張永發(fā), 蔣立志, 焦 猛, 蔡 琦

(海軍工程大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

在核動力裝置中,通常會采用冗余貯備結(jié)構(gòu)(如泵組、閥組等)以保證系統(tǒng)的可靠性[1-4]。而由于工作環(huán)境、運行功率等原因,工作部件與貯備部件的故障是以不同方式出現(xiàn)的,特別是在潛艇核動力裝置中,高溫、高鹽、振動等多種因素影響下,工作部件通常受到自身性能退化失效或由于外部沖擊突發(fā)失效[5-6],而貯備部件通常是由于突發(fā)的外部沖擊失效。

由于這兩類失效的存在,研究核動力裝置中溫貯備系統(tǒng)的可靠性規(guī)律[7-12]具有重要意義。Wu等[13]以核電站的給水子系統(tǒng)為例,研究了N中取K溫貯備系統(tǒng),提出了一種基于狀態(tài)的最佳檢查和維護(hù)時間計算模型。譚啟濤等[14]考慮到貯備系統(tǒng)失效相關(guān)問題,得出了冷貯備和溫貯備系統(tǒng)的可靠性評估相關(guān)性擬合計算模型。張民悅等[15]針對開關(guān)有優(yōu)先權(quán)且部件不同的溫貯備系統(tǒng),基于馬爾可夫過程開展了系統(tǒng)可靠性指標(biāo)相關(guān)研究。

在考慮沖擊的系統(tǒng)可靠性建模研究中,Allan等[16]研究了根據(jù)累積沖擊、極端沖擊及其組合具有不同類型失效的系統(tǒng)可靠性模型;Gao等[17]研究了考慮由多種外部沖擊引起的新型沖擊失效模式可靠性模型。劉漢蔥等[18]引入Copula理論,假設(shè)性能退化過程均為線性退化過程、沖擊過程為極端沖擊模型,建立了系統(tǒng)的可靠度評估模型。Igaki等[19]采用馬爾可夫過程研究了極端沖擊模型和累積沖擊模型,引入狀態(tài)刻畫系統(tǒng)特征的變化,對兩狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)行了分析研究。

當(dāng)前多數(shù)研究工作中均假設(shè)模型中相關(guān)的隨機(jī)時間變量服從指數(shù)分布等常用分布,導(dǎo)致建立的可靠性模型適用性不足。為了進(jìn)一步提升模型的適用性,一些學(xué)者將Neuts[20]提出的Phase-type(PH)分布引入可靠性建模領(lǐng)域。該分布具有良好的解析特性,因此基于PH分布建立的系統(tǒng)可靠性模型具有更廣泛的應(yīng)用范圍[21-26]。Riascos等[27]采用PH分布描述沖擊大小以及間隔時間,研究得到了累積沖擊模型下的系統(tǒng)可靠性參數(shù)。Zhao等[28]認(rèn)為系統(tǒng)的失效模式會隨著系統(tǒng)狀態(tài)的改變而發(fā)生改變,同時不同類型的沖擊會給系統(tǒng)狀態(tài)帶來不同的影響,并利用PH分布描述模型中的隨機(jī)時間變量,建立了相應(yīng)的優(yōu)化模型。Montoro等[29]假設(shè)沖擊過程為馬爾可夫達(dá)到過程,維修時間服從PH分布,建立了不同類型故障下的系統(tǒng)可靠性模型。隨后Montoro等[30]研究了沖擊到達(dá)為Poisson過程,部件壽命以及檢測間隔時間服從指數(shù)分布的k/n系統(tǒng),將該系統(tǒng)的更新時間表示為PH分布形式,并討論了不同k值下的系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。

綜上,本文以溫貯備系統(tǒng)為研究對象,采用PH分布為基本建模工具,假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有單個維修臺,工作部件會受到退化與沖擊的影響,而貯備部件僅會受到?jīng)_擊的影響,建立了一種適用性更強(qiáng)的溫貯備系統(tǒng)可靠性模型。

1 基礎(chǔ)理論

為進(jìn)一步說明連續(xù)PH分布應(yīng)用的可行性,下面對PH分布的相關(guān)定義和性質(zhì)進(jìn)行簡要介紹。

定義1[31]假設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X服從連續(xù)的PH分布,則相應(yīng)的分布函數(shù)形式如下:

(1)

式中:t≥0;T為可逆矩陣,階數(shù)為m,各元素中對角元素的符號均為負(fù)、其余元素符號均為非負(fù),且每行元素之和的符號均為非正;α是次隨機(jī)向量,含m個非負(fù)元素的行向量;e是全部元素都為1的列向量,且滿足αe≤1。

定義2[31]假設(shè)一個連續(xù)時間馬爾可夫鏈{I(t),t≥0},且該馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為(1,2,…,m+1),共有m+1個狀態(tài)。無窮小生成元的表達(dá)式如下:

(2)

式中:T為PH分布的生成元。由于狀態(tài)m+1的轉(zhuǎn)移概率為0,那么狀態(tài)m+1為吸收態(tài)。由于式(2)中每一行元素相加之和均為0,因此可以得到T0=-Te。

定義3[32]假設(shè)兩個矩陣A和B(階數(shù)分別為m×n和p×q),定義二者的Kronecker積如下:

(3)

根據(jù)式(3)的定義,可進(jìn)一步得出Kronecker積具有以下兩個性質(zhì):

C(A?B)=(CA)?B=A?(CB)

(4)

(A1?B1)(A2?B2)=(A1A2)?(B1B2)

(5)

定義4[32]m階矩陣A和n階矩陣B的Kronecker和定義如下:

A⊕B=A?In+Im?B

(6)

式中:In和Im均為單位矩陣。

2 模型假設(shè)

假設(shè)某溫貯備系統(tǒng)共包含n個相同部件,則該系統(tǒng)具有如下特性:n個相同部件中僅需有一個正常工作就能夠確保系統(tǒng)功能正常,其他部件則保持溫貯備狀態(tài),具體假設(shè)如下。

假設(shè)1工作部件壽命具有m階PH表示(α,T)。

假設(shè)2工作部件沖擊到達(dá)間隔時間具有l(wèi)階PH表示(β,s)。

假設(shè)3貯備部件沖擊到達(dá)間隔時間具有k階PH表示(φ,U)。

假設(shè)4維修時間具有d階PH表示(ε,G)。

假設(shè)5上述變量均相互獨立。

3 模型構(gòu)建

3.1 狀態(tài)空間

令H0表示所有部件均完好;H1表示系統(tǒng)正常運行,系統(tǒng)內(nèi)部有i個故障部件,其中i=1,2,…,n-1;Hn表示系統(tǒng)故障;x表示工作部件所處相位;y表示工作部件沖擊到達(dá)間隔期所處相位;z表示貯備部件沖擊到達(dá)間隔期所處相位;r表示維修工作所處相位。

因此,狀態(tài)空間可表示為Ω={H0,H1,…,Hn},其中,

H0=((x,y,z),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤z≤k)

Hi=((x,y,z,r),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤z≤k,

1≤r≤d)

Hn-1=((x,y,r),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤r≤d)

Hn=(r,1≤r≤d)

3.2 無窮小生成元

根據(jù)上述狀態(tài)空間劃分,可得該系統(tǒng)的無窮小生成元Q,其中，

下面對系統(tǒng)宏狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移進(jìn)行分析。

(1)H0→H0表示工作部件、貯備部件均正常,沖擊的相位沒有發(fā)生轉(zhuǎn)移,此時系統(tǒng)內(nèi)部無故障部件,因此有B00=T⊕S⊕U。

(2)H0→H1有表示系統(tǒng)內(nèi)部增加一個故障部件,T0α?Ilk?ε表示工作部件退化失效,emα?s0β?Ik?ε表示由于沖擊,工作部件突發(fā)失效,Iml?U0φ?ε表示由于沖擊,貯備部件突發(fā)失效,因此有:

B01=T0α?elβ?Ik?ε+emα?s0β?Ik?ε+

Iml?U0φ?ε

(3)H1→H0表示維修臺對故障件維修完畢,此時系統(tǒng)內(nèi)部故障部件數(shù)量為0,因此有:B10=Imlk?G0。

(4)Hi→Hi(i=1,2,…，n-2)表示系統(tǒng)內(nèi)部有i個故障部件,維修臺對故障部件進(jìn)行維修,系統(tǒng)正常運行,系統(tǒng)內(nèi)部任有貯備部件,因此有

A=T⊕S⊕U⊕G

(5)Hi→Hi+1(i=1,2,…,n-3)表示工作部件或貯備部件故障,因此有:

C=T0α?elβ?Ik d+

emα?s0β?Ik d+Iml?U0φ?Id

(6)Hi+1→Hi(i=1,2,…,n-2)表示完成故障部件維修,系統(tǒng)內(nèi)故障的部件數(shù)量變?yōu)閕,對故障部件的維修繼續(xù)進(jìn)行,因此有

D=Imlk?G0ε

(7)Hn-2→Hn-1表示系統(tǒng)內(nèi)部有n-1個故障部件時,工作部件或貯備部件故障,此時僅有一個工作部件,因此有

C(n -2)=T0α?Il?ek?Id+

emα?s0β?ek?Id+Im l?U0?Id

(8)Hn-1→Hn-1表示系統(tǒng)內(nèi)部有n-1個故障部件,維修臺對故障部件進(jìn)行維修,系統(tǒng)正常運行,系統(tǒng)內(nèi)部無貯備部件,因此有

A(n -1)=T⊕S⊕G

(9)Hn-1→Hn-2表示完成故障部件維修,系統(tǒng)內(nèi)故障的部件數(shù)量變?yōu)閕,對故障部件的維修繼續(xù)進(jìn)行,因此有

D(n-1)=Iml?φ?G0ε

(10)Hn-1→Hn表示由于退化或者沖擊工作部件故障,此時系統(tǒng)停止運行,因此有

Bn(n -1)=T0?el?Id+em?s0?Id

(11)Hn→Hn-1表示表示維修臺對故障部件維修完畢,此時系統(tǒng)內(nèi)故障部件數(shù)量為i,維修臺繼續(xù)對故障部件進(jìn)行維修,因此有

Bn(n -1)=α?β?G0ε

(12)Hn→Hn表示系統(tǒng)故障,維修臺對故障件進(jìn)行維修,因此有Bn n=G。

3.3 穩(wěn)態(tài)概率向量

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π=[π0,π1,…,πn]滿足:

(7)

那么,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量最終可以通過求解式(7)方程組獲得。

4 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

4.1 平均故障間隔時間

系統(tǒng)平均故障前時間(mean time to failure, MTTF)是指系統(tǒng)從故障狀態(tài)離開又重新回到故障狀態(tài)的間隔時間,定義如下:

MTTF=-γ(Q*)-1e

(8)

式中:

4.2 系統(tǒng)故障率

系統(tǒng)故障率r的定義是已工作到t時刻的系統(tǒng),在t時刻后單位時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)。根據(jù)Q的定義可進(jìn)一步得出:

r=πn -1Bn(n -1)

(9)

4.3 穩(wěn)態(tài)可用度

系統(tǒng)可用度是時間的函數(shù),而穩(wěn)態(tài)可用度A是指經(jīng)歷一定時間達(dá)到穩(wěn)定后,系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的概率。進(jìn)一步根據(jù)Ω*的定義,A可以表示為系統(tǒng)處于狀態(tài)空間Ω*={M,M=0,1,…,n-1}的概率,可得

(10)

5 算例分析

以核動力裝置中主泵的冗余泵組為分析對象,該泵組是典型的溫貯備系統(tǒng),由N個相同部件組成,其中工作部件壽命服從PH分布,具有(α,T)表示;工作部件沖擊到達(dá)間隔時間具有(β,S)表示;貯備部件沖擊到達(dá)間隔時間具有PH表示(φ,U);維修時間具有d階PH表示(ε,G)。

具體為

α=(1,0,0,0,0)

β=(1,0,0)

φ=(1,0)

ε=(1,0)

根據(jù)上述分析,將數(shù)據(jù)代入模型可得系統(tǒng)平均故障前時間、系統(tǒng)故障率、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與部件數(shù)量N之間的關(guān)系,如圖1～圖3所示。

圖1 平均故障前時間隨部件數(shù)量的變化規(guī)律Fig.1 Variation of the mean time before failure with number of components

圖2 系統(tǒng)故障率隨部件數(shù)量的變化規(guī)律Fig.2 Variation of the system failure rate with number of components

圖3 穩(wěn)態(tài)可用度隨部件數(shù)量的變化規(guī)律Fig.3 Variation of the steady-state availability with number of components

由圖1～圖3可知,隨著貯備部件數(shù)量的增加,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度與系統(tǒng)平均故障前時間隨之增加,并趨于平緩,而故障率則隨著貯備部件數(shù)量的增加而減少,并趨于平緩。

根據(jù)上述分析,研究人員在對相關(guān)裝備進(jìn)行可靠性設(shè)計時,可以根據(jù)實際需要,確定所需貯備的部件,以最低的成本獲得所需的可靠性指標(biāo)。

6 結(jié) 論

本文采用PH分布為基本建模工具,研究了核動力裝置中的溫貯備系統(tǒng)可靠性建模問題,以冗余泵組為算例給出了系統(tǒng)平均故障前時間、故障率、穩(wěn)態(tài)可用度等指標(biāo),分析了相關(guān)指標(biāo)與部件數(shù)量N的關(guān)系。在控制成本、效率、安全性等因素的情況下,對工程實踐中科學(xué)設(shè)計溫貯備系統(tǒng)具有一定的借鑒作用。