陳正方

（江西理工大學理學院，江西 贛州 341000）

1 引言

最近，超冷原子氣體的自旋軌道耦合效應[5]受到了廣泛的關注?？烧{(diào)控粒子間相互作用強度和粒子間距離的新型實驗手段使人們能夠探索這種新奇的效應[2]。目前，人們已經(jīng)在實驗上實現(xiàn)了人工的自旋軌道耦合，首先是玻色氣體，然后是費米氣體。最早實現(xiàn)自旋軌道耦合的是NIST 的小組。他們實現(xiàn)的是一種Equal-Rashba-Dresshauls(ERD)的自旋軌道耦合[3]，這種自旋軌道耦合是將Rashba 自旋軌道耦合和Dresshauls自旋軌道耦合進行等量的疊加。相比于傳統(tǒng)的Rashba 和Dresshauls 自旋軌道耦合，這種新型的自旋軌道耦合具有各向異性。在這篇文章中我們主要的研究是含有ERD 自旋軌道耦合的費米氣體。不同于玻色氣體，費米氣體主要是自旋為半整數(shù)的粒子組成的氣體，它符合費米-狄拉克統(tǒng)計。費米子滿足泡利不相容原理這一重要的性質(zhì)，即兩個費米子不能同時占據(jù)同一個量子態(tài)。在絕對零溫下，不含有相互作用的費米粒子會兩兩依次占據(jù)不同的能帶形成費米海。但是一旦考慮粒子間相互作用，這種費米海就變得不再穩(wěn)定，這會引起新的集體激發(fā)模式。在費米面上，一端的粒子會與另一端的粒子產(chǎn)生配對產(chǎn)生Cooper 對。Cooper 對的存在解釋了為什么費米氣體中也存在超導效應以及玻色愛因斯坦凝聚態(tài)。進一步的通過配對狀態(tài)的不同我們可以將Cooper 對分為質(zhì)心動量為零和質(zhì)心動量不為零的兩種不同形式。在這篇文章中，我們主要討論了三組分含有ERD 自旋軌道耦合的二維費米氣體的能譜，并且研究了zeeman 場對系統(tǒng)能譜的影響，進一步研究了變化的能譜對形成Cooper 對形式的影響。結果發(fā)現(xiàn)，在沒有zeeman 場時體系能譜是相互對稱的，如果考慮費米氣體中有微弱的吸引勢，那么在同一能級上，費米面上左右兩端方向相反大小相同動量的粒子將發(fā)生配對。在存在zeeman 場時，體系的能譜發(fā)生偏移，同樣考慮費米氣體的微弱吸引勢，那么粒子之間依舊會發(fā)生配對，但是發(fā)生配對的粒子的動量方向相反大小不同。

2 理論推導和圖像

2.1 理論推導

我們以NIST 小組實現(xiàn)的模型作為研究對象。

這里主要包含了三組份的費米氣體[3,4]。贗自旋向上、贗自旋向下以及無自旋這三種原子超精細態(tài)。超精細態(tài)上的粒子在受到了Raman 激光的激發(fā)后會躍遷到一個虛能級上，隨后放出光子回落到另一個超精細態(tài)上，因此這些超精細態(tài)被Raman 激光耦合。在進行絕熱近似并在原有的模型中加入zeeman 場后可以得到體系的單粒子哈密頓量。

圖1 NIST 實現(xiàn)人工自旋軌道耦合原理圖[1]

其中

我們定義了δ為在Raman 過程中的雙光子失諧，h= ?ΩR/2表示等效Zeeman 場強度，ΩR是激光的Rabi頻率。作為能量單位，這里的m是原子質(zhì)量。波矢kL作為動量單位。為了方便起見，我們在本章中只考慮雙光子失諧δ= 0的情況。我們將哈密頓量對角化得到單粒子矩陣的本征值和本征向量。哈密頓量和本征值的對應關系如下所示：

2.2 Zeeman 場對系統(tǒng)的影響

zeeman場使得在kx方向上對稱的能譜發(fā)生了偏移。體系的費米表面發(fā)生形變，導致單粒子能帶的反轉對稱性破壞。因此，不可能在同一波段找到兩個動量相反但能量相同的費米子。當我們考慮在兩個精細態(tài)，中加入微弱相互吸引作用，系統(tǒng)就會產(chǎn)生粒子配對。這里我們考慮的是等布居數(shù)的費米粒子系統(tǒng)，因為不等布局數(shù)的費米粒子也會引起動量不為零的配對。沒有zeeman場時，粒子的配對方式應該是同一能級上動量為+kx自旋為與動量為-kx自旋為的粒子進行配對，對應的cooper對的配對質(zhì)心動量為kx+(-kx)=0。當存在zeeman場時，由于能帶發(fā)生了偏移，就會導致同一能帶上的兩個粒子的動能發(fā)生了位移，因此進行配對的兩個粒子將變成同一能級上動量為+kx+Q自旋為與動量為-kx自旋為的粒子，此時粒子間的配對質(zhì)心動量變成了Q，如圖3所示。

圖2 沒有zeeman場的情況下，ky =0三組份費米子的能譜

圖3 存在zeeman場的情況下，ky =0三組份費米子的能譜

在動量為ky軸的能譜中我們發(fā)現(xiàn)，zeeman場使得E2和E3之間的能隙 ΔE1變大，E1和E2之間的能隙 ΔE2變小，如圖4、5所示。但是能譜的對稱性沒有遭到破壞。這說明ERD形式的自旋軌道耦合具有各向異性，而加入的zeeman場只能引起能譜kx方向上的偏移。對于ky方向單粒子的反轉對稱性并沒有被破壞。因此在考慮配對情況時只需要參考kx軸上的能譜。

圖4 沒有zeeman場的情況下，k x =0時三組份費米子的能譜

圖5 存在zeeman場的情況下，k x =0時三組份費米子的能譜

3 總結

我們研究了zeeman 場對于含有ERD 自旋軌道耦合的二維三組分費米粒子能譜的影響。當不存在zeeman場時，費米粒子的能譜是關于動量對稱的。因此，加入微弱吸引勢后，粒子間將發(fā)生質(zhì)心動量為零的配對。當存在zeeman 場時，費米粒子的能譜發(fā)生了偏移，原本同一能帶上動量對稱的兩個粒子發(fā)生了動量上的位移。當加入微弱吸引勢后，粒子間將發(fā)生質(zhì)心動量不為零的配對。