李 超，洪 倩，楊雪冰,陳 銳,孫彥東,梁來(lái)力

(南陽(yáng)理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473000)

任意形狀的通電線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)原則上都可以根據(jù)畢奧-薩伐爾定律進(jìn)行求解，然而嚴(yán)格的解析解往往不能輕易地得到。哪怕對(duì)于簡(jiǎn)單的環(huán)形電流，一般教科書(shū)上也只是給出了中軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，對(duì)于非軸線(xiàn)上的磁場(chǎng)，由于涉及復(fù)雜的橢圓積分[1]，很難得到解析解，這個(gè)時(shí)候借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算就顯得非常合適。

1 環(huán)形電流的磁場(chǎng)分布

任意形狀的載流線(xiàn)圈總可以等價(jià)為若干段電流元的疊加，每一段電流元在整個(gè)空間激發(fā)的磁場(chǎng)都遵循畢奧-薩伐爾定律[2]：

(1)

圖1 環(huán)形電流示意圖

(2)

考慮到環(huán)形電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)稱(chēng)性，選擇柱坐標(biāo)對(duì)電流元進(jìn)行展開(kāi)，可以得到：

(3)

空間某一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)P可以表示為：

(4)

電流元到場(chǎng)點(diǎn)P的矢量可以表示為：

(5)

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布也具有軸對(duì)稱(chēng)性，即當(dāng)ρ和z一定時(shí)，任意φ角位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均相等。因此不妨將P點(diǎn)取在oxz平面，即P點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足φ=0，則此時(shí)根據(jù)(1)-(5)式聯(lián)立可以解得P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度沿x、y、z軸的分量為：

(6)

(7)

(8)

2 磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值模擬

(6)、(7)、(8)式即為任意點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量形式，可以借助計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，既可以使用成熟的Matlab軟件[3]，也可以使用更為基礎(chǔ)的C++進(jìn)行編程。

假設(shè)環(huán)形電流的半徑a=0.1 m，通有的電流強(qiáng)度為I=1A，選擇不同的(ρ,z)根據(jù)(6)、(7)、(8)式即可以計(jì)算得到不同空間位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量，總的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以表示為：

(9)

在空間中隨機(jī)選擇一系列的點(diǎn)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小如表1所示。

表1 不同空間位置(ρ,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小(×10-9 T)

3 磁感線(xiàn)的描繪

3.1 磁感線(xiàn)的描繪方法

如圖1所示，xz平面和環(huán)形電流存在兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)即為圓環(huán)的一條直徑。在這條直徑上任意選擇一系列點(diǎn)，并且令這些點(diǎn)相對(duì)圓心O對(duì)稱(chēng)，這樣描繪出來(lái)的磁感線(xiàn)將呈對(duì)稱(chēng)分布。

(10)

利用上式得到的單位矢量代入(11)式計(jì)算得到下一個(gè)點(diǎn)A1(x1,y1,z1)點(diǎn)的坐標(biāo)：

(11)

3.2 磁感線(xiàn)描繪方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上節(jié)介紹的磁感線(xiàn)描繪方法的可行性及正確性，可以選擇一個(gè)已知的曲線(xiàn)用上述方法進(jìn)行測(cè)試。不妨選擇簡(jiǎn)單的冪函數(shù)：

y=x3

(12)

圖2 磁感線(xiàn)描繪方法的驗(yàn)證

由于選擇的步長(zhǎng)為0.000 1，所以這些點(diǎn)分布非常密集，并且和真實(shí)的函數(shù)(12)對(duì)應(yīng)的紅色曲線(xiàn)完全重合，由此可見(jiàn)磁感線(xiàn)的描繪方法是完全可行的。

3.3 環(huán)形電流磁感線(xiàn)的描繪

前面研究了磁感線(xiàn)的描繪方法并對(duì)該方法的正確性給出了證明，下面將利用該方法得到環(huán)形電流的磁感線(xiàn)描繪。仍然取環(huán)形電流的半徑為0.1 m，電流強(qiáng)度為1A。

由于環(huán)形電流的磁場(chǎng)符合軸對(duì)稱(chēng)分布，因此只需取xz平面為代表即可。如圖3所示，左邊紅色點(diǎn)表示電流在該點(diǎn)是流出的，右邊的紅色叉號(hào)表示該點(diǎn)電流是流入的。在這兩點(diǎn)之間對(duì)稱(chēng)的取11個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一條磁感線(xiàn)的分布，總共描繪了11條磁感線(xiàn)。

圖3 環(huán)形電流磁感線(xiàn)的描繪

4 結(jié) 語(yǔ)

首先從畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)得到了環(huán)形電流在整個(gè)空間激發(fā)的磁場(chǎng)分布；進(jìn)而選取了若干點(diǎn)對(duì)環(huán)形電流的磁場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算；研究得到了磁感線(xiàn)描繪的一般方法并對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證；最后給出了環(huán)形電流在空間所激發(fā)磁場(chǎng)的磁感線(xiàn)描繪。由于該磁感線(xiàn)描繪方法具有一般性，因此可以拓展至其他任意類(lèi)型的磁場(chǎng)分布。