楊雨厚，成希豪，朱志剛，羅 金，黃民水

(1. 廣西北部灣投資集團(tuán)有限公司, 廣西 南寧 530029； 2. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 廣西 南寧 530004；3. 廣西交科集團(tuán)有限公司, 廣西 南寧 530007； 4. 武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測主要目的是持續(xù)跟蹤和評估可能影響結(jié)構(gòu)運行、可用性或安全可靠性的退化或損壞癥狀[1]。那么損傷識別的基礎(chǔ)是，通常結(jié)構(gòu)損傷是由于結(jié)構(gòu)的截面積、質(zhì)量等這些物理參數(shù)發(fā)生改變所引起的，這些變化會使得結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣等發(fā)生改變，進(jìn)而影響到結(jié)構(gòu)動態(tài)特性[2]。在實際結(jié)構(gòu)中，通常結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性較于物理參數(shù)更易獲取而且更精確，因此可以通過現(xiàn)在采集的實際結(jié)構(gòu)動態(tài)特性結(jié)合有限元分析計算出來的數(shù)據(jù)對該結(jié)構(gòu)健康狀況進(jìn)行評估。在基于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行損傷識別的這類問題中，首先需要設(shè)置損傷工況，然后根據(jù)這些損傷工況記錄結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)[3,4]的變化情況，其中最重要的是選取損傷識別指標(biāo)對其進(jìn)行損傷定位，最后根據(jù)優(yōu)化方法計算出相應(yīng)的損傷程度[5,6]。

本文結(jié)合模態(tài)柔度方法在定位損傷位置上的優(yōu)勢和鯨魚優(yōu)化算法在求解優(yōu)化問題上的高效、準(zhǔn)確性，將損傷識別問題劃分成兩個問題：損傷位置的確定以及量化其對應(yīng)的損傷程度。首先，本文對基本的模態(tài)柔度方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了疊加模態(tài)柔度差曲率指標(biāo)用于定位結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷的位置；其次，將削弱板結(jié)構(gòu)“臨近效應(yīng)”的方法[7,8]引入到該指標(biāo)；最后，通過改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法迭代求解損傷位置相對應(yīng)的損傷程度。

1 改進(jìn)模態(tài)柔度方法

無阻尼自由系統(tǒng)，其微分方程式表示為：

(1)

式中：M和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；x為位移向量。

將質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行正交化：

φTKφ=Λ

(2)

φTMφ=I

(3)

式中：φ為整體結(jié)構(gòu)的振型；Λ為系統(tǒng)特征值的對角矩陣；I為單位矩陣。

對式(2)做一次變換，可將剛度矩陣K表示為：

K=φ-TΛφ-1=(φΛ-1φT)-1

(4)

柔度矩陣D與剛度矩陣K的關(guān)系由式(5)表示：

D=K-1

(5)

將式(4)代入式(5)中，可以得到：

(6)

式中：φi為第i階振型；ωi為第i階固有頻率。 本文基于現(xiàn)有的柔度差曲率矩陣法[9](Flexibility Curvature Matrix Based on Mode，F(xiàn)CMD)、模態(tài)柔度改變率(Rate of Modal Flexibility，RMF)、模態(tài)柔度改變率曲率[10](Rate of Modal Flexibility Curvature，RMFC)，提出了疊加模態(tài)柔度差曲率(Superposition of Modal Flexibility Curvature，SMFC)。

該方法由結(jié)構(gòu)的柔度矩陣入手，由于低階模態(tài)所包含的模態(tài)信息較多，可通過相加的方式來擴(kuò)充其信息。而且，在結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域附近，柔度值會有較大的改變，通過對坐標(biāo)位置的二階導(dǎo)數(shù)作用即求柔度曲率。最后對損傷前后的曲率求差，即疊加模態(tài)柔度差曲率，其變化的程度將會變得更加明顯，計算得到的局部極值可直接用于識別損傷位置。

計算步驟如下：

(1)對模態(tài)柔度矩陣逐行相加

Fu=sum(Du,2)
Fd=sum(Dd,2)

(7)

式中：D為結(jié)模態(tài)柔度矩陣；上標(biāo)u和d分別表示損傷前和損傷后；sum(D,2)表示對矩陣的各行元素求和。

(2)計算SMFC指標(biāo)

利用中心差分理論計算上步中兩個列陣的曲率MFC：

(8)

式中：i對應(yīng)于模型的第i個節(jié)點；d為相鄰節(jié)點的距離，即為單元的長度。

最后，對兩者作差計算得出SMFC的值：

SMFC=MFuC-MFdC

(9)

該指標(biāo)的損傷位置判別方式是，損傷處的SMFC值會產(chǎn)生突變，突變位置即是結(jié)構(gòu)中發(fā)生損傷的位置。其工作基礎(chǔ)是：當(dāng)結(jié)構(gòu)中存在損傷時，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度減小，由式(5)可知，結(jié)構(gòu)的柔度增大，依據(jù)SMFC指標(biāo)的計算方法，結(jié)構(gòu)中損傷位置的SMFC會隨之增大，因此所繪制的SMFC(i)曲線中，曲線的突變處即為損傷的區(qū)域。

2 鯨魚優(yōu)化算法

2.1 基本鯨魚算法

(1)追蹤獵物階段

根據(jù)鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)算法這個名稱可知，該算法是模擬鯨魚的捕食過程來追蹤捕食獵物。但是理論與實際往往存在出入，在面對實際問題時，需要假定WOA算法中的當(dāng)前種群的目標(biāo)獵物為實際問題的最優(yōu)解，那么種群中的所有個體將向著捕食該目標(biāo)獵物進(jìn)行移動改變自身位置，其數(shù)學(xué)表達(dá)式下：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：Max_iter為最大迭代次數(shù)。

(2)捕食獵物階段

WOA算法的捕食獵物階段同樣類似于鯨魚捕食行為。首先計算鯨魚與獵物之間的距離：

(15)

然后，用對數(shù)螺旋方程來表示鯨魚和獵物之間的位置，如式(16)所示。

(16)

式中：b是一個常量，用來確定螺旋的形狀；l為-1～1的隨機(jī)數(shù)。

而且為了模擬鯨魚捕食行為的兩種方式，假設(shè)在更新個體位置時按照式(15)或(16)進(jìn)行，兩種方式運行的可能均相同，其數(shù)學(xué)模型如下：

(18)

式中：p為算法選擇式(15)或(16)兩種方式更新的概率。

(3)尋找獵物階段

(19)

(20)

2.2 改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法(EWOA)

基本W(wǎng)OA算法并不是完美無缺的，它也存在著容易陷入局部最優(yōu)，計算效率不高等不足，本文針對這些缺點在基本W(wǎng)OA算法的基礎(chǔ)上提出了增強(qiáng)型的鯨魚優(yōu)化算法。

(20)

式中：ωmax為最大非線性權(quán)重；ωmin為最小非線性權(quán)重。

(21)

(22)

(23)

為了針對基本鯨魚優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)這一缺點，引入了微分?jǐn)_動因子λ，可以使種群個體更易跳出局部最優(yōu)實現(xiàn)全局最優(yōu)求解。

(24)

式中：F為擾動常量。

因此，式(21)可更新為：

(25)

然而，式(23)中的對數(shù)螺旋方程可能不是最好的更新方式[12]，如果螺旋步長的范圍過大，基本的WOA算法將無法對整個尋優(yōu)空間進(jìn)行搜索。本文將式(23)中的對數(shù)項改為常數(shù)項，式(23)更新如下：

(26)

綜上所述，改進(jìn)后的WOA算法的具體數(shù)學(xué)模型為：

(27)

2.3 算法性能評價

引入常見的測試函數(shù)，將EWOA算法與WOA算法進(jìn)行對比來展現(xiàn)EOWA算法的優(yōu)劣。

相關(guān)測試函數(shù)為：

(28)

(29)

(30)

(31)

設(shè)種群大小為100，最大迭代次數(shù)為500次，取最大非線性權(quán)重和最小非線性權(quán)重分別為ωmax=0.9，ωmin=0.4，擾動常量F=0.6。圖1為測試函數(shù)計算迭代圖。

例如，教師在向?qū)W生演示了水果中維生素C的還原性實驗后，鼓勵學(xué)生在掌握實驗原理和步驟的基礎(chǔ)上，對生活中的水果的其他元素進(jìn)行實驗探究，不僅能讓學(xué)生在生活中鞏固化學(xué)理論知識，更能讓學(xué)生在實踐中鍛煉實驗操作技能，提高學(xué)生的化學(xué)實驗水平。學(xué)生在高中階段面臨著巨大的學(xué)習(xí)壓力，教師如果能在教學(xué)過程中將理論知識與生活結(jié)合起來，既能加快學(xué)生對知識的理解與接受效率，又能適當(dāng)緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生在相對輕松的環(huán)境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

從圖1可知，EWOA算法與WOA算法相比能夠跳出局部最優(yōu)，實現(xiàn)全局最優(yōu)求解，在計算效率上能更快地計算出最佳值。

圖1 測試函數(shù)計算迭代圖

3 損傷識別流程

3.1 目標(biāo)函數(shù)

通過測量柔度矩陣[13,14]與用數(shù)值模型計算的相應(yīng)柔度矩陣之間的差異來建立目標(biāo)函數(shù)。

(32)

式中：F為柔度矩陣，通過式(6)求得其上標(biāo)E和A分別表示損傷模型和數(shù)值模型；x=(x1,…,xN)∈[0,1]N為設(shè)計變量，表示剛度折減系數(shù)。

3.2 損傷識別步驟

本文所提方法的主要步驟如下：

(1)運用SMFC指標(biāo)判斷結(jié)構(gòu)損傷：1)計算整個結(jié)構(gòu)的SMFC值；2)計算削弱“臨近效應(yīng)”后改進(jìn)的SMFC值。

(2)運用改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法(EWOA)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行若干次優(yōu)化迭代，從而計算出上步定位出的損傷位置程度。

4 損傷識別

4.1 數(shù)值算例

簡支梁全長5 m(圖2)，結(jié)構(gòu)彈性模量為30 GPa，橫截面面積為0.072 m2，材料密度為2360 kg/m3，截面慣性矩為8.64×10-5m4。用剛度矩陣的折減來表示結(jié)構(gòu)損傷，并虛設(shè)了單點和多點兩種損傷工況，見表1。其損傷定位結(jié)果與上節(jié)所述FCMD，RMF，RMFC指標(biāo)進(jìn)行對比，見圖3。

圖2 簡支梁結(jié)構(gòu)簡圖

表1 簡支梁損傷工況

根據(jù)SMFC曲線的突變處來確定結(jié)構(gòu)中的損傷位置。從圖3a～3c中可以看出FCMD和RMF中的最大值即是結(jié)構(gòu)中的損傷位置，但是其臨近單元的指標(biāo)值相比于其他未損傷單元而言同樣也很大，那么當(dāng)損傷很小時就會影響損傷單元的判斷；而RMFC只能粗略地定位出結(jié)構(gòu)中的損傷位置。

綜上所述，SMFC指標(biāo)可以有效地識別出結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域位置，現(xiàn)有指標(biāo)FCMD，RMF，RMFC也能夠識別出損傷位置，但還是劣于SMFC指標(biāo)。

圖3 工況1與工況2下簡支梁損傷識別參數(shù)對比情況

采用EWOA算法對上述兩個數(shù)值進(jìn)行迭代求解時，其相關(guān)參數(shù)：種群大小為100，最大迭代次數(shù)為50次，最大非線性權(quán)重ωmax=0.9，ωmin=0.4，擾動常量F=0.6。將本文中第三部分所提出的兩步法和直接法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4，5和表2所示。

圖4 四邊簡支板模型/m

圖5 簡支梁損傷識別結(jié)果

表2 四邊簡支板的損傷識別結(jié)果

由最終量化損傷程度的結(jié)果可知，對于單點及多點損傷，該方法能在準(zhǔn)確定位出損傷位置的同時也能精確地量化出對應(yīng)的損傷大小。在單點損傷情況下，直接法對梁結(jié)構(gòu)的損傷識別有1.14%的誤差，對板結(jié)構(gòu)的識別效果較好，在多點損傷情況下，直接法均不能得出較好的識別效果，最高誤差高達(dá)2.5%。

4.2 簡支梁試驗

簡支梁全長為5 m，共劃分為10個單元，每個單元長0.5 m，所用單元為2結(jié)點6自由度單元。結(jié)構(gòu)的彈性模量為30 GPa，橫截面面積為0.072 m2,材料密度為2360 kg/m3，截面慣性矩為8.64×10-5m4。如圖6所示，本試驗采用加質(zhì)量塊方式來模擬損傷。質(zhì)量塊的重量為20 kg，長0.3 m，寬0.2 m，厚0.15 m。通過增加梁質(zhì)量百分比來估計真實損傷程度[15]。

以簡支梁模型為例，假設(shè)其約束條件不變，考慮質(zhì)量變化對其自振頻率的影響，簡支梁第n階無阻尼自振頻率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(33)

式中：l，b，h分別為簡支梁的跨度、寬度與高度；E為混凝土彈性模量；M為簡支梁質(zhì)量。

由式(33)可知，當(dāng)質(zhì)量越大時，簡支梁的自振頻率越小。用加質(zhì)量塊方式來模擬損傷，當(dāng)加的質(zhì)量塊越重時，其損傷程度也就越大。

圖6 試驗設(shè)置

本試驗設(shè)置了3種損傷工況，見表3。加質(zhì)量塊的位置選在距離左端支座2.5 m處。從表3可知，頻率隨著損傷程度加劇而減小，本試驗選取前四階測量頻率與振型進(jìn)行損傷識別。

表3 結(jié)構(gòu)損傷工況

將損傷工況1～3的損傷數(shù)據(jù)分別引入基準(zhǔn)有限元模型，并與基準(zhǔn)有限元模型計算的模態(tài)數(shù)據(jù)相結(jié)合形成目標(biāo)函數(shù)，通過改進(jìn)的鯨魚算法對SMFC指標(biāo)所判斷出的可能損傷單元進(jìn)行識別，并與直接法(即不用疊加模態(tài)柔度差曲率指標(biāo)進(jìn)行損傷定位，直接運用改進(jìn)的鯨魚算法對簡支梁共10個單元進(jìn)行損傷識別)進(jìn)行比較，損傷識別結(jié)果如圖7所示。

圖7 損傷識別

與直接法相比，本文提出的方法(兩步法)可以大大減少識別出的損傷單元數(shù)，并能準(zhǔn)確識別損傷的嚴(yán)重程度。對于損傷工況1～3而言，采用兩步法時，其識別最大誤差為0.82%，而直接法的最大誤差為4.87%。因此，采用兩階段方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別時具有更準(zhǔn)確的特點。

5 結(jié) 論

根據(jù)數(shù)值算例的結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

(1)提出了SMFC指標(biāo)來確定梁結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)的損傷位置。與FCMD，RMF，RMFC指標(biāo)相比，SMFC指標(biāo)可以更好地定位出梁結(jié)構(gòu)中的損傷單元。同時，提出了一種減少“臨近影響”引起板結(jié)構(gòu)虛假報警的方法，以進(jìn)一步改進(jìn)SMFC。

(2)通過四個基本測試函數(shù)證明了EWOA算法在計算效率與計算精度上均有一定的改善，其收斂速度加快且能夠跳出局部最優(yōu)，實現(xiàn)全局尋優(yōu)求解。

(3)數(shù)值算例結(jié)果表明本文方法能夠有效識別出二維梁結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)的損傷位置及其對應(yīng)程度。

(4)用簡支梁試驗來驗證了本文所提出方法的有效性，為實際結(jié)構(gòu)的損傷識別提供了一種新思路。