楊穎慧，劉 靖，卜 峰，樊 波，徐大誠，郭述文

(蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇蘇州 215006)

0 引言

MEMS陀螺儀作為測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體慣性的器件，因其具有成本低、尺寸小和質(zhì)量輕等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于汽車工業(yè)，慣性導(dǎo)航和智能手機(jī)等領(lǐng)域[1]。軸對(duì)稱MEMS陀螺的工作模式分為速率模式[2-3]和速率積分模式(又稱全角模式)[4]。全角模式通常采用幅度調(diào)制(amplitude modulation，AM)，將角速率信息調(diào)制到2個(gè)振動(dòng)模態(tài)的位移上，通過幅度解調(diào)來得到進(jìn)動(dòng)角。相比速率模式，它具有量程大、寬帶寬和標(biāo)度因子穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。然而，MEMS陀螺存在結(jié)構(gòu)加工工藝誤差帶來阻尼和剛度不匹配問題[5]，會(huì)導(dǎo)致較大閾值。2018年，T. Parsa等[6]提出使用與進(jìn)動(dòng)角相關(guān)偏置誤差進(jìn)行補(bǔ)償來降低閾值的方法，最終閾值為3(°)/s，但是該閾值仍然較大且補(bǔ)償方法比較復(fù)雜。

除了幅度調(diào)制工作模式之外，T. Tsukamoto[7]提出一種全差分頻率調(diào)制(frequency modulation，F(xiàn)M)陀螺，在單個(gè)諧振子上獨(dú)立控制順時(shí)針(clockwise，CW)和逆時(shí)針(counter clockwise，CCW)的疊加模式，使用CCW和CW解調(diào)器，同時(shí)控制這2種模式。該控制系統(tǒng)可以檢測(cè)輸出角度或角速率。但是該方法存在順逆時(shí)針模式相互耦合的問題，導(dǎo)致閾值較大。在高Q值陀螺中還存在系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間長問題。該學(xué)者后面提出算法補(bǔ)償來降低順逆時(shí)針模式相互耦合[8]，但是方法比較復(fù)雜且不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)補(bǔ)償。

針對(duì)以上問題，本文在調(diào)頻陀螺控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化。在現(xiàn)有調(diào)頻全角控制系統(tǒng)上添加了AGC模塊，用于控制順逆時(shí)針振動(dòng)模式幅度，從而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)模態(tài)頻率的迅速穩(wěn)定并且減小了順逆時(shí)針模式相互耦合，顯著降低了角度檢測(cè)閾值。

1 調(diào)頻控制技術(shù)

1.1 軸對(duì)稱類蛛網(wǎng)式陀螺

本文以軸對(duì)稱類蛛網(wǎng)式圓盤諧振陀螺(cobweb-like disk resonator gyroscope，CDRG)[9]為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示。CDRG的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)對(duì)稱性好，頻差小且Q值高，初始頻差僅為1.66 Hz，Q值可達(dá)到13萬，頻差和Q值測(cè)量曲線如圖2所示。經(jīng)過靜電調(diào)諧之后，頻差能降低到0.1 Hz以下[10]。

(a)CDRG的結(jié)構(gòu)示意圖(b)x和y模態(tài)的振型圖圖1 陀螺結(jié)構(gòu)圖

1.2 全角模式下的調(diào)頻技術(shù)

MEMS陀螺通常以二維彈簧阻尼振動(dòng)系統(tǒng)來建模，模式匹配下的陀螺動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

式中：x和y分別為x模態(tài)和y模態(tài)方向上的振動(dòng)位移；Ω為輸入角速度；ω0為共振頻率；k為角增益，由陀螺的幾何結(jié)構(gòu)決定。

式(2)是陀螺動(dòng)力學(xué)方程對(duì)應(yīng)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的幅度歸一化通解：

x=sin(ω0t)cos(kΩt)+sin(ω0t+φ)sin(kΩt)
y=-sin(ω0t)sin(kΩt)+sin(ω0t+φ)cos(kΩt)

(2)

式中φ為x模態(tài)和y模態(tài)方向上振動(dòng)位移的初始相位。

通過三角恒等變換，式(2)可重新表示為：

x=Aω+Ωsin((ω0+kΩ)t+φ1)+Aω-Ωsin((ω0-kΩ)t+φ2)
y=Aω+Ωsin((ω0+kΩ)t+φ3)+Aω-Ωsin((ω0-kΩ)t+φ4)

(3)

式中：

(4)

式(3)中，表達(dá)式的x和y可以看做是2個(gè)正弦波信號(hào)的疊加，頻率分別是ω0+kΩ和ω0-kΩ，其中角速率信息Ω就被調(diào)制到共振頻率上ω0。式(4)是正弦波的振幅表達(dá)式，每個(gè)正弦波的振幅通過參數(shù)φ來決定陀螺運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3是陀螺質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)軌跡圖，可以看出，對(duì)于不同的φ，有3種不同的陀螺運(yùn)動(dòng)軌跡，分別是直線、橢圓和圓形。

圖3 在不同初始相位下陀螺質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)軌跡圖

本文選擇的陀螺質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)軌跡是順時(shí)針圓形軌道頻率為ω0+kΩ和逆時(shí)針圓形軌道頻率為ω0-kΩ來進(jìn)行調(diào)頻全角操作，通過對(duì)ω0+kΩ和ω0-kΩ差分讀出可以消除共振頻率ω0的影響。

2 調(diào)頻全角控制技術(shù)的分析與改進(jìn)

在本文控制系統(tǒng)中，設(shè)定ωcw=ω0+kΩ，ωccw=ω0-kΩ。在1個(gè)諧振子上，用cosωcwt和cosωccwt驅(qū)動(dòng)x模態(tài)，-sinωcwt和sinωccwt驅(qū)動(dòng)y模態(tài)，2個(gè)鎖相環(huán)(phase lock loop，PLL)將順逆時(shí)針模式控制在諧振狀態(tài)，2個(gè)AGC分別控制順逆時(shí)針幅度。根據(jù)2個(gè)PLL頻率信息，進(jìn)行相干解調(diào)和三角函數(shù)運(yùn)算得到角度輸出，控制框圖如圖4所示。

圖4 調(diào)頻全角模式系統(tǒng)控制框圖

順時(shí)針閉環(huán)控制中PLL頻率輸出是ωcw，逆時(shí)針閉環(huán)控制中PLL頻率輸出是ωccw，角度檢測(cè)過程如下：

(5)

(6)

將上述2個(gè)信號(hào)經(jīng)過低通濾波器濾除頻率為2ω0的高頻信號(hào)，經(jīng)過三角函數(shù)運(yùn)算得到角度：

(7)

根據(jù)上述分析過程可以看出，PLL的頻率輸出(ωccw和ωcw)直接反映角度信息，差分讀出消除共振頻率ω0的影響同時(shí)頻率穩(wěn)定影響角度檢測(cè)輸出。

為此，本文添加2個(gè)AGC環(huán)路，目的是讓陀螺的振動(dòng)幅度迅速穩(wěn)定，并且讓順逆時(shí)針模式振幅相等。在實(shí)際情況下，陀螺存在各種誤差，如阻尼和剛度誤差等，陀螺的動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際為：

(8)

式中mx，my，bx，by，kx，ky分別為陀螺x模態(tài)和y模態(tài)的質(zhì)量，阻尼和剛度。

由于順逆時(shí)針振動(dòng)模式是對(duì)稱的，這里以逆時(shí)針模式分析為例。當(dāng)逆時(shí)針模式單獨(dú)工作時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)的解為正弦信號(hào)，這里將x和y模態(tài)方向上位移的解表示為向量形式，即x=xccw(t)ejωccwt，y=jyccw(t)ejωccwt，xccw(t)和yccw(t)代表x模態(tài)和y模態(tài)方向上位移的振幅，反饋力Fx=jFxccwejωccwt，F(xiàn)y=-Fyccwejωccwt用于控制振幅和相對(duì)相位，將這些公式帶入式(8)，利用歐拉公式將系統(tǒng)分為實(shí)部和虛部，可以得到：

(9)

(10)

通過向量分析，計(jì)算出頻率的表達(dá)式[11]，在不考慮阻尼誤差的情況下，最終得到逆時(shí)針模式的頻率表達(dá)式為

(11)

同理分析可以得到順時(shí)針模式的頻率表達(dá)式為

(12)

xcw(t)和ycw(t)為順時(shí)針模式下x模態(tài)和y模態(tài)方向上的振幅。xccw(t)、yccw(t)、xcw(t)和ycw(t)都是與e指數(shù)相關(guān)的時(shí)間函數(shù)，隨著時(shí)間上升，它們會(huì)趨近于一個(gè)常數(shù)。由式(11)和式(12)可以看出順逆時(shí)針模式的PLL頻率輸出與x和y模態(tài)振幅相關(guān)，即振幅會(huì)影響頻率輸出準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響角度檢測(cè)。為此，需要保持振動(dòng)幅度快速穩(wěn)定。

在調(diào)頻全角控制系統(tǒng)中，順時(shí)針振動(dòng)模式振幅為

(13)

逆時(shí)針模式振動(dòng)振幅為

(14)

式(13)和(14)可以看出順逆時(shí)針模式振幅與x模態(tài)和y模態(tài)方向上振幅之間的關(guān)系。順逆時(shí)針模式的振幅rcw和rccw值越接近，意味著順逆時(shí)針模式的相互耦合越小，使角度檢測(cè)輸出的線性度越好[7-8]。所以本文添加2個(gè)AGC環(huán)路來控制順逆時(shí)針模式的幅度，減小它們之間的相互耦合來降低閾值，同時(shí)使x和y模態(tài)方向上振幅快速穩(wěn)定，讓PLL的頻率輸出能夠快速地跟隨角速率的變化而變化。

3 測(cè)試結(jié)果與分析

3.1 測(cè)試平臺(tái)與實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本文實(shí)驗(yàn)是基于FPGA數(shù)字化測(cè)控平臺(tái)實(shí)現(xiàn)，以CDRG為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。測(cè)控電路由3部分組成：信號(hào)拾取電路、AD/DA電路及FPGA電路。測(cè)試平臺(tái)如圖5所示，陀螺及電路參數(shù)如表1所示。

圖5 測(cè)試平臺(tái)

表1 陀螺及電路參數(shù)

3.2 測(cè)試結(jié)果

在Vivado上編寫FPGA程序，基于測(cè)試平臺(tái)上進(jìn)行驗(yàn)證。首先，不添加AGC模塊進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，直接給一個(gè)恒定幅度(50 mV)的正弦信號(hào)來激勵(lì)順逆時(shí)針振動(dòng)模式，逆時(shí)針模式幅度輸出如圖6所示?？梢钥吹皆? s處幅度趨于穩(wěn)定，但是幅度輸出有波動(dòng)，波動(dòng)幅度大小在70 mV以內(nèi)。在同樣實(shí)驗(yàn)條件下，添加AGC模塊進(jìn)行幅度閉環(huán)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖7所示。逆時(shí)針模式幅度在0.4 s快速穩(wěn)定，波動(dòng)幅度大小在20 mV以內(nèi)。逆時(shí)針模式的幅度輸出有波動(dòng)主要是因?yàn)橥勇?個(gè)模態(tài)間的頻差，導(dǎo)致順逆模式相互耦合而產(chǎn)生波動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明AGC模塊可以使振動(dòng)模態(tài)幅度快速穩(wěn)定。順逆模式是對(duì)稱的，通過實(shí)驗(yàn)觀察，AGC能夠使順逆時(shí)針振動(dòng)幅度非常接近，降低它們之間的相互耦合。

圖6 未添加AGC的逆時(shí)針振動(dòng)模式振幅

圖7 添加AGC模塊的逆時(shí)針振動(dòng)模式振幅

在不同輸入角速率下(±50(°)/s、±100(°)/s、±150(°)/s)檢測(cè)角度輸出，結(jié)果如圖8所示。表2是相應(yīng)的角增益 (即標(biāo)度因子)，可以看出，輸入角速率越大，標(biāo)度因子越接近陀螺結(jié)構(gòu)的理論角增益0.77。

圖8 不同輸入角速率下的輸出角度

表2 不同輸入角速率下的角增益

3.3 檢測(cè)閾值對(duì)比

添加AGC模塊后，最低角速率閾值可以達(dá)到0.5(°)/s，測(cè)試結(jié)果如圖9所示，從圖9可以看出，在0.5(°)/s輸入角速率的情況下系統(tǒng)雖然可以正常輸出角度，但是測(cè)試的輸出角度線性度較差。未添加AGC模塊能測(cè)得的最低角速率閾值是11(°)/s，且在閾值附近的角度輸出線性度非常差。圖10是2種控制方法的角度檢測(cè)輸出在角速率輸入為11(°)/s時(shí)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明添加AGC模塊后，顯著改善了全角模式控制系統(tǒng)的性能。

圖9 閾值附近的角度輸出

圖10 11(°)/s輸入角速率下的2種方法角度輸出

4 結(jié)束語

本文介紹了一種頻率調(diào)制全角陀螺的控制系統(tǒng)。在單個(gè)諧振子上同時(shí)疊加陀螺質(zhì)量塊順逆時(shí)針的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過添加AGC閉環(huán)使順逆時(shí)針振動(dòng)幅度快速穩(wěn)定且接近相等，減小順逆時(shí)針模式相互耦合，降低了角度檢測(cè)閾值。實(shí)驗(yàn)證明了控制系統(tǒng)的有效性。然而，本文控制系統(tǒng)中沒有完全解決頻差的問題，而不能完全消除順逆時(shí)針振動(dòng)模式相互耦合的影響，導(dǎo)致頻率輸出有波動(dòng)。為此，在今后工作中，擬采用雙陀螺控制方法來解決波動(dòng)問題。