劉 洋，李 杰，張德彪，馮凱強，魯正隆

(中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室，山西太原 030051)

0 引言

MEMS陀螺儀廣泛應用于捷聯(lián)慣導、工業(yè)控制和消費電子等領域。但由于受到MEMS敏感理論、工藝水平及使用環(huán)境的影響，噪聲成為制約MEMS陀螺儀性能的主要因素。構建陀螺的誤差模型并補償對提高精度至關重要，然而真實信號和漂移通常都淹沒在高斯白噪聲中，且因為存在這種非線性非平穩(wěn)的隨機過程導致難以建立精確的誤差補償模型，所以研究適用于非平穩(wěn)隨機誤差的去噪算法具有重要意義。目前許多學者都致力于解決相關問題，提出了采用例如卡爾曼濾波器(KF)[1]、經(jīng)驗模態(tài)分解(EMD)[2-3]和小波變換(WT)[4]等方法進行濾波，實驗結果證實它們在處理陀螺輸出信號時，都能提供良好的去噪效果，但也都存在各自的不足。KF方法需要在具有完整信號的統(tǒng)計特性下分別建立狀態(tài)方程和量測方程，結構和初始參數(shù)的確認都較為復雜，且其本質上更適合處理穩(wěn)態(tài)信號，濾除非線性非穩(wěn)態(tài)信號噪聲的能力相對較弱。基于WT的時頻分析方法需要事先選定一個小波基，特定的小波基在全局可能是最佳的，但針對信號的某些局部特征卻很難分離出來，即小波基的選取對整個分析的結果影響很大，缺乏靈活性的同時也存在濾波時延問題。EMD可以看作一種不需要構造任何先驗基礎的自適應濾波器[5]，但其數(shù)學理論基礎還不完善，且對噪聲敏感，表現(xiàn)為在后期的分解中可能得到不準確的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量，產(chǎn)生模態(tài)混疊等現(xiàn)象。受EMD思想的啟發(fā)，K.Dragomiretskiy和D.Zosso提出了一種非遞歸的變分模態(tài)分解(VMD)方法，克服了EMD的很多缺點。該方法具備嚴謹?shù)睦碚摶A，復雜度低，不會造成模態(tài)混疊現(xiàn)象的發(fā)生。其假設復雜原始信號可以表示為幾個單組分(IMF)震蕩和趨勢的線性疊加[6]。換句話說，它可以將一個信號f(t)分解為特定數(shù)量的具有不同中心頻率和有限帶寬的AM-FM信號，并且對噪聲具有魯棒性。因此有助于得到給定信號的有效分解成分，利于后續(xù)分析處理。目前多用于非平穩(wěn)信號瞬時時頻特征的提取。

本文探討了VMD方法在陀螺隨機噪聲降噪方面的應用，首先詳細分析了VMD的原理，并利用仿真信號驗證了方法的可行性。然后對實際的MEMS陀螺靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)進行預處理，將原始信號分解為IMF的集合，陀螺的真實信號主要集中在比較低的頻率范圍內，針對不同的固有模態(tài)序列建立基于樣本熵理論的信號組分篩選標準，根據(jù)求解的各個IMF的樣本熵值，判斷并將其劃分為低頻有效信息IMFs、信息和噪聲混合IMFs和高頻噪聲主導IMFs3個具有不同特征的部分。如果僅剔除高頻噪聲IMFs后重構會導致誤差較大，所以后續(xù)利用軟區(qū)間閾值降噪方法實現(xiàn)對混合分量的進一步處理，同時舍棄高頻噪聲分量，最后通過重構得到最終的信號。比較結果表明該算法的去噪性能優(yōu)于同等條件下的EMD方法。

1 基本原理與分析

1.1 VMD原理

VMD的核心思路總體分為2部分：一是先構建變分問題；二是求解變分問題。該方法有一個重要假設，對于一個信號f，它都能夠分解為K個具有不同中心頻率和有限帶寬的IMF，即每個IMF都緊湊的圍繞在其中心頻率ωk附近，具有窄帶特性。如式(1)所示，此時重新定義IMF為一個調頻調幅信號。

uk(t)=Akcos(φk(t))

(1)

式中：uk為第k個IMF(1≤k≤K)；φk為相位；Ak為調制信號幅度的包絡(Ak(t)≥0)。

根據(jù)式(1)和提出的假設，可以得出VMD方法分解的實質是一種有約束的優(yōu)化過程，在所有IMF線性疊加等于給定原始信號的約束條件限制下，讓這些具有不同中心頻率的IMF帶寬之和盡可能的小，理想狀態(tài)下每個IMF只包含一個頻率的函數(shù)分量。

為了評估其帶寬，執(zhí)行以下3個操作：

(1)對uk作Hlibert變換求解其分析信號以獲得單邊頻譜。

(2)乘以調諧到對應ωk的指數(shù)諧波，從而把頻譜轉移至基帶。

(3)利用Gauss平滑估計ωk的帶寬(梯度的平方L2范數(shù))。

由此產(chǎn)生的變分約束優(yōu)化問題可以用式(2)表示：

(2)

式中：?t為梯度；δ(t)為單位脈沖函數(shù)。

要求獲得的IMF帶寬盡可能窄的同時要保證分解之后的IMF重構后不能嚴重失真。為了解決這個變分約束問題，在此使用能提升重構逼真度的二次懲罰項并引入使約束條件保持嚴格性的拉格朗日乘數(shù)λ(t)。如式(3)描述的擴展拉格朗日方程所示，將提出的有約束的優(yōu)化問題轉化成等效的無約束輔助函數(shù)最小化求解問題。其中α表示二次懲罰因子，此處可理解為調節(jié)數(shù)據(jù)保真度的平衡參數(shù)。

本組新生兒均執(zhí)行產(chǎn)科常規(guī)護理,包括監(jiān)測、記錄新生兒體溫、體重、皮膚與呼吸有無異常等,當發(fā)現(xiàn)新生兒存在患病表現(xiàn)時,應及時給予病情監(jiān)護、生命體征監(jiān)護、給藥護理等。

(3)

利用乘法算子交替方向法，結合Parseval/Plan-cherel傅里葉等距變換交替迭代得到子問題的解為：

(4)

式中：n為迭代次數(shù)；ωk為中心頻率。

ωk可通過式(5)進行更新。拉格朗日乘數(shù)可通過式(6)進行更新。

(5)

(6)

式中τ為設定的噪聲容限。

綜上所述，獲得模態(tài)分量和中心頻率的迭代過程可簡述為：

(4)根據(jù)式(7)判斷是否符合精度要求(ε為設定的收斂閾值)，若不符合則繼續(xù)重復步驟(2)至步驟(4)，若符合，退出迭代過程，輸出K個模態(tài)分量。

(7)

1.2 仿真信號分析

為了驗證VMD算法的有效性，構造仿真信號如下：

f(t)=sin(2πtf1)+0.4sin(2πtf2)+0.15sin(2πtf3)+η

式中：頻率成分f1=2 Hz、f2=30 Hz和f3=100 Hz；η為高斯白噪聲，η=15 dB。

VMD方法存在一個局限性，即使用前需根據(jù)經(jīng)驗確定分解IMF的數(shù)量K。針對此信號設定K=6，二次懲罰因子α=4 000，噪聲容限τ=0.1，收斂閾值ε=10-7。圖1為仿真原始信號。分解之后得到的模態(tài)分量及對應的頻譜如圖2所示。

圖1 仿真原始信號

圖2展示了信號中的幾個頻率成分可以通過VMD算法從低到高依次被分解提取出來。以便于進行后續(xù)分析處理。

1.3 樣本熵與區(qū)間閾值濾波

實際上，當VMD應用于真實的陀螺信號輸出時，分解結果中必定包含有效信號與隨機噪聲混合的模態(tài)，且陀螺輸出的有效信號主要集中在低頻段，那么全部模態(tài)序列整體上可以用低頻有效信息IMFs、信息和噪聲混合IMFs和高頻噪聲主導IMFs3個具有不同特征的部分來概括。因此如果能建立相應的篩選標準，準確地劃分歸屬范圍，降噪過程就會更加的清晰具體。

(a)模態(tài)分量

在與VMD類似的EMD算法的應用過程中，文獻[7]提出可以通過計算給定原始信號概率密度函數(shù)與IMF分量的2范數(shù)距離來度量兩者之間的相似性，進而確定噪聲分量，經(jīng)過實驗證明這種方案具有良好的效果。同樣在EMD中，計算原始信號與IMF的相關系數(shù)來確認組分也是被廣泛接受的一種解決辦法，但是它受信噪比和信號中趨勢項的影響比較大。本文提出應用樣本熵理論來區(qū)分信號的組分。樣本熵是度量非穩(wěn)態(tài)時間序列復雜性的一種算法，熵值Se越低說明序列自似性越高，熵值越大說明序列越不規(guī)則、越復雜。Se可以通過文獻[8]介紹的方法在指定相似度閾值r和嵌入維數(shù)m后獲得。在獲取分解結果后，分別計算每個IMF的樣本熵值，對于近似高斯分布的高頻噪聲主導IMFs，Se較小且具有相近的值，隨著低頻成分在模態(tài)中占比的增加，Se逐漸增大。

在憑借上述方法確認信號組分后，對高頻噪聲主導的IMFs予以舍棄，并采用軟區(qū)間閾值濾波方法對信息與噪聲混合IMFs進行去噪，將小于閾值的部分置零，大于閾值的部分經(jīng)過計算保留。相比于硬區(qū)間閾值去噪方法，經(jīng)由軟區(qū)間閾值濾波處理的信號能夠保持連續(xù)性，可以有效提取混合分量中的有用信息。具體過程可參照式(8)完成[9]。

(8)

Ti可根據(jù)式(9)和式(10)確定。

(9)

(10)

式中：EL為最后一個高頻噪聲IMF的能量；N為數(shù)據(jù)長度；β和ρ為經(jīng)驗參數(shù)值，β=0.719，ρ=2.01[10]。

最后將混合分量去噪結果與低頻有效信息IMFs進行信號重構得到最終信號?？傮w方案的流程可用圖3表示。

圖3 總體方案流程圖

2 實驗結果與分析

采集一段MEMS陀螺的靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)，系統(tǒng)采樣率為1 000 Hz，為避免啟動誤差影響結果分析，在1 h后取50 s的數(shù)據(jù)利用本方案進行處理。設定分解模態(tài)個數(shù)K=8，二次懲罰因子α=5 000，噪聲容限τ=0.1，收斂閾值ε=10-7。首先得到VMD分解結果如圖4所示，為了有直觀清晰的體現(xiàn)，僅展示其中的1 000個采樣點。計算所得各模態(tài)樣本熵Se的變化趨勢如圖5所示?？梢钥闯龌跇颖眷氐呐卸ǚ椒梢苑直娉鲇嘘P趨勢項的特征拐點，所以定義IMF1和IMF2為低頻信息分量。具有高頻屬性的第6、7和8個固有模態(tài)擁有相近且相對最小的Se的值，所以定義IMF6、IMF7和IMF8為高頻噪聲分量。第3～5個模態(tài)是混合分量，應用區(qū)間閾值濾波方法對該部分進行降噪處理，處理完成后IMF1與IMF2和疊加重構獲得最終信號。

圖4 陀螺數(shù)據(jù)VMD分解結果

圖5 各模態(tài)的樣本熵值

在相同的實驗條件下，該方案與同為模態(tài)分解去噪的EMD方法進行對比(EMD分解后舍棄高頻噪聲分量并重構)，去噪結果如圖6所示，其中噪聲最大的原始信號顯示為深灰色，經(jīng)EMD處理的信號顯示為黑色，經(jīng)提出的方案處理的信號顯示為淺灰色。計算其各自的均方差并列在表1中。通過均方差值的對比可以證明基于VMD和樣本熵的去噪方案的性能顯著優(yōu)于EMD去噪方案。

圖6 去噪結果對比

表1 去噪結果均方差

3 結論

VMD可以自適應地把數(shù)據(jù)分解為包含不同頻率成分的模態(tài)，樣本熵能夠有效地篩選評價模態(tài)信息。經(jīng)過實驗證實基于2種方法的去噪方案對MEMS陀螺的隨機噪聲有明顯的抑制作用，同等條件下性能優(yōu)于EMD方案。因此通過提出的方法對數(shù)據(jù)進行處理后，慣導系統(tǒng)的精度和可靠性可在一定程度上得到提升。