蔡雪霽，傅 強，李金銅，李 瀟，孟子龍，李時章

(1.三明學(xué)院 建筑工程學(xué)院，福建 三明 365004；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；3.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

樁基礎(chǔ)是工程中常用的基礎(chǔ)形式之一，考慮巖土工程中存在著各種不確定性的影響[1]，諸多學(xué)者對單樁承載力可靠度計算與分析做了相關(guān)的研究，并取得了豐碩的研究成果。文獻[2]用Bayes更新減少參數(shù)主觀不確定性的影響，再結(jié)合一次二階矩法(FOSM)來計算單樁承載力可靠度。文獻[3]采用不求導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化法來計算鐵路橋梁鉆孔灌注樁承載力可靠度。文獻[4]收集部分試樁資料，分別采用FOSM和蒙特卡洛模擬法(MCS)來計算與分析單樁承載力的可靠度。文獻[5]提出采用高次響應(yīng)面函數(shù)結(jié)合FOSM的響應(yīng)面法(RSM)對隱式功能函數(shù)的傾斜荷載樁進行了可靠度計算與分析。文獻[6]以全概率理論為基礎(chǔ)結(jié)合FOSM來計算與分析樁底沉渣對單樁承載力可靠度的影響。文獻[7]重新定義了失效準(zhǔn)則偏差系數(shù)，并用FOSM計算與分析了不同失效準(zhǔn)則下單樁承載力可靠度。文獻[8]基于數(shù)統(tǒng)極差理論來估算靜載試驗數(shù)據(jù)較少時總體樣本的均值與方差，利用FOSM給出了樁基承載力服從對數(shù)正態(tài)分布的可靠度計算方法；同時將極差理論與Bayes結(jié)合給出了樁基承載力Bayes估計的計算公式。文獻[9]提出基于最大熵原理來計算樁基承載力可靠度方法，同時基于Bayes統(tǒng)計給出了考慮不確定性的樁基承載力可靠度分析方法，最后還提出一種改進的樁基承載力可靠度優(yōu)化方法。文獻[10]用FOSM來分析了國內(nèi)外不同樁基承載力設(shè)計方法對可靠度結(jié)果的影響。文獻[11]提出Bayes理論結(jié)合MCS的樁基可靠度計算與分析方法。文獻[12]分別采用FOSM和MCS對工程中壓漿前后鉆孔灌注樁承載力可靠度進行了對比分析。文獻[13]提出了MCS與隨機場理論相結(jié)合的考慮土性參數(shù)空間變異性的樁基承載力可靠度計算與分析方法。

針對FOSM、RSM計算過程中需要求偏導(dǎo)、尋找驗算點、計算過程統(tǒng)計概念不明確且遇到復(fù)雜工況容易導(dǎo)致迭代次數(shù)較多或不收斂，MCS計算量大成本高的不足，因此，選擇一種計算相對簡便且統(tǒng)計概念清晰同時在保證精度前提下計算效率高的單樁承載力可靠度計算與分析方法具有一定價值和意義。

為此，本文發(fā)展了基于高階矩法的單樁承載力可靠度研究：本文第一部分建立了單樁承載力的功能函數(shù)；第二部分給出了高階矩法計算單樁承載力可靠度及功能函數(shù)分布的表達式；第三部分以實際工程中四根不同長徑比的樁基作為算例，采用高階矩法對樁基承載力可靠度進行了計算，同時將高階矩法計算得到的結(jié)果與MCS及FOSM計算結(jié)果進行了對比分析，最后采用樁基承載力功能函數(shù)的前三階矩對各樁承載力功能函數(shù)的分布函數(shù)進行了模擬；第四部分是本文的結(jié)論部分。

1 單樁承載力功能函數(shù)

假定單樁極限承載力為R，樁頂總荷載效應(yīng)為S。由于各種不確定性的存在，R，S是一組隨機向量。根據(jù)可靠性的定義，當(dāng)樁基處于失效狀態(tài)時，單樁承載力功能函數(shù)可表述為

Z=G(R，S)<0，

(1)

式中R一般取決于地基土對樁的支承能力；S為上部結(jié)構(gòu)傳遞到樁頂?shù)暮奢dFk和樁基承臺及其上覆土自重Gk兩部分之和，不考慮偏心作用時，單樁承載力失效功能函數(shù)可寫成

G(X)=R-(Fk+Gk)<0.

(2)

1.1 單樁極限承載力

單樁極限承載力R工程上有很多近似的估算方法[14]，其中用靜載荷實驗來評估R最為直觀可靠，但靜載荷試驗數(shù)據(jù)離散性較大且試樁樣本少(一般地基條件下試樁數(shù)量不宜少于總數(shù)的1%)導(dǎo)致誤差大，而且造價較高。本文在研究單樁豎向承載力可靠性時，R可按規(guī)范中經(jīng)驗參數(shù)法[14]進行估算：

(3)

式中qsi=(qs1，…，qsn)T，qs1，…，qsn為樁周第i層土的單位極限側(cè)阻力標(biāo)準(zhǔn)值(kPa)；qp為樁端土的單位極限端阻力標(biāo)準(zhǔn)值(kPa)；di為第i層土中的成孔直徑(mm)；Δli為第i層土中樁身長度(m)；Ap為樁底面積(mm2)。由于采用經(jīng)驗參數(shù)法對qsi，qp進行估算，因此qsi，qp的隨機不確定性遠比di，li，Ap的幾何不確定性大；為簡化計算與分析，本文將qsi，qp看成隨機變量，di，Δli，Ap看成確定值。

1.2 樁頂作用效應(yīng)

對于一般受水平力較小的建筑物，樁頂在荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合軸心豎向力作用下，樁頂豎向荷載作用效應(yīng)S[14]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=SG+SQ+Gk，

(4)

式中Fk為荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合下作用于承臺頂面的豎向力，它可寫成樁頂豎向恒載效應(yīng)SG(kN)和樁頂豎向活載效應(yīng)SQ(kN)兩部分之和；Gk為樁基承臺與承臺上土自重標(biāo)準(zhǔn)值。Fk與Gk也可通過下面式子進行近似計算[15-16]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=nβAigi+γTc，

(5)

式中n為樓層層數(shù)；β為軸壓力增大系數(shù)；Ai為第i層豎向構(gòu)件負載面積(m2)；gi為折算在第i層單位建筑面積上的重力荷載代表值(kN/m2)，可根據(jù)實際荷載計算，也可按框架結(jié)構(gòu)取12～14，框剪結(jié)構(gòu)取14～16，剪力墻筒體取15～18；γT為樁基承臺及其上覆土自重的加權(quán)平均重度(kN/m3)；c為承臺與其上覆土的共同體積(m3)。為簡化分析，本文僅將Fk與Gk當(dāng)做隨機變量。

2 單樁承載力可靠度分析的高階矩法

單樁承載力功能函數(shù)G(X)各階矩可表示為[17]

(6)

(7)

(8)

式中μG是G(X)的均值，是G(X)分布的位置參數(shù)；σG是G(X)的方差，為G(X)分布的刻度參數(shù)；αkG為G(X)的k階中心矩，如當(dāng)k=3時，α3G表示偏度系數(shù)，反映G(X)偏離對稱性參數(shù)；f(X)為隨機向量X的聯(lián)合概率密函數(shù)。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間點估計

用n表示隨機變量個數(shù)，m表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的m點估計，用式(6)～(8)計算G(X)的前三階矩，需要進行mn次計算。為降低計算量，文獻[18-19]將單樁承載力功能函數(shù)在均值點處泰勒展開并忽略交叉項，此時計算量降低到mn-1次，此時單樁承載力功能函數(shù)G(X)可簡化成一系列一維函數(shù)之和[18]。

(9)

其中：

G(μ)=G(μ1，…，μn)，

(10)

Gi=G[μ1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn]，

(11)

式中G(μ)是常數(shù)，對應(yīng)所有變量取其均值；Gi表示功能函數(shù)G(X)中第i個元素為隨機變量，其他隨機變量用自身均值μi代入；T-1(ui)表示逆正態(tài)變換，即將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間坐標(biāo)系中估計點ui變到原空間T-1(ui)=Xi，不難看出，式(9)將多變量的功能函數(shù)簡化為一系列單變量函數(shù)之和。

此時G(X)的前三階矩可表示為[18]

(12)

(13)

(14)

式中μG，σG，α3G為G(X)的前三階矩；μGi，σGi，α3Gi為G(X)中只含單個隨機變量函數(shù)的前三階矩，用點估計計算，公式如下：

(15)

(16)

(17)

式中ui，k表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間第i個隨機變量的k點估計，pk表示其對應(yīng)權(quán)重，按下式計算[18]

(18)

式中xk和wk是Hermite積分多項式中權(quán)函數(shù)exp(-x2)的橫坐標(biāo)和權(quán)重，表1列出7點估計結(jié)果。

表1 7點估計對應(yīng)的估計點與權(quán)重

2.2 單樁承載力的分布函數(shù)及可靠度指標(biāo)

選用基于三階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)[20]的分布參數(shù)為G(X)前三階矩(式12-14)的三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布[21]來描述單樁承載力功能函數(shù)G(X)的分布特性，此時G(X)的概率密度函數(shù)f(xs)為

(19)

(20)

此時，單樁承載力功能函數(shù)G(X)的可靠度指標(biāo)及其失效概率Pf也可以由G(X)的前三階矩得到[22]

(21)

Pf=Φ(-β).

(22)

綜上所述，基于高階矩法的單樁承載力可靠度計算與分析流程如圖1所示。

圖1 基于高階矩法的單樁承載力可靠度分析流程

3 工程算例

某實訓(xùn)大樓是一棟7層高的建筑，基礎(chǔ)采用樁徑D為800mm，900mm及1000mm 3種形式的沖孔灌注樁，樁長L范圍為13～50m，樁基穿越地層主要有雜填土、含粘性土礫石、強風(fēng)化花崗巖3種；該建筑樁基承臺及樁位布置圖如圖2所示，樁基大樣圖如圖3所示；取該工程4根不同長徑比的單樁(6#樁，9#樁，87#樁，156#樁)作為研究對象，各樁基設(shè)計參數(shù)與樁周土層參數(shù)分布資料見表2[23]。

極限側(cè)阻力qsi與極限端阻力qp的均值μi通過現(xiàn)場對各樁基周圍各層土取樣測得的側(cè)阻力以及端阻力實測平均值得到，變異系數(shù)δi同樣通過現(xiàn)場抽測各樁基周圍各層土的側(cè)阻力以及端阻力實測偏差值計算得到；文獻[24]認(rèn)為qsi近似服從正態(tài)分布，qp近似服從對數(shù)正態(tài)分布；本文中承臺頂面的豎向力Fk與樁基承臺與承臺上土自重標(biāo)準(zhǔn)值Gk的均值通過從PKPM設(shè)計軟件中得到；對比發(fā)現(xiàn)采用式(5)計算得到Fk與Gk的結(jié)果與軟件計算得到的結(jié)果誤差在5%以內(nèi)。根據(jù)《統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[25]曾經(jīng)的調(diào)查，F(xiàn)k與Gk近似服從對數(shù)正態(tài)分布且變異系數(shù)取0.07；將各隨機變量參數(shù)取值以及概率分布類型匯總于表3。

表3 基本隨機變量概率模型及統(tǒng)計參數(shù)

3.1 單樁承載力功能函數(shù)的前三階矩計算

根據(jù)第二節(jié)內(nèi)容，各樁基功能函數(shù)G(X)可寫成

(23)

以6#樁為例，用Mathematic軟件進行計算，采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的7點估計與Rosenblatt逆正態(tài)變換，由式(15)～(17)得到6#樁單樁承載力功能函數(shù)只含單個隨機變量函數(shù)Gi的前三階矩結(jié)果列于表4。

將表4的結(jié)果代入式(12)～(14)，可得到6#樁單樁承載力功能函數(shù)G(X)的前三階矩，同理也可得到9#，87#，156#樁G(X)的前三階矩計算結(jié)果。作為精度對比，采用100萬個樣本的MCS計算得到各樁G(X)前三階矩。將以上計算結(jié)果均列于表5。

表4 6#樁功能函數(shù)為單個隨機變量前三階矩計算結(jié)果

表5 MCS與高階矩法計算功能函數(shù)G(X)各階矩結(jié)果比較

表5可知，高階矩法計算各樁G(X)的前三階矩結(jié)果與MCS算出結(jié)果基本相同且用時較少，說明采用高階矩法計算能夠在保證計算精度的前提下提高計算效率。

3.2 各樁承載力功能函數(shù)可靠度指標(biāo)計算

MCS與FOSM都是工程上以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的分析結(jié)構(gòu)可靠度的一類重要方法。MCS能計算工程中各類復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度問題，而且能得到精確的計算結(jié)果，但前提是需要足夠大的樣本數(shù)且對計算機運算速率有較高的要求；FOSM主要包括中心點法和驗算點法(JC算法)，其中JC算法是國際結(jié)構(gòu)安全性聯(lián)合委員會(JCSS)推薦的工程實際中應(yīng)用較成熟的算法，但FOSM的計算精度與求導(dǎo)迭代得到的驗算點位置選取有很大的關(guān)系，因此FOSM對一般工程有良好的適用性，但對于功能函數(shù)表達式非線性較強時該方法計算精度就難以保證。而采用高階矩陣法既大大減少運算量，又避免了在驗算點處求導(dǎo)迭代的問題。本工程算例給出了四根樁基通過100萬次樣本計算得到的MCS結(jié)果和通過FOSM(JC法)計算得到的結(jié)果，如表6所示。同時將表5中的結(jié)果代入式(21)～(22)可得到高階矩法計算得到的各樁承載力可靠度指標(biāo)βi及其所對應(yīng)失效概率Pfi，如表6所示。

表6 三種方法計算可靠度結(jié)果對比

表6可知，采用高階矩法計算單樁承載力的失效概率Pfi及可靠度指標(biāo)βi平均耗時較MCS法平均耗時少，說明高階矩法在滿足計算精度前提下計算效率更高；同時高階矩法較FOSM而言，統(tǒng)計概念更清晰明確，且不需要找驗算點，不用迭代、求偏導(dǎo)；這里應(yīng)當(dāng)指出應(yīng)用高階矩法計算單樁承載力可靠度指標(biāo)在一定范圍內(nèi)才能保證可靠度指標(biāo)計算結(jié)果的精度，研究也表明大部分實際工程適用條件基本在該范圍之內(nèi)[25]。因此，基于高階矩法的單樁可靠度計算為實際工程中研究樁基承載力可靠性提供了一條有效途徑。

算例中4根不同樁長徑比的單樁可靠度指標(biāo)βi都在《統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[26]中給出的三級延性破壞構(gòu)件的目標(biāo)可靠度指標(biāo)之上(≥2.7)，這也與文獻[23]中做出的結(jié)論4根樁基承載能力具備一定的富余度的相一致。

3.3 各樁承載力功能函數(shù)的分布函數(shù)

將表5結(jié)果代入式(19)～(20)得到單樁承載力功能函數(shù)G(X)分布的概率密度函數(shù)(PDF)曲線，如圖4所示；作為對比，圖4同時給出了單樁承載力功能函數(shù)G(X)進行100萬次MCS的頻率直方圖。

圖4 各樁G(X)的頻率直方圖以及近似PDF曲線

4 結(jié)束語

為了簡單、高效的計算與分析單樁承載力可靠度，進行了基于高階矩法的單樁承載力可靠度的研究，采用高階矩法對實際工程中4根不同長徑比的樁基可靠度進行了計算與對比分析，給出了各樁基可靠度指標(biāo)及其概率密度函數(shù)的近似表達式。通過這個研究中發(fā)現(xiàn)采用高階矩法進行單樁承載力可靠度計算分析過程中既不需要尋找驗算點，又不需要進行迭代求偏導(dǎo)；該方法簡單且高效，同時還能得到各樁基承載力的功能函數(shù)的分布函數(shù)及其特征值，該方法為工程中樁基承載力可靠度的研究提供了一條有效的途徑。