王秋萍 秦世強(qiáng)

武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢430070

高速鐵路橋梁運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，列車和橋梁形成一個(gè)車橋耦合系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)十分復(fù)雜，會(huì)影響行車安全。為評(píng)價(jià)車橋耦合動(dòng)力學(xué)行為，準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)十分重要［1-2］。模態(tài)參數(shù)包括頻率、阻尼比和模態(tài)振型，是結(jié)構(gòu)基本的動(dòng)力參數(shù)，也是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析、損傷識(shí)別的基本參數(shù)。與傳統(tǒng)測(cè)力法相比，環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法通過(guò)測(cè)試結(jié)構(gòu)在風(fēng)、水流、地脈動(dòng)等環(huán)境荷載下的微幅振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)合時(shí)域、頻域算法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，具有測(cè)試簡(jiǎn)便、無(wú)須額外激勵(lì)設(shè)備，不會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)造成損傷等優(yōu)點(diǎn)。因此，環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法在橋梁工程領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用［3-4］。

隨機(jī)子空間識(shí)別（Stochastic Subspace Identification，SSI）是一種時(shí)域識(shí)別方法，是環(huán)境激勵(lì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中較為可靠的一種算法。西寧北川河橋［5］、岸橋［6］、Millau高架橋［7］等已經(jīng)驗(yàn)證了SSI算法的實(shí)用性。基于環(huán)境激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)SSI算法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)分為四個(gè)步驟：①數(shù)據(jù)采集；②數(shù)據(jù)預(yù)處理；③系統(tǒng)矩陣識(shí)別；④模態(tài)參數(shù)識(shí)別。第4步也稱作模態(tài)分析后處理，主要是利用穩(wěn)定圖方法來(lái)確定各個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)識(shí)別的頻率和阻尼比，并整合各個(gè)測(cè)試組的信息識(shí)別模態(tài)振型。對(duì)于分多個(gè)測(cè)試組完成的橋梁環(huán)境振動(dòng)測(cè)試，這種后處理十分繁瑣，不僅要處理多個(gè)測(cè)試組的數(shù)據(jù)，而且須要區(qū)分穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)，使得整個(gè)模態(tài)分析過(guò)程效率大幅降低。

許多學(xué)者針對(duì)這個(gè)問(wèn)題開(kāi)展了研究。樊江玲等［8］在穩(wěn)定圖中引入了一種可表征各階模態(tài)貢獻(xiàn)量的分量能量指標(biāo)作為穩(wěn)定判據(jù)，從而剔除虛假模態(tài)。陳永高等［9］引入余弦相似定理，提出頻率相似度和振型相似度，從而剔除穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)。Reynders等［10］提出模態(tài)轉(zhuǎn)移范數(shù)ni的概念來(lái)區(qū)分系統(tǒng)真實(shí)模態(tài)和虛假模態(tài)，ni越小，該階模態(tài)是虛假模態(tài)的可能性就越高。常軍等［11］提出一種兩階段穩(wěn)定圖的方法，首先對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行分段構(gòu)造穩(wěn)定圖，然后對(duì)各段識(shí)別的模態(tài)參數(shù)再一次用穩(wěn)定圖方法分析，從而去除虛假模態(tài)。Cara等［12］通過(guò)研究各階模態(tài)對(duì)實(shí)測(cè)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，確定了系統(tǒng)階次的選定方法，避免系統(tǒng)階次過(guò)高帶來(lái)虛假模態(tài)或過(guò)低引起模態(tài)遺漏。

在上述研究基礎(chǔ)上，針對(duì)穩(wěn)定圖中存在的系統(tǒng)階次確定較為隨意和虛假模態(tài)問(wèn)題，本文提出基于奇異熵增量的系統(tǒng)階次計(jì)算方法和帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，并通過(guò)一座高速鐵路連續(xù)梁橋?qū)е眯艆^(qū)間穩(wěn)定圖的效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 隨機(jī)子空間識(shí)別

結(jié)構(gòu)的隨機(jī)狀態(tài)空間模型為

式中：x k、x k+1分別為系統(tǒng)在第k、k+1個(gè)時(shí)間點(diǎn)處的狀態(tài)向量；y k為測(cè)試到的輸出響應(yīng)向量；w k、v k分別為測(cè)試過(guò)程誤差和系統(tǒng)建模誤差，均假定為互不相關(guān)的白噪聲；A、C分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣。

隨機(jī)子空間識(shí)別的主要思路是通過(guò)實(shí)測(cè)輸出響應(yīng)向量y k識(shí)別系統(tǒng)矩陣（AC），結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)可通過(guò)系統(tǒng)矩陣特征值分解獲取。有兩種方式識(shí)別系統(tǒng)矩陣：①直接從響應(yīng)數(shù)據(jù)出發(fā)構(gòu)建Hankel矩陣，引入卡爾曼濾波、正交投影和QR分解，稱為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI（SSI-data）；②從響應(yīng)數(shù)據(jù)的協(xié)方差出發(fā)構(gòu)建輸出協(xié)方差矩陣（Toeplitz矩陣），引入奇異值分解，稱為協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI（SSI-cov）。兩種方式得到的結(jié)果近似，但計(jì)算效率不同；另外，SSI-cov識(shí)別過(guò)程更容易量化模態(tài)參數(shù)的方差［13］。因此，本文選擇SSI-cov作為試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析算法。SSI算法較成熟，不再贅述其理論過(guò)程。詳細(xì)的SSI算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以參考文獻(xiàn)［6］。

2 系統(tǒng)階次的確定

系統(tǒng)階次n是SSI算法中須要確定的一個(gè)參數(shù)。由于模態(tài)以共軛對(duì)形式出現(xiàn)，因此系統(tǒng)階次取偶數(shù)。系統(tǒng)階次取值過(guò)小會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)遺漏，而取值過(guò)大會(huì)出現(xiàn)虛假模態(tài)。因此，合理地估計(jì)系統(tǒng)階次十分重要。

確定系統(tǒng)階次的方法主要有兩種：

1）奇異值分解法。通過(guò)觀察Toeplitz矩陣奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的結(jié)果來(lái)確定系統(tǒng)階次。當(dāng)系統(tǒng)階次逐漸增大時(shí)，奇異值會(huì)逐漸減小至0。這種方法在數(shù)值模擬中比較精確，但實(shí)際工程中Toeplitz矩陣的奇異值并不是突變到0，而是緩緩地減小，通過(guò)觀察奇異值的變化很難確定系統(tǒng)階次。

2）穩(wěn)定圖法。基本思路是給系統(tǒng)階次賦予一個(gè)較大的值nmax，循環(huán)求解每個(gè)系統(tǒng)階次對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)，然后以頻率為橫軸、系統(tǒng)階次為縱軸繪制穩(wěn)定圖，穩(wěn)定圖中的散點(diǎn)稱為穩(wěn)定點(diǎn)，須滿足相鄰兩階頻率的相對(duì)誤差dfi不超過(guò)1%、相鄰兩階阻尼比的相對(duì)誤差dξi不超過(guò)5%，相鄰兩階模態(tài)振型的模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC）值的相對(duì)誤差dMACi不超過(guò)1%。結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)的穩(wěn)定點(diǎn)會(huì)逐漸形成一條穩(wěn)定軸，而虛假模態(tài)一般只會(huì)形成一些離散點(diǎn)。

目前，穩(wěn)定圖方法已經(jīng)成為SSI算法的通用工具，其有效性已經(jīng)在許多工程實(shí)例中得到證明。合理地確定穩(wěn)定圖中nmax具有一定的價(jià)值。當(dāng)nmax取值較大時(shí)，循環(huán)求解各階模態(tài)參數(shù)的計(jì)算時(shí)間會(huì)顯著增加，且虛假模態(tài)會(huì)逐漸形成穩(wěn)定軸，影響系統(tǒng)模態(tài)的拾取。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，提出一種奇異熵增量加權(quán)法來(lái)估計(jì)系統(tǒng)階次。

熵是反映系統(tǒng)不確定度的一個(gè)指標(biāo)。對(duì)奇異值而言，奇異熵Ek定義為

式中：k為奇異熵的階次；ΔEi為奇異熵階次i時(shí)的奇異熵增量，可以通過(guò)下式得到。

式中：λi為Toeplitz矩陣的奇異值。

奇異熵增量在低階時(shí)λi較大，在高階時(shí)λi較小，且λi隨系統(tǒng)階次的增加逐漸減小，這種變化規(guī)律不隨信號(hào)的噪聲情況而改變。已有研究利用奇異熵增量的一階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定系統(tǒng)階次，當(dāng)奇異熵增量的一階導(dǎo)數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí)，對(duì)應(yīng)的階次即為系統(tǒng)階次。然而，這種方法仍須要作圖觀察。本文利用奇異熵增量的特性構(gòu)造奇異熵階次i處的權(quán)重系數(shù)εi。εi定義為

計(jì)算得到系統(tǒng)階次n，即

系統(tǒng)階次n應(yīng)取其鄰近的較大偶數(shù)。該方法簡(jiǎn)單易行，避免了作圖觀察，且便于模態(tài)參數(shù)自動(dòng)化識(shí)別。

3 帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖

穩(wěn)定圖方法中另一個(gè)問(wèn)題是虛假模態(tài)。引起虛假模態(tài)的原因包括實(shí)測(cè)過(guò)程產(chǎn)生的信號(hào)噪聲以及計(jì)算假定帶來(lái)的模擬誤差。信號(hào)噪聲引起的虛假模態(tài)可以通過(guò)信號(hào)預(yù)處理、合理選定系統(tǒng)階次避免，而模擬誤差則須要量化。量化的誤差稱為模態(tài)參數(shù)的不確定度σ，能夠衡量模態(tài)參數(shù)的可信程度。在SSI算法中，模態(tài)參數(shù)最終從狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C獲得。因此，模態(tài)參數(shù)的不確定度由A和C的誤差導(dǎo)致，即識(shí)別的A和C僅僅是其真實(shí)值的估計(jì)

為了分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化，首先分析可觀矩陣O i的一階擾動(dòng)ΔO i， 即

式中：U、S分別為輸出協(xié)方差矩陣奇異值分解后得到的正交矩陣和對(duì)角矩陣；ΔU、ΔS分別為正交矩陣和對(duì)角矩陣的一階擾動(dòng)。

由于狀態(tài)矩陣A可以寫成可觀矩陣O i的表達(dá)式，因此，狀態(tài)矩陣A的一階擾動(dòng)ΔA可以表達(dá)為

式中：（·）?表示（·）的廣義逆。

此時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求解正交矩陣和對(duì)角矩陣的一階擾動(dòng)ΔU和ΔS。具體步驟：基于矩陣敏感性分析推導(dǎo)狀態(tài)矩陣的一階擾動(dòng)，并量化單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定度；構(gòu)建頻率置信區(qū)間（f±σf）和阻尼比置信區(qū)間（ξ±σξ），σf、σξ分別為頻率f和阻尼比ξ的不確定度，并將其以誤差圖的形式繪制于穩(wěn)定圖中，用于輔助判斷虛假模態(tài)。置信區(qū)間越大，表明模態(tài)參數(shù)的不確定度越高，是虛假模態(tài)的可能性就越大；反之，表明是結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)的可能性越大。

4 連續(xù)梁橋模態(tài)參數(shù)識(shí)別

4.1 橋梁概況

Jalon高架橋位于西班牙境內(nèi)，是一座高速鐵路連續(xù)梁橋，主橋跨徑布置為（35+45×4+35）m。主橋全長(zhǎng)250 m，采用單箱單室等高截面雙線梁，箱梁頂寬12.94 m，底寬5.90 m，截面高3.22 m，見(jiàn)圖1。

圖1 橋梁立面及橫截面

4.2 環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)

為研究該橋的動(dòng)力特性，須對(duì)其進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)測(cè)試。設(shè)置12個(gè)GeoSIG無(wú)線加速度傳感器，其中4個(gè)作為參考點(diǎn)傳感器，其余8個(gè)作為移動(dòng)測(cè)點(diǎn)傳感器。每個(gè)測(cè)試組采樣時(shí)間約為15 min，采樣頻率為200 Hz；測(cè)點(diǎn)均布置于箱梁內(nèi)部，每個(gè)截面共布置3個(gè)測(cè)點(diǎn)（參見(jiàn)圖1），沿橋縱向每隔2.5 m設(shè)置1個(gè)測(cè)試截面，共101個(gè)測(cè)試截面，303個(gè)測(cè)點(diǎn)，見(jiàn)圖2。

圖2 測(cè)點(diǎn)布置及參考點(diǎn)位置（單位：m）

測(cè)試組4中參考點(diǎn)27處橫向加速度響應(yīng)見(jiàn)圖3?？芍?，在環(huán)境激勵(lì)作用下橋梁呈微幅振動(dòng)狀態(tài)，最大橫向加速度未超過(guò)1×10-3m/s2。

圖3 參考點(diǎn)27處橫向加速度響應(yīng)

4.3 識(shí)別結(jié)果分析

利用測(cè)試組4中加速度數(shù)據(jù)構(gòu)建輸出協(xié)方差矩陣得到奇異值分解結(jié)果和對(duì)應(yīng)的奇異熵增量，見(jiàn)圖4。可知：奇異值隨系統(tǒng)階次變化無(wú)明顯突變，很難通過(guò)觀察奇異值變化情況來(lái)確定系統(tǒng)階次；隨著系統(tǒng)階次的增加，奇異熵增量逐漸減小。按照前文方法計(jì)算得到系統(tǒng)階次為49.3，將系統(tǒng)階次設(shè)置為50時(shí)即可得到結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)。

圖4 奇異值與奇異熵增量隨系統(tǒng)階次變化曲線

通過(guò)分析測(cè)試組4的數(shù)據(jù)得到帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，見(jiàn)圖5。圖中頻率誤差線顯示了各個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的準(zhǔn)確程度，尤其頻率為0～1 Hz時(shí)，存在較多不確定度較高的穩(wěn)定點(diǎn)，影響了系統(tǒng)模態(tài)的拾取。當(dāng)頻率不確定度σf≤0.25、阻尼比不確定度σξ≤0.25時(shí)，圖5（a）中的虛假模態(tài)和離散點(diǎn)會(huì)被剔除，得到圖5（b）所示的穩(wěn)定圖，其更利于人工拾取真實(shí)模態(tài)。此外，圖5（a）中頻率為4～6 Hz時(shí)穩(wěn)定軸發(fā)生了分裂，另一個(gè)穩(wěn)定軸頻率不確定度相對(duì)較高，須進(jìn)一步判定是否為結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)。通過(guò)引入置信區(qū)間，能夠較好地區(qū)分部分虛假模態(tài)和真實(shí)模態(tài)，有效提高拾取穩(wěn)定軸的效率。

圖5 帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖

按照上述方法對(duì)其余測(cè)試組的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并獲取與圖5（b）類似的帶置信區(qū)間穩(wěn)定圖進(jìn)行各測(cè)試組模態(tài)參數(shù)的融合，以獲得模態(tài)參數(shù)的試驗(yàn)值。為了校核試驗(yàn)值，采用ANSYS建立橋梁有限元模型，通過(guò)理論模態(tài)分析獲取模態(tài)頻率的有限元計(jì)算值。采用實(shí)體單元模擬混凝土箱梁，采用梁?jiǎn)卧M橋墩；邊界條件按圖紙?jiān)O(shè)置，在E-1處設(shè)置移動(dòng)鉸支座，在E-2處設(shè)置固定支座；橋墩底部采用固結(jié)處理。

橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表1，其中頻率和阻尼比的試驗(yàn)值為各測(cè)試組識(shí)別結(jié)果的均值。

表1 橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

由表1可知：①頻率試驗(yàn)值與有限元計(jì)算值吻合良好，橫向振動(dòng)模態(tài)中，第1、2階頻率有限元計(jì)算值略低于試驗(yàn)值，第3、7、8階頻率有限元計(jì)算值略高于試驗(yàn)值；②除第8階外，其余階次頻率有限元計(jì)算值和試驗(yàn)值的相對(duì)誤差未超過(guò)5.00%；③第8階頻率有限元計(jì)算值與試驗(yàn)值相對(duì)誤差為8.36%，相對(duì)低階模態(tài)較高，但未超過(guò)10.00%；④由于環(huán)境激勵(lì)對(duì)橋梁的激勵(lì)程度有限，高階模態(tài)的識(shí)別誤差相對(duì)低階模態(tài)較高。豎向模態(tài)頻率的試驗(yàn)值與有限元計(jì)算值基本一致。⑤最大阻尼比不超過(guò)1.37%，阻尼較低。

5 結(jié)論

1）基于奇異熵增量的系統(tǒng)階次計(jì)算方法簡(jiǎn)單易行，避免通過(guò)觀察奇異值的變化情況來(lái)確定系統(tǒng)階次，且能夠在程序編制中直接實(shí)現(xiàn)，利于模態(tài)識(shí)別過(guò)程自動(dòng)化。

2）帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖能夠有效區(qū)分系統(tǒng)真實(shí)模態(tài)和虛假模態(tài)。由于信號(hào)受實(shí)測(cè)過(guò)程誤差等因素影響，對(duì)有些虛假模態(tài)須進(jìn)一步判定，但帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖仍能去除部分虛假模態(tài)。改進(jìn)的穩(wěn)定圖方法能夠有效協(xié)助用戶進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別后處理，提高SSI算法后處理的效率。

3）帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖識(shí)別出的橋梁模態(tài)參數(shù)試驗(yàn)值與有限元計(jì)算值吻合良好，表明帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖能有效應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。