鄒文龍 李星 張惠超

中鐵科學(xué)研究院有限公司，成都610032

在我國山區(qū)建設(shè)中，由于場地條件限制，大量基礎(chǔ)設(shè)施不可避免地修建在臨近山坡的地段，如跨河谷的橋梁樁基、高壓輸電線塔基礎(chǔ)等［1］。對于實際工程中的此類臨坡地基問題，GB 50007—2011《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》中給出了相應(yīng)的設(shè)計方法，但其規(guī)定多為經(jīng)驗值，缺乏理論依據(jù)。為確保臨近邊坡建筑物的安全穩(wěn)定，臨坡地基承載力的研究具有社會與工程意義。臨坡地基承載力問題是平地地基承載力問題的延伸，Meyerhof［2］最早研究了這個問題。此后，臨坡地基承載力引起了世界各國學(xué)者的關(guān)注，Kusakabe等［3］以及Georgiadis［4］為本問題的研究和發(fā)展做出了重要貢獻。我國學(xué)者很早也開始關(guān)注這個問題。早在1984年，張明楠等［5］基于彈性力學(xué)理論給出了斜坡頂部承載力的解。此后，以試驗［6-7］、理論計算［8］和數(shù)值仿真方法［9］為主要手段的成果大量涌現(xiàn)。尉學(xué)勇、趙煉恒、胡衛(wèi)東等［10-12］雖給出了明確的計算方法，但都存在各自的問題，如基礎(chǔ)底面以下滑塊近似為等腰三角形，計算模型沒有真實地考慮基礎(chǔ)埋深等。另外，既有理論方法大多采用極限分析上限法開展臨坡地基承載力的研究，但設(shè)計人員更熟悉的卻是應(yīng)用廣泛的極限平衡理論。本文在既有研究成果的基礎(chǔ)上，基于極限平衡理論，建立各滑塊的靜力平衡方程，通過引入非線性規(guī)劃算法解出臨坡地基極限承載力。

1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式

臨坡地基的極限承載力與其達到極限狀態(tài)時所對應(yīng)的臨界破壞模式密切相關(guān)，確定臨坡地基的破壞模式是進行臨坡地基承載力計算的重要前提。Meyerhorf［2］最早基于滑移線理論近似確定了臨坡地基破壞模式，由于此簡化模型能方便而不失精度地解決實際問題，此后關(guān)于臨坡地基承載力的研究普遍都采用這種破壞模式，本文也沿用該研究思路。

由于邊坡的存在，基礎(chǔ)下部地層中的應(yīng)力分布與平地地基相比具有不對稱的特性，這將導(dǎo)致臨坡地基破壞模式的不對稱。另外，邊坡的存在也使臨坡側(cè)相較于遠(yuǎn)坡側(cè)更容易發(fā)生破壞。綜上所述，為了給出合理的臨坡地基承載力解，結(jié)合實踐經(jīng)驗并參考文獻［6，13］的既有研究成果，提出了由對數(shù)螺旋線和直線組成的破裂面的破壞模式。臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式見圖1。假定坡度為β的邊坡坡頂?shù)孛嫠?，寬度為b的臨坡基礎(chǔ)埋深為d，基礎(chǔ)邊緣與坡頂邊緣的距離為λb，其中λ為臨坡距離與基礎(chǔ)寬度的比值。在均勻分布的極限壓力即條形基礎(chǔ)的極限承載力qu的作用下達到極限狀態(tài)，破裂面與坡面的夾角為η，基礎(chǔ)底面以下的滑塊為一個非等腰三角形ABC，其兩個底角為α1和α2；夾在主動區(qū)ABC和被動區(qū)ADKEM之間的過渡區(qū)ACD是一個頂角為θ的曲邊三角形區(qū)域，曲線邊界為對數(shù)螺旋線。

圖1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式

根據(jù)上述臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力計算的幾何分析模型，通過幾何關(guān)系可以獲得三角形ABC的兩條邊AC和BC的長度LAC、LBC，即

過渡區(qū)ACD的邊界為對數(shù)螺旋線，根據(jù)對數(shù)螺旋線的方程，邊長LAD計算式為

式中：φ為土體的內(nèi)摩擦角。

為求解被動區(qū)滑面DK的長度LDK，可以通過點D與坡面的距離建立方程，化簡后為

2 分析推導(dǎo)

2.1 被動區(qū)受力分析

對被動區(qū)ADKEM進行受力分析，其受力分析見圖2。其中，N1和T1為作用于界面DK上的法向力和切向力，N2和T2為作用于界面AD上的法向力和切向力，G1為被動區(qū)自身重力。

圖2 被動區(qū)受力分析

被動區(qū)在界面AD、DK上的合力及自身重力的作用下達到極限平衡狀態(tài)，水平和豎直方向的靜力平衡方程分別為

另外，被動區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，界面DK和AD上的切向力和法向力滿足

式中：c為土體的黏聚力。

被動區(qū)自身重力可表示為

式中：γ為土體的重度；S1、S2、S3分別為△ADM、△DEM、△DEK的面積，S1=-d LADcos(α1+θ)/2，S2=λb[d+LADsin(α1+θ)]/2，S3=LDKhsinη/(2sinβ)，h為坡面剪出口距離坡面的深度，h=d+LADsin(α1+θ)+LDKsin(β-η)。

通過聯(lián)立式（5）—式（9）可以解出被動區(qū)邊界DK和界面AD上所受的力的表達式。這些力都是關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)α1、θ等的表達式。

2.2 過渡區(qū)受力分析

對過渡區(qū)ACD進行受力分析，見圖3。其中，N3和T3分別為作用于界面AC上的法向力和切向力，G2為過渡區(qū)自身重力。過渡區(qū)在界面AD、AC、CD上的合力及自身重力的作用下達到極限平衡狀態(tài)。

圖3 過渡區(qū)受力分析

假設(shè)界面CD上的任意一點R處所受的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力分別為σR和τR，由于過渡區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，即

若σR與σRtanφ的合力為σR0，其與σR的夾角為φ。根據(jù)對數(shù)螺旋線的幾何性質(zhì)，σR0是通過旋轉(zhuǎn)中心A的。因此，作用在點R上的合力就可以分解為指向旋轉(zhuǎn)中心的σR0和切向力c。另外，土壓力作用點一般位于界面的1/2到下1/3處之間，考慮到極限狀態(tài)時上部荷載遠(yuǎn)大于破壞區(qū)域土體自重，為簡化分析，假設(shè)N2和N3都作用于各自界面的中點處。

對過渡區(qū)ACD以點A建立力矩平衡方程

式中：M2、M3分別為N2、N3產(chǎn)生的力矩，M2=N2LAD/2，M3=N3LAC/2；MCD為CD界面上黏聚力產(chǎn)生的力矩，為過渡區(qū)重力力矩，MG=γSACDL，SACD為過渡區(qū)ACD的面積，為過渡區(qū)重力力矩的力臂。

根據(jù)對數(shù)螺旋線幾何性質(zhì)可知

式中：、為形心坐標(biāo)。

、的表達式分別為

整理式（11）—式（14），N3可以寫為關(guān)于N2的表達式。由于過渡區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，T3可以寫為

N2和T3是一個僅關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)的表達式。

2.3 主動區(qū)受力分析

對主動區(qū)ABC進行受力分析，見圖4。其中，N4和T4分別為作用于界面BC上的法向力和切向力，G3為主動區(qū)ABC的重力。

圖4 主動區(qū)受力分析

主動區(qū)在界面AC、BC、AB上的合力及自身重力的作用下達到極限平衡狀態(tài)，水平方向和豎直方向的靜力平衡方程分別為

G3表達式為

由于主動區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，T4可以寫為

通過聯(lián)立式（16）—式（19）可以解出主動區(qū)界面BC上的法向力N4和切向力T4以及作用在AB界面上的極限荷載qu。這些力都是關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)的表達式。

2.4 臨坡地基承載力的極限平衡解

由于臨坡地基極限承載力qu表達式僅與破壞模式的幾何參數(shù)α1、α2、θ和η有關(guān)，則地基極限承載力實際上可以看做為這些幾何參數(shù)的函數(shù)，即

式（20）是通過聯(lián)立式（1）—式（19）解得的。其中，考慮到各角度和長度應(yīng)具有物理意義，且點C、點D處破裂面應(yīng)光滑連續(xù)，各幾何參數(shù)的取值應(yīng)滿足

根據(jù)潘家錚［14］最大最小原理，式（20）的最小值就是地基極限承載力。于是該問題轉(zhuǎn)化為：破壞模式的幾何參數(shù)在其各自合理的范圍內(nèi)變化時，通過式（20）求得極限承載力的最小值。這是一個非線性規(guī)劃問題，可以通過MATLAB工具箱中的fmincon求解。

3 算例驗證與分析

前文以極限平衡理論為基礎(chǔ)，建立了臨坡地基極限承載力的計算方法，為驗證其合理性與可行性，有必要與既有研究成果對比。

3.1 算例一

蔣洋等［15］利用有限元數(shù)值模擬研究了臨坡地基極限承載力，文中算例基礎(chǔ)寬度b=1 m，地基土重度γ=17 kN/m3，邊坡的坡度為30°。以文獻［15］中的算例為例，采用文獻［16］方法及本文方法計算不同地基土的抗剪強度參數(shù)c、φ以及基礎(chǔ)埋深d時臨坡地基承載力，見表1?？芍罕疚姆椒ㄅc兩種既有方法的計算結(jié)果吻合，將兩種既有方法的平均值作為參照，本文方法與平均值的最大相對誤差在10%以內(nèi)，這表明了本文方法的合理性與可行性。由算例的幾何條件可以發(fā)現(xiàn)，本文方法不僅適用于臨坡基礎(chǔ)與坡頂邊緣的距離不為0的情況，也適用于基礎(chǔ)有一定埋深的情況。

表1 算例一臨坡地基承載力對比 kPa

3.2 算例二

趙明華等［17］將極限分析上限法與有限元法相結(jié)合，對臨坡地基承載力開展研究，并給出了大量算例。以文獻［17］中的算例為例，采用文獻［17］方法及本文方法計算的臨坡地基承載力見表2。其中基礎(chǔ)寬度選取為1 m，地基土的重度為20 kN/m3。

表2 算例二臨坡地基承載力對比 kPa

由表2可知：①本文提出的基于極限平衡理論的臨坡地基承載力計算方法的計算結(jié)果與上限有限元方法結(jié)果的最大相對誤差在14%以內(nèi)，且絕大部分都在5%以內(nèi)，這表明了本文方法的合理性與正確性。②本算例中不同工況間的變量包括了坡角、臨坡距離、基礎(chǔ)埋深、黏聚力及內(nèi)摩擦角，且不同工況下均能獲得與既有方法十分吻合的計算結(jié)果，也表明本文方法具有廣泛的適用性。③通過控制變量法比較各工況下的計算結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，臨坡地基承載力隨坡度的增大而減小，隨地基土的抗剪強度指標(biāo)的增大而增大，隨臨坡距離的增大而增大，隨基礎(chǔ)埋深的增加而增大。上述規(guī)律都符合工程實踐，也側(cè)面反映出本文方法的合理性。

3.3 算例三

臨坡地基破壞模式的合理確定關(guān)乎所求極限承載力的正確性。為驗證本文方法所求結(jié)果對應(yīng)的破壞模式的合理性，以文獻［18］中的算例為例，采用文獻［18］方法及本文方法對比不同工況下臨坡地基的破壞模式，結(jié)果見圖5。其中，工況一的邊坡坡角為30°，基礎(chǔ)寬度為1 m，地基土重度為20 kN/m3，內(nèi)摩擦角為40°，c/（γb）=1；工況二的邊坡坡角為20°，基礎(chǔ)寬度為1 m，地基土重度為20 kN/m3，內(nèi)摩擦角為10°，c/（γb）=0.5。

由圖5可知，本文方法所得的破壞模式與利用數(shù)值模擬方法所得結(jié)果吻合良好。這表明本文方法不僅能獲得合理可靠的臨坡地基承載力值，也可以獲得合理可靠的臨坡地基破壞模式，為防治相關(guān)地質(zhì)災(zāi)害和巖土工程設(shè)計提供依據(jù)。

圖5 算例三不同工況時邊坡破壞模式對比

3.4 算例四

臨坡建筑物地基受邊坡影響的臨界距離是實際工程中遇到的重要問題。GB 50007—2011中雖有相關(guān)規(guī)定，但其中規(guī)定缺乏理論依據(jù)。為此，應(yīng)探討臨坡建筑物安全距離及其規(guī)律。

以基礎(chǔ)寬度為1 m，重度為20 kN/m3，c/（γb）=1的邊坡為例，采用本文所提出方法，討論不同坡角和內(nèi)摩擦角情況下臨坡地基承載力與臨坡距離比的關(guān)系，結(jié)果見圖6?？芍孩佼?dāng)?shù)鼗恋目辜魪姸纫欢〞r，無論坡角大小如何，隨著臨坡距離的增大，臨坡地基的極限承載力都將逐漸增大并趨近于同一個值，即平地地基承載力。但達到平地地基承載力時所對應(yīng)的臨坡距離比與坡角相關(guān)，坡角越大，邊坡對地基承載力的削弱作用越大，使邊坡不再產(chǎn)生影響的臨界距離也越大。②不同工況下所對應(yīng)的臨界距離是顯著不同的。以β=45°，φ=30°的工況為例，當(dāng)臨坡距離比為5時，邊坡對地基承載力的削弱作用仍存在，而按照現(xiàn)行規(guī)范進行處理是偏于危險的。

圖6 算例四臨坡地基承載力與臨坡距離比關(guān)系

4 結(jié)語

通過臨坡地基破壞模式中各滑塊的靜力平衡方程，給出了臨坡地基極限承載力的計算步驟，引入非線性規(guī)劃算法，建立了臨坡地基承載力的計算方法。

采用多個既有算例的數(shù)據(jù)，利用本文方法進行計算，并與既有結(jié)果進行對比。本文方法與各數(shù)值模擬結(jié)果均吻合較好，證明本文方法兼具合理性及廣泛的適用性。所求破壞模式結(jié)果與既有方法結(jié)果一致也展現(xiàn)出本文方法的可靠性。

通過臨坡臨界距離的討論，發(fā)現(xiàn)邊坡對地基承載力削弱效果消失的臨界距離與多方面因素有關(guān)，而現(xiàn)行規(guī)范的規(guī)定可能使設(shè)計偏于危險。本文方法可以為防治相關(guān)地質(zhì)災(zāi)害和巖土工程設(shè)計提供依據(jù)。