夾層黏彈性特性變化對同一塊體動力響應的影響。張克非等[12]將廣泛應用的各向同性模型(Kuster-Toks?z理論，自相容近似理論，Xu-White模型)和構建的頁巖的各向異性巖石物理模型應用于實際頁巖工區(qū)的巖心和測井數(shù)據(jù)的速度估算。

探討半無限空間中彈性波與淺埋隧洞的相互作用能夠更好地模擬和解釋淺埋隧道在地震波作用下的動力響應情況。采用復變函數(shù)和多極坐標方法，在彈性半空間中構造了平面SH波作用下能夠滿足水平表面應力自由的淺埋隧洞的散射波函數(shù)，獲得半無限空間中隧洞附近動應力集中系數(shù)的解析解，分析了平面SH波作用下隧洞動力響應特性隨入射波頻率、入射角度以及隧洞埋深的變化規(guī)律。

1 隧洞與SH波的動力相互作用分析

1.1 簡化模型

假設一條圓形隧洞軸線與O1重合，半徑為a，洞軸線與地表之間的距離為h，分別在隧洞軸線O1和隧洞正上方地表O處建立坐標系O1x1y1與Oxy，如圖1所示。假定入射SH波為平面波，其偏振方向與隧洞軸線方向平行，則隧洞與SH波的動力相互作用可簡化為一單純的反平面問題，入射方向與水平線夾角為θ0，那么入射SH波的位移函數(shù)可表示為[13-14]

圖1 平面SH波與淺埋圓形隧洞的動力相互作用模型Fig.1 Interaction between a SH-wave and a shallow-buried tunnel

(1)

當入射SH波到達地表時，會產(chǎn)生反射SH波，由地表自由條件可得反射SH波的位移函數(shù)為

(2)

通常，當SH波到達隧洞時，會產(chǎn)生向外傳播的散射SH波W(f)。由鏡像法可知，W(f)可以表示為[略去時間因子exp(-iωt)]

(3)

為求入射波、反射波、散射波疊加后的位移函數(shù)，必須將O1x1y1坐標系中的散射波位移函數(shù)轉(zhuǎn)換到Oxy坐標系下轉(zhuǎn)換公式為

(4)

令W=W(i)+W(r)+W(f)，則總的波場可以表示為

(5)

1.2 邊界條件

地表的邊界條件可以表示為

τyz=0，y1=h

(6)

式(6)中：τyz為地表剪應力。

隧洞的邊界條件可以表示為

τrz=0， |z1|=a

(7)

式(7)中：τrz為隧洞邊界上的剪應力。

SH波的位移和應力可表示為

(8)

將式(5)代入式(8)中即可求得Bn。

2 分析及討論

為方便分析和得到一般性的結論，定義無量綱動應力集中系數(shù)(dynamics stress concentration factor,DSCF)和無量綱埋深h*為

DSCF=|τθz/τ0|

(9)

h*=h/a

(10)

式中：τ0=ikμ。

為分析低頻和高頻SH波作用下隧洞的動力響應特性，分別選擇無量綱波數(shù)(ka)為0.1、0.5、1、2和無量綱埋深(h*)為2、5、10時的工況進行分析。不同ka和不同h*情況下的DSCF沿洞周的分布如圖2～圖4所示。

圖2 h*=2時DSCF沿洞周分布情況Fig.2 Distribution of DSCF around the tunnel perimeter when h*=2

圖3 h*=5時DSCF沿洞周分布情況Fig.3 Distribution of DSCF around the tunnel perimeter whenh*=5

圖4 h*=10時DSCF沿洞周分布情況Fig.4 Distribution of DSCF around the tunnel perimeter whenh*=10

由圖2～圖4分析可得，波數(shù)越小(即入射波頻率越低、波長越長)，動應力集中系數(shù)DSCF在不同埋深下分布曲線關于入射角(θ0)的對稱分布越明顯，不同入射角度下動應力集中系數(shù)最大值相差不大；波數(shù)越大，DSCF在不同埋深分布差異較大。因此，低頻波入射時隧洞埋深對動應力集中系數(shù)分布影響不大，但高頻波入射時影響明顯。

當SH波水平入射(θ0=0)時，隧洞埋深較淺時(h*=2)靠近地表一側的DSCF高于另一側，這是由于孔洞靠近水平表面，孔洞所產(chǎn)生的散射波場與水平表面之間存在強烈的相互作用，使得孔邊動應力顯著增大；隨著埋深增加(h*=5、h*=10)，DSCF的分布曲線上下對稱，即當h*>5時，水平表面對水平向低頻入射波影響不大。當SH波(θ0=π/2)垂直于水平表面時，隧洞邊動應力集中系數(shù)隨角度θ的分布曲線左右對稱。當SH波傾斜入射時(θ0=π/6、π/3)，隧洞洞周DSCF分布曲線較復雜。

為分析不同角度入射波作用下隧洞的動力響應特性，分別選擇θ0=0、π/6、π/3、π/2工況進行分析。圖5為不同角度入射波作用下隧洞洞周最大DSCF譜分布情況。

由圖5可知，不同入射角度情況下，最大DSCF譜分布并不相同，且分布較為復雜。當θ0>0時，最大DSCF略大于3，遠大于深埋隧道的2.3，因而地表的邊界效應對隧洞在穩(wěn)態(tài)平面SH波作用下的動力響應的影響不可忽略。

當θ0=0時，高頻段隧洞動應力系數(shù)整體小于低頻段隧洞動應力系數(shù)，隨著隧洞埋深增加，這種差異逐漸減小，隧洞動應力系數(shù)最大值出現(xiàn)在低頻段(ka=0～0.5)且隧洞埋深較淺(h為2a～4a)范圍內(nèi)。此外，當波數(shù)ka<0.5且隧洞埋深h>4a時，最大DSCF分布較均勻，此時可將隧洞當成深埋隧洞分析入射波對隧洞的動力作用；但當波數(shù)ka>0.5時，隧洞淺埋和深埋的界限并不明顯。當θ0>0時，隨著入射角θ0逐漸增大，最大DSCF分布越來越復雜，最大值從低頻段(ka<1)逐漸轉(zhuǎn)移到高頻段(ka>1)，隧洞淺埋和深埋的界限并不明顯。

3 結論

(1)低頻波入射時隧洞埋深和入射角度對動應力集中系數(shù)分布影響不大，但高頻波入射時影響較為明顯。

(2)隨著入射角θ0逐漸增大，隧洞動應力系數(shù)分布越來越復雜，最大值從低頻段(ka<1)逐漸轉(zhuǎn)移到高頻段(ka>1)。

(3)當θ0>0時，最大DSCF略大于3，遠大于深埋隧道的2.3，因而地表邊界的存在會顯著加強隧洞的動應力集中現(xiàn)象，這在隧道設計是必須要考慮的。

(4)對于水平入射，當波數(shù)ka<0.5且隧洞埋深h*>4時，隧洞洞周動應力系數(shù)分布較均勻，此時可將隧洞當成深埋隧洞分析入射波對隧洞的動力作用。