張 靖， 武雪松， 李婷婷， 余 彬， 宋文勝

(1. 成都運達(dá)科技股份有限公司， 四川 成都 611756； 2. 西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院， 四川 成都 611756)

1 引言

與傳統(tǒng)的三相電機驅(qū)動系統(tǒng)相比，多相永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM)系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：①功率密度高、可靠性強，在一相或多相出現(xiàn)故障時可以容錯運行[1-4]；②逆變器容量大，適用于低壓大功率的應(yīng)用場合；③電機的機械噪音較小，輸出轉(zhuǎn)矩的脈動幅值明顯減小。目前，多相電機驅(qū)動系統(tǒng)在航空航天、船舶推進(jìn)等領(lǐng)域中已經(jīng)得到了廣泛的推廣與應(yīng)用。

在多相電機控制算法方面，許多學(xué)者研究了適用于多相系統(tǒng)的矢量控制[5]與直接轉(zhuǎn)矩控制(Direct Torque Control, DTC)算法[6，7]，并獲得了良好的控制效果。近年來，在對高性能控制算法的持續(xù)探索中，模型預(yù)測控制(Model Predictive Control, MPC)算法引起了人們廣泛的關(guān)注。其中，有限控制集模型預(yù)測控制算法(Finite Control Set Model Predictive Control, FCS-MPC)易于將變換器的離散特性與控制目標(biāo)相結(jié)合，屬于應(yīng)用較多的MPC算法[8-11]。根據(jù)控制目標(biāo)的不同，MPC算法又可分為模型預(yù)測電流控制、模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制[12]、模型預(yù)測功率控制[13，14]等。

在FCS-MPC算法中，每一個控制周期內(nèi)需要根據(jù)預(yù)測模型對控制集中的所有元素進(jìn)行預(yù)測計算，再結(jié)合參考值與預(yù)測值判斷電壓矢量的作用效果，選出評價函數(shù)值最小的電壓矢量作為最優(yōu)電壓矢量。文獻(xiàn)[15]中，作者以五相感應(yīng)電機為研究對象，驗證了FCS-MPC算法在多相電機控制中的可行性，并對比分析了FCS-MPC算法與傳統(tǒng)PI-PWM控制算法的差異。此外，文獻(xiàn)[15]通過實驗法研究了權(quán)重系數(shù)對控制性能的影響，并分析了控制集的元素個數(shù)對控制效果與計算量的影響，實驗結(jié)果表明，使用21個電壓矢量能在減小計算量的前提下取得較好的電流控制效果。

在中高壓電機驅(qū)動系統(tǒng)中，為了降低開關(guān)損耗并防止開關(guān)器件過熱，通常需要在控制算法中引入對開關(guān)頻率的限制。文獻(xiàn)[16]中以大功率三相異步電機為對象，首先提出了一種基于模型預(yù)測的DTC算法，該算法通過將轉(zhuǎn)矩與磁鏈限制在給定環(huán)寬范圍內(nèi)減小開關(guān)的切換次數(shù)；文獻(xiàn)[17]通過實驗研究了低開關(guān)頻率的MPC-DTC算法與傳統(tǒng)DTC算法在性能上的差異，實驗結(jié)果表明低開關(guān)頻率的MPC-DTC算法在全速域范圍內(nèi)都有著更好的性能。通過借鑒文獻(xiàn)[16]與文獻(xiàn)[17]中的控制思想，文獻(xiàn)[18]提出了一種基于斜率控制的低開關(guān)頻率算法。該控制算法中省去了外推計算環(huán)節(jié)，直接從待選電壓矢量中選取斜率最小的電壓矢量作為最優(yōu)電壓矢量。

目前鮮有針對五相系統(tǒng)低開關(guān)頻率FCS-MPCC算法的研究報道。因此，本文結(jié)合五相系統(tǒng)的自身特點，提出了一種適用于五相PMSM的低開關(guān)頻率FCS-MPCC算法。首先，結(jié)合電流預(yù)測值對控制集中的元素進(jìn)行初步篩選，選出能滿足電流控制需求的有效電壓矢量；然后，利用電流采樣值與預(yù)測值進(jìn)行線性外推計算，結(jié)合設(shè)定的區(qū)域邊界判斷電流的軌跡；接著，重新設(shè)計了評價函數(shù)，在評價函數(shù)中體現(xiàn)出對開關(guān)頻率的限制。最后，本文在小功率樣機上對所提算法進(jìn)行了實驗驗證與對比分析。

2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型和傳統(tǒng)FCS-MPCC

2.1 五相兩電平逆變器

圖1給出了五相兩電平電壓源逆變器-電機系統(tǒng)的電路結(jié)構(gòu)，其中Vdc代表直流側(cè)電壓值。

圖1 五相電壓源逆變器-電機簡化結(jié)構(gòu)圖

五相兩電平逆變器中，每個橋臂都可以輸出兩種開關(guān)狀態(tài)，因此五相逆變器一共可以產(chǎn)生32個開關(guān)狀態(tài)，對應(yīng)30個有效電壓矢量和2個零電壓矢量。五相系統(tǒng)中，諧波子空間的存在使電壓矢量在α1-β1與α3-β3子空間中均會產(chǎn)生映射。圖2給出了30個有效電壓矢量(不包含零矢量)在α1-β1子空間與α3-β3子空間中的分布。

圖2 五相逆變器空間電壓矢量分布

在每個子空間中，30個有效電壓矢量均勻分布10個方向上，每個方向上都包含3個幅值不同的電壓矢量。為了方便表達(dá)，定義電壓矢量為Vi=(SaSbScSdSe)，其中“S=1”表示此相橋臂的上管導(dǎo)通，“S=0”表示此橋臂的上管關(guān)斷。根據(jù)電壓矢量在α1-β1空間中的幅值，32個電壓矢量可以分為L、M、S和Zero組，如表1所示。

表1 電壓矢量分組

由圖2可知，L組電壓矢量在基波空間中處于最外層，而在諧波空間中對應(yīng)最內(nèi)層電壓矢量?；臻g中的最內(nèi)層電壓矢量映射到諧波空間中后成為最外層電壓矢量。M組電壓矢量在兩個子空間中具有相同的幅值。此外，同一個電壓矢量在基波空間與諧波空間中的相位也不相同。

2.2 五相PMSM數(shù)學(xué)模型

通過坐標(biāo)變換，可以得到五相PMSM在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d1-q1與d3-q3下的狀態(tài)方程，如式(1)所示。

(1)

為了便于分析，本文忽略了渦流效應(yīng)與定子表面齒槽帶來的影響，并認(rèn)為永磁體只產(chǎn)生正弦分布的磁勢。式中，id1、iq1、id3、iq3分別為電機定子電流在d1-q1與d3-q3子空間中的分量；Vd1、Vq1、Vd3、Vq3分別為逆變器輸出的電壓在d1-q1與d3-q3子空間中的分量；Rs為電機定子電阻；Ld與Lq分別為d軸電抗與q軸電抗；Lls為繞組漏感；ωe為電機的電角速度，ψf為永磁體的磁鏈幅值。

2.3 傳統(tǒng)FCS-MPCC算法

由于機械量的變化相對較慢，在一個很短的時間間隔內(nèi)，可以認(rèn)為電機的轉(zhuǎn)速為一個定值。對式(1)中的電機模型進(jìn)行前向歐拉離散化，可以得到五相PMSM的預(yù)測模型，其中Ts代表控制周期：

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

由式(2)可知，根據(jù)電流在k時刻的采樣值、電機的轉(zhuǎn)速以及施加的電壓矢量，結(jié)合預(yù)測模型可以得到電流在k+1時刻的預(yù)測值。施加的電壓矢量會直接影響電流的預(yù)測值。

在FCS-MPCC算法中，控制集中的每一個電壓矢量都對應(yīng)一組電流預(yù)測值，因此需要通過評價函數(shù)選出最優(yōu)的電壓矢量。評價函數(shù)用來量化電流預(yù)測值與電流給定值之間的偏差大小，其具體形式為：

(6)

式中，Wxy為權(quán)重系數(shù)；Imax為電流保護(hù)項。電流保護(hù)項用于防止過大的電流對系統(tǒng)造成損害，其定義如下：

(7)

(8)

當(dāng)電流預(yù)測值沒有超出最大電流的限制時，Imax的值為零，因此對評價函數(shù)沒有影響；當(dāng)電流的預(yù)測值過大時，Imax為一個足夠大的值，因此對應(yīng)的矢量將不會被選取。評價函數(shù)描述了電流預(yù)測值與給定值之間的偏差，評價函數(shù)的值越小則表示電流預(yù)測值與給定值的偏差越小，評價函數(shù)值最小的電壓矢量即為最優(yōu)電壓矢量。

傳統(tǒng)FCS-MPCC算法在每個控制周期內(nèi)的具體實施步驟為：

(1) 采樣第k時刻的定子電流、電機轉(zhuǎn)速等基本信息。

(2) 根據(jù)電流預(yù)測模型，對控制集中的所有電壓矢量進(jìn)行遍歷計算，預(yù)測出在該電壓矢量作用下電流在第k+1時刻的值。

(3) 針對每一組預(yù)測結(jié)果，根據(jù)電流預(yù)測值與電流參考值計算得到評價函數(shù)的值。

(4) 對評價函數(shù)值進(jìn)行排序，選取評價函數(shù)最小的電壓矢量施加給逆變器。

3 降低開關(guān)頻率的FCS-MPC算法

3.1 有效電壓矢量的篩選

在降低開關(guān)頻率的FCS-MPCC算法中，首先根據(jù)預(yù)測電流的值對控制集中的電壓矢量進(jìn)行初步篩選，得到有效電壓矢量。以電流id1為例，圖3給出了有效電壓矢量的判斷依據(jù)。

圖3 有效電壓矢量的判斷依據(jù)

圖3中給出了三種選取有效電壓矢量的情況，其中陰影部分表示電流id1的給定范圍，帶圓圈的線條表示電流在該電壓矢量作用下的變化軌跡。

(1) 如圖3(a)所示，若電流id1(k+1)位于給定范圍之內(nèi)，則對應(yīng)的電壓矢量屬于有效電壓矢量；此外，即使id1(k)不在給定范圍內(nèi)，只要id1(k+1)位于設(shè)定的給定范圍中，該電壓矢量同樣可以被認(rèn)為是有效電壓矢量。

(2) 電流id1(k)與電流id1(k+1)雖然都不在給定范圍之中，但有著向給定區(qū)域靠近的趨勢，如圖3 (b)與圖3 (c)所示。在這種情況下，對應(yīng)的電壓矢量同樣可以被認(rèn)為是有效電壓矢量。

在五相系統(tǒng)中，控制變量包括基波電流與諧波電流，因此在篩選有效電壓矢量時需要分別對id1、iq1與id3、iq3進(jìn)行判斷。為了簡化算法，可以將諧波電流id3、iq3合并為一項：

(9)

對于控制集中的每個電壓矢量，只有當(dāng)id1、iq1與id3-q3能同時滿足限制時，此電壓矢量才能被稱為有效電壓矢量。

傳統(tǒng)FCS-MPCC算法中，d-q軸電流紋波與控制頻率直接相關(guān)，且電流的波動范圍難以直接確定。在本文所提算法中，電流的給定值是一個區(qū)域，便于實現(xiàn)對電流控制精度的控制。

3.2 線性外推計算

在傳統(tǒng)FCS-MPC算法中，電流的給定是一個具體的數(shù)值。而考慮了開關(guān)頻率的限制以后，電流的給定擴大到一個區(qū)域范圍。如圖4所示，以電流id1為例，陰影部分表示電流的給定范圍，η為偏差范圍的寬度。

圖4 電流預(yù)測與線性外推

假設(shè)第k時刻作用在逆變器上的電壓矢量為Va(11001)，圖4中分別給出了電流id1(k)在Vb(10001)、Vc(10000)、Vd(00011)和Ve(00111)作用下的變化軌跡。根據(jù)2.1節(jié)中的篩選依據(jù)，電壓矢量Vb與Ve無法滿足電流控制性能的要求，只有Vc與Vd是有效電壓矢量。

為了描述電流軌跡的變化趨勢以及電流在給定范圍內(nèi)的停留時間，可以根據(jù)電流的采樣值與預(yù)測值進(jìn)行線性外推，如圖4中的虛線部分所示。N代表電流外推值到達(dá)給定區(qū)域邊界的時刻，以電壓矢量Vc與Vd為例，Vc對應(yīng)的N值為1.5，Vd對應(yīng)的N值為3.8。因此，在電壓矢量Vd的作用下電流id1可以在給定區(qū)域內(nèi)停留更長的時間，意味著在k+1之后的若干個控制周期內(nèi)無需切換電壓矢量，因此可以在一定程度上減小開關(guān)切換次數(shù)。

N值的計算方式如下：

(10)

(11)

3.3 評價函數(shù)設(shè)計

根據(jù)電流預(yù)測值與電流采樣值，可以篩選出有效電壓矢量；進(jìn)一步地，利用線性外推原理可以得到該電壓矢量對應(yīng)的外推步長N。對電流軌跡進(jìn)行線性外推是為了估算電流在給定區(qū)域內(nèi)停留的時間：停留的時間越長則意味著更少的平均開關(guān)切換次數(shù)。在低開關(guān)頻率的FCS-MPCC算法中，評價函數(shù)中應(yīng)同時包含開關(guān)切換次數(shù)與電壓矢量對應(yīng)的外推步長N。對于第j個有效電壓矢量，評價函數(shù)值的計算方式如下：

(12)

式中，mj為從當(dāng)前作用的電壓矢量切換到有效矢量j時發(fā)生的開關(guān)切換次數(shù)。評價函數(shù)采用兩個變量相除的形式，因此不需要引入權(quán)重系數(shù)，從而簡化了控制器的設(shè)計。

以圖4中的有效電壓矢量Vc與Vd為例，表2給出了評價函數(shù)的對比。

表2 評價函數(shù)cost1計算舉例

評價函數(shù)的值由兩部分決定，分子是需要切換的開關(guān)次數(shù)，分母部分是有效電壓矢量對應(yīng)的外推值。為了得到較低的平均開關(guān)頻率，發(fā)生切換的開關(guān)應(yīng)盡可能少，而對應(yīng)的外推值則應(yīng)盡可能大。因此，較小的評價函數(shù)值越小對應(yīng)著較低的平均開關(guān)頻率。在每個控制周期內(nèi)，應(yīng)選取評價函數(shù)值最小的有效電壓矢量作為最優(yōu)電壓矢量施加給逆變器。

在每個控制周期中，首先需要篩選出有效矢量。然而，在某些暫態(tài)情況下，可能會出現(xiàn)有效矢量集為空集的情況。此時，應(yīng)以電流的跟蹤性能為首要目標(biāo)，不再考慮對開關(guān)切換次數(shù)的限制，評價函數(shù)中僅包含電流誤差項，采用式(6)中的評價函數(shù)進(jìn)行計算。

需要指出的是，在所提算法中將電流控制在給定區(qū)域范圍內(nèi)是首要目標(biāo)，對開關(guān)頻率的降低是在保證電流控制性能的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

3.4 所提算法的實現(xiàn)

根據(jù)以上的分析過程，所提開關(guān)頻率的FCS-MPC算法框圖如圖5所示，主要步驟如下所示：

圖5 所提算法流程圖

(1)測量電機在第k時刻的定子電流、轉(zhuǎn)速等基本信息。

(2)對控制集中的所有電壓矢量進(jìn)行預(yù)測計算，獲得該電壓矢量作用下的電流預(yù)測值，然后進(jìn)行有效電壓矢量的篩選：若id1(k+1),iq1(k+1)以及id3-q3(k+1)同時滿足判定條件，則該電壓矢量屬于有效電壓矢量。

(3)檢驗有效電壓矢量集是否為空集：若不是空集，針對選出的n個有效電壓矢量，對第j(j=1,2，…，n)個有效電壓矢量作用下的id1,iq1以及id3-q3分別進(jìn)行線性外推，計算這三個被控量到達(dá)給定區(qū)域邊界時的N值，并選取最小的值作為第j個電壓矢量對應(yīng)的Nj。根據(jù)當(dāng)前時刻的開關(guān)狀態(tài)計算切換到有效電壓矢量j所需要的開關(guān)動作次數(shù)mj。

(4)評價函數(shù)計算。若存在有效電壓矢量，根據(jù)式(12)計算每個有效電壓矢量對應(yīng)的評價函數(shù)值。若有效電壓矢量集是空集，則根據(jù)式(6)計算對應(yīng)的評價函數(shù)值。

(5)最優(yōu)矢量的選取。對評價函數(shù)值進(jìn)行排序，選取最小評價函數(shù)值對應(yīng)的電壓矢量作為最優(yōu)矢量。

4 實驗結(jié)果對比與分析

基于五相逆變器-永磁同步電機小功率實驗平臺，本文對所提算法進(jìn)行了測試，圖6給出了實驗平臺的主要結(jié)構(gòu)。

圖6 五相逆變器-永磁同步電機實驗平臺

五相PMSM與一臺直流發(fā)電機同軸相連，直流發(fā)電機產(chǎn)生的電能在功率電阻上被消耗。電機的軸端接有旋轉(zhuǎn)變壓器，通過解碼電路可以得到電機的轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)子位置角。實驗中選用的控制器為TMS320F28335。PMSM的參數(shù)如表3所示。其中，q軸電流給定值由轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器得到，各算法中采用相同的PI參數(shù)與控制周期。

表3 五相永磁同步電機參數(shù)

對于FCS-MPC算法，控制集中的電壓矢量個數(shù)會直接影響控制效果。綜合考慮計算量與控制性能后，本文使用21個電壓矢量(10個大矢量、10個中間層矢量與1個零矢量)作為控制集。本文對比分析了傳統(tǒng)FCS-MPCC算法(記作MPCC21)與所提算法(記作MPCC-LSF, Low Switching Frequency)在動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能上的對比。

4.1 穩(wěn)態(tài)性能對比

對比實驗中，兩種控制算法的控制周期均設(shè)置為150 μs，對應(yīng)的控制頻率大約為6.66 kHz。圖7給出了MPCC-LSF算法在穩(wěn)態(tài)時的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及電機相電流波形。其中逆變器直流側(cè)的供電電壓為80 V，電機的轉(zhuǎn)速給定值為240 rad/s。

圖7 穩(wěn)態(tài)實驗波形

在兩種控制算法中，電機轉(zhuǎn)速均能實現(xiàn)對給定值的有效跟蹤，且定子電流正弦度良好。經(jīng)實際測量，在此種工況下，MPCC21算法對應(yīng)的開關(guān)頻率為1.305 kHz，而MPCC-LSF算法中開關(guān)頻率為1.11 kHz。相比于沒有考慮開關(guān)頻率限制的MPCC21算法，MPCC-LSF算法中開關(guān)頻率減小了14.9%。

4.2 動態(tài)性能對比

圖8是MPCC-LSF算法與MPCC21算在給定轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時的動態(tài)性能對比。

圖8 給定轉(zhuǎn)速突變實驗波形

在轉(zhuǎn)速突減實驗中，給定轉(zhuǎn)速由240 rad/s階躍減小至120 rad/s，而轉(zhuǎn)速突增實驗中給定轉(zhuǎn)速由120 rad/s階躍增加至240 rad/s。對比圖8(a)與圖8(b)可知，MPCC-LSF與MPCC21均具有良好的動態(tài)響應(yīng)能力。需要注意的是，作為負(fù)載的直流發(fā)電機的輸出功率與轉(zhuǎn)速有關(guān)，因此當(dāng)轉(zhuǎn)速發(fā)生改變以后，PMSM的輸出轉(zhuǎn)矩與定子電流幅值也會隨之發(fā)生變化。

由實驗結(jié)果可知，MPCC-LSF算法保留了傳統(tǒng)算法動態(tài)響應(yīng)迅速的優(yōu)點。圖9給出了MPCC-LSF算法在加速與減速過程中的d軸與q軸電流波形。

圖9 MPCC-LSF在轉(zhuǎn)速突變時的電流波形

在穩(wěn)態(tài)與暫態(tài)過程中，所提算法始終保持著良好的電流控制精度。

4.3 開關(guān)頻率對比

為了進(jìn)一步驗證MPCC-LSF算法在減小開關(guān)頻率方面的效果，圖10給出了MPCC-LSF算法與MPCC21算法在不同速度范圍下的開關(guān)頻率對比。

圖10 不同轉(zhuǎn)速下的開關(guān)頻率對比

MPCC21算法的開關(guān)頻率在1 kHz附近波動，在不同的電機轉(zhuǎn)速下，MPCC-LSF算法都能夠有效減小開關(guān)頻率。需要說明的是，MPCC-LSF算法的實際開關(guān)頻率與電機的工作點、控制周期的大小以及設(shè)定的電流環(huán)寬等都有關(guān)系。

5 結(jié)論

本文以五相PMSM為研究對象，針對大功率的應(yīng)用場合，提出了一種能降低開關(guān)頻率的MPCC算法。所提算法在預(yù)測計算之后增加了線性外推，并根據(jù)外推步長與開關(guān)切換次數(shù)重新設(shè)計了評價函數(shù)，在評價函數(shù)中體現(xiàn)出對開關(guān)頻率的限制。實驗結(jié)果證明，所提算進(jìn)不僅保留了傳統(tǒng)MPCC算法動態(tài)響應(yīng)迅速的優(yōu)點，還能在全速域范圍內(nèi)有效降低逆變器的開關(guān)頻率。此外，所提算法同樣適用于九相、十五相等多相電機驅(qū)動系統(tǒng)。