黃天耀, 李宇涵, 王 磊, 劉一民, 王希勤

(清華大學電子工程系, 北京 100084)

0 引 言

頻率捷變雷達具有優(yōu)異的抗干擾能力[1-3],從而受到越來越多的關注。采用傳統(tǒng)匹配濾波算法[4],可以對目標進行距離多普勒聯(lián)合估計。但傳統(tǒng)匹配濾波算法不可避免地存在旁瓣平臺問題[5],當場景中存在多個目標特別是強雜波時,強目標/雜波的旁瓣會掩蓋弱目標,導致虛警和漏檢?；诖祟悊栴},早期學者認為頻率捷變與動目標處理不相兼容[6]。

2005年前后新興的壓縮感知理論[7]為頻率捷變雷達的相參處理提供了新的思路。壓縮感知理論將傳統(tǒng)的目標參數(shù)估計問題建模為欠定方程求解問題。利用雷達觀測場景內在的稀疏性,壓縮感知算法給出方程的稀疏解,將目標信號準確重建,從而顯著減輕了旁瓣平臺問題[8],使得頻率捷變雷達在強雜波中實現(xiàn)了動目標檢測。2008年,文獻[5]提出了貪婪類壓縮感知算法。隨后,針對合成孔徑雷達成像[9-10]、逆合成孔徑雷達成像[11-13]、認知波形設計[14]等不同應用,學術界提出了相應的稀疏重建算法。其中,文獻[15]基于頻率捷變雷達實測數(shù)據,驗證了在存有水面和地面雜波條件下分別對水面和空中小目標的檢測能力。

研究壓縮感知算法準確重建頻率捷變雷達觀測場景的邊界條件是基礎性理論問題,具有重要的意義。本文旨在梳理介紹近年來該方向上所取得的研究成果[8,15-17],歸納總結背后的基本思想和數(shù)學原理,對比分析各個成果的理論價值,探討其在雷達裝備中的應用前景,并展望未來可能的研究方向和思路。

1 信號模型

本節(jié)首先回顧了頻率捷變雷達的信號模型[8,15],并隨后給出矩陣形式的模型。

1.1 雷達模型

本文考慮脈間頻率捷變雷達在一個相參處理間隔(coherent processing interval,CPI)內共發(fā)射N個單頻脈沖。將第n個脈沖的載頻記為fn=fc+CnΔf,其中fc為初始頻率,Δf為頻率間隔,Cn為第n個脈沖的跳頻碼字,且碼字之間相互統(tǒng)計獨立,服從離散均勻分布,具體記為Cn～U(M),M={0,1,…,M-1},M為載頻個數(shù)。將脈寬和脈沖重復周期分別記為Tp和Tr。于是,第n個脈沖發(fā)射的波形可以表示為

ST(n,t)=rect((t-nTr)/Tp)ej2πfn(t-Tr)

(1)

式中:rect(t)為矩形脈沖函數(shù),當0≤t≤1時函數(shù)為1,其他區(qū)域為0。

首先考慮理想單散射體的場景。該散射體屬于某目標或雜波,其復散射強度為ζ。假設該點初始距離為r,沿雷達視線方向運動,速度為v。令c為光速,在停跳假設下,第n個脈沖的回波可以記為

SR(n,t)≈ζST(n,t-2(r+vnTr)/2)

(2)

經下變頻、采樣和整理后[17],可以將某個粗分辨距離單元內的回波寫成如下形式:

(3)

(4)

1.2 矩陣形式模型

首先需要將雷達目標的距離和多普勒參數(shù)域進行離散化?？紤]到散射點的歸一化距離和多普勒頻率的無模糊區(qū)間為(fr,fv)∈[0,1)2,由于fr和fv的分辨單元分別為1/M和1/N,對應于載頻的個數(shù)M(也即帶寬)和脈沖的個數(shù)N(也即時長),故將距離和多普勒空間分別離散化為N個及M個格點,使得相鄰格點之間的間隔恰好為對應的分辨力。距離和多普勒域的格點集合分別記為R={m/M|m∈M}和V={n/N|n∈N},而N={0,1,…,N-1}。在距離多普勒參數(shù)平面內共有MN個格點,包含于集合R×V內。在這種格點劃分方式下,每個距離-多普勒單元恰巧有1個對應的格點。假設散射點的距離及多普勒參數(shù)均恰好落在這些格點上,那么可以引入矩陣B∈CM×N來描述雷達目標場景,矩陣的(m,n)元素表示為

同時,還需引入一個觀測矩陣。具體而言,為每個格點定義向量φm,n∈CN。向量中的下標(m,n)對應格點(m/M,n/N),向量中的元素記為

(5)

將第n個多普勒格點中所有距離格點對應的向量并列,構成矩陣D=[φ0,n,φ1,n,…,φM-1,n]∈CN×M。進一步地將不同多普勒格點對應的矩陣并列,得到觀測矩陣Φ=[D0,D1,…,DN-1]∈CN×NM。與向量β類似,觀測矩陣Φ具有類似的成塊結構,每個子矩陣Dn可以被認為是一個“塊”,對應于第n個多普勒單元。

于是信號模型式(4)可以重寫為

y=Φβ

(6)

式中:[y]n=Ss(n)。在該模型中,觀測向量y∈CN和觀測矩陣Φ是已知量,而向量β是未知量,對應于MN個距離-速度聯(lián)合分辨單元內散射點的等效散射強度。在頻率捷變雷達中,由于頻率點數(shù)往往大于1,即M>1(當M=1時,頻率捷變雷達退化為固定頻率的脈沖多普勒雷達),線性方程式(6)中未知數(shù)MN多于已知數(shù)N,所以方程是欠定的。

頻率捷變雷達中目標重建對應于欠定方程的原因在于,頻率捷變雷達所使用的捷變波形相當于在時頻域的欠奈奎斯特采樣[8],這也是傳統(tǒng)匹配濾波算法存在旁瓣平臺的根本原因。對于欠定方程而言,解的唯一性難以得到保證:只要欠定方程有解,則存在無窮多組解。這意味著在沒有其他先驗信息可用時,欠定方程通常是不可解的。為了準確重建雷達目標場景,求解該欠定方程,需要引入額外的先驗知識,即目標場景的稀疏性。

2 稀疏重建算法

利用觀測場景的稀疏性,壓縮感知算法可用于求解欠定方程。本節(jié)將首先討論雷達場景的稀疏性,即點稀疏和塊稀疏,并隨后回顧相應的稀疏恢復算法。

2.1 觀測場景稀疏性

當場景中目標及雜波個數(shù)較少時,該場景被稱為具備稀疏性。根據目標或雜波類型,又具體分為點稀疏性和塊稀疏性。

點稀疏性適用于目標尺寸較小的情形(相對于雷達高分辨距離單元)。此時,目標中的顯著散射點均集中位于1個或2個高分辨距離單元內,即Qk≈1。從信號模型的角度來看,向量β中的非零元素個數(shù)較少,且沒有其他結構約束。通常采用“零范數(shù)”(記為l)定量描述向量的點稀疏性,記為‖β‖0,代表β中非零元素的個數(shù)。

‖[a0,a1,…,aN-1]T‖0,而ai=‖γi‖2。

2.2 稀疏恢復算法

針對點稀疏向量,壓縮感知旨在求解以下優(yōu)化問題

min‖x‖0s.t.y=Φx

(7)

但l0范數(shù)優(yōu)化是NP難(non-deterministic polynomial-time hard, NP-hard)的組合問題[18]。通常采用凸松弛的方法,將原始問題松弛為l1范數(shù)優(yōu)化問題,即

min‖x‖1s.t.y=Φx

(8)

該方法優(yōu)勢在于:一方面,該凸問題可以被快速求解,另一方面l1范數(shù)最小化是l0范數(shù)最小化良好的近似,兩者在一定條件下是等價的[19]。

當場景具備成塊稀疏特性時,經典的稀疏恢復算法可推廣至塊稀疏場景。由于成塊稀疏性相比單純的點稀疏性利用了更多的先驗信息,通常具有更好的恢復性能。與式(8)類似,塊稀疏求解下述問題

min‖x‖2,1s.t.y=Φx

(9)

除了上述基于凸松弛的算法之外,還有其他貪婪類、閾值類算法等[20]。由于l1或l2,1算法通常比對應的貪婪類、閾值類等快速算法具有更優(yōu)的目標重建性能,本文重點介紹這類凸松弛算法,并探討它們的理論性能邊界。

3 稀疏重建算法的性能邊界

欠定方程是否存在唯一的稀疏解、凸松弛算法是否能夠得到該唯一解是壓縮感知領域的基礎性問題。CANDES等學者的工作[7]給出了凸松弛算法精確重建稀疏向量的邊界條件,為回答該問題奠定了堅實的理論基礎。

對于相參頻率捷變雷達而言,尋找凸松弛算法的理論性能邊界同樣具有重要的意義:一方面可以評估該雷達在場景中的適用性,另一方面還能指導波形優(yōu)化設計。目前,該方向的成果主要可以分為兩類:一類分析了觀測矩陣Φ中各列(或各子矩陣)中的相干性,另一類則是基于積分幾何的理論成果,分析重建目標場景的相變特性。下文將具體介紹這兩類成果。

3.1 觀測矩陣的相干性

這類研究的基本出發(fā)點在于:當扁矩陣Φ中任意子矩陣(列數(shù)小于N)接近正交矩陣時,欠定方程y=Φx,有唯一解。下面,將分點稀疏和塊稀疏兩種情形分別加以討論。

3.1.1 點稀疏場景與l1范數(shù)最小化方法

當矩陣Φ滿足互不相干性性(mutual incoherence property, MIP)時,式(9)能精確求解滿足一定稀疏度條件的向量x。具體而言,任意矩陣A的最大互相干系數(shù)定義為

式中:ai為矩陣A中的列。當相干系數(shù)足夠小時,矩陣A具有良好的近似正交性,能夠保證稀疏重建算法的性能,如定理1所述。

對于頻率捷變雷達而言,其觀測矩陣大概率滿足MIP性質,如定理2所述。

(10)

3.1.2 塊稀疏場景與l2,1范數(shù)最小化方法

點稀疏場景下的結論可以推廣到塊稀疏場景。對于具有成塊結構的矩陣,Φ=[D0,D1,…,DN-1],文獻[22]引入塊內相干系數(shù)和塊間相干系數(shù)來刻畫成塊矩陣的性質,具體為

式中:‖·‖s代表矩陣的譜范數(shù),即矩陣的最大奇異值。文獻[22]進一步指出,當觀測矩陣塊內相干系數(shù)和塊間相干系數(shù)較小時(即滿足塊相干性),式(9)可以精確求解滿足一定塊稀疏條件的x。

一般情況下,討論結構化矩陣的塊相干性是相當困難的。文獻[15]首先揭示了相參頻率捷變雷達的觀測矩陣具有某種循環(huán)對稱性,基于這一特殊結構,作者研究表明其觀測矩陣以大概率滿足塊相干性,從而保證式(9)中算法在重建擴展目標/雜波中的有效性,如下定理所述。

定理 3[15]對于任意常數(shù)δ>0及充分大的整數(shù)N,式(5)中定義的矩陣Φ滿足塊相干性的概率不低于1-δ,塊稀疏度滿足

(11)

式中:η1和η2為依賴于δ較小的常數(shù)。

定理3顯示包含K=O(N/Mln(MN))個擴展目標的場景,式(9)中的算法可以實現(xiàn)精確重建。

定理2和定理3從矩陣相干性的角度嚴格證明了頻率捷變雷達觀測矩陣具有優(yōu)異的性能,使得壓縮感知算法能夠精確重建觀測場景。然而,基于相干性得到的精確重建條件式(10)和式(11)均為充分條件,且較為悲觀[23],即不少可以精確重建的場景并不滿足這些條件。接下來,本文將介紹相變特性相關研究,并給出接近充要條件的重建條件。

3.2 相變特性

本節(jié)首先根據文獻[24]簡要介紹相變現(xiàn)象。

壓縮感知領域中大量基礎理論性的研究工作旨在揭示形如式(8)的凸優(yōu)化算法在什么條件下能夠精確恢復原始信號。算法能否精確重建依賴于觀測數(shù)量和待解向量的稀疏度,早期的研究[25]觀察到式(8)正確恢復的成功概率存在著相變現(xiàn)象,即當觀測數(shù)量和稀疏度在某個很小的范圍內變化時,成功概率會發(fā)生從0到1的急劇變化。

圖1 使用式(9)時實高斯矩陣的相變圖Fig.1 Phase transitions of a real-valued Gaussian matrix when using equation (9)

稱恢復概率接近50%的點為相變點,這些相變點構成了相變曲線。相變曲線精準地刻畫了正確恢復原信號所需要的參數(shù)條件。通過數(shù)值仿真來找到相變曲線的代價是巨大的,因此希望找到一個相變曲線的理論表達式。

相變現(xiàn)象表明對于給定的參數(shù)(s,d),有效觀測個數(shù)n≥φ(s,d)時,式(8)算法以接近概率1準確重建x,否則,以接近概率0準確重建。

需要注意,頻率捷變雷達中觀測矩陣是復數(shù)且高度結構化的,而不是實高斯矩陣。

為了適應復數(shù)高斯觀測矩陣,可以依照下述思路推導相變曲線:首先將文獻[24]中點稀疏場景結果推廣至塊稀疏場景,得到了式(9)算法下實數(shù)高斯矩陣的理論相變曲線,記為φm,m為塊的長度(曲線φm解析表達式見文獻[17]中命題3);而復數(shù)觀測矩陣的塊稀疏恢復問題可以轉化為實數(shù)塊稀疏恢復問題(塊的長度由m變?yōu)?m)[26];于是,復數(shù)觀測矩陣下的式(9)算法的相變曲線可直接應用φm近似得到,即φ2m/2,而復數(shù)觀測矩陣下式(8)算法的相變曲線可以看作復數(shù)觀測矩陣下的式(9)算法的一個特例(m=1)。數(shù)值仿真驗證了該思路的有效性,所得到的相變曲線在復數(shù)高斯觀測矩陣中與實際相變圖吻合[17]。

此時得到的理論相變曲線仍然是針對高斯觀測矩陣,而頻率捷變雷達的觀測矩陣并不服從高斯分布。仿真結果表明,許多隨機矩陣與高斯矩陣具有相同的相變現(xiàn)象[27]。而數(shù)值結果顯示，頻率捷變雷達觀測矩陣同樣具有相同的相變現(xiàn)象,因此理論相變曲線φm可用于刻畫頻率捷變雷達中的相變現(xiàn)象。

下面具體介紹頻率捷變雷達中相變曲線的解析表達式[17]。在這里主要討論擴展目標場景,假設每個擴展目標均占滿了所有M個高分辨距離單元。針對該場景,討論式(8)和式(9)算法的相變圖,相關結果可以直接推廣到點稀疏的場景。

3.2.1l1范數(shù)最小化方法

頻率捷變雷達中的相變曲線Ns代表式(8)算法實現(xiàn)準確重建所需要的最少觀測數(shù)量,是關于脈沖個數(shù)N、頻點數(shù)M和稀疏度K的函數(shù)。需要補充說明的是,這里Ns個觀測數(shù)量是從所有N個回波觀測中隨機挑選的,因此有Ns≤N。這種隨機抽選觀測的模型非常適合于刻畫部分脈沖受干擾而使回波無法使用、或者部分脈沖被設置為靜默的情形。具體表示為

(12)

式中:

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

對于適當大的M和相當稀疏的場景,即N/K?1,可以進一步給出式(12)的近似表達式：

(13)

式中:τ*是下列方程的解

(14)

數(shù)值仿真結果表明，式(13)接近式(12)的取值。近似表達式(13)比原函數(shù)式(12)更為直觀,可以看出式(8)算法重建稀疏場景需要的觀測數(shù)量為2MK+O(KMlog(N/K))。

3.2.2l2,1范數(shù)最小化方法

針對塊稀疏、擴展目標場景,推導得到式(9)算法實現(xiàn)精確重建所需要的觀測數(shù)量為

(15)

(16)

數(shù)值仿真表明式(16)能良好地逼近式(13)。

對所梳理的兩類性能邊界做一個小結:利用矩陣相干性,可得到理論上嚴格的、使得式(8)和式(9)算法能夠精確重建稀疏場景的邊界條件,但條件較為苛刻、悲觀;而基于相變圖這一工具,可以更為精準地描述算法重建觀測場景需要滿足的邊界條件。在后文數(shù)值仿真章節(jié)中,將通過一些實例說明相變圖相比于矩陣相干性在數(shù)值上的優(yōu)勢。需要說明的是,盡管高斯矩陣相變曲線對不同觀測矩陣的普適性被學術界廣泛接受,但是目前仍然缺乏結構化矩陣(如傅里葉矩陣、頻率捷變雷達中的觀測矩陣)中相變現(xiàn)象的嚴格理論證明。

4 性能邊界的應用

第3節(jié)中總結的性能邊界,不僅有重要的理論價值,對于提高雷達性能、指導波形設計也有很強的應用價值。本文舉3個示例說明。

4.1 雜波下目標是否可見問題

如前文所述,如果目標和雜波回波可以通過第2節(jié)信號模型中點散射體模型并且加以刻畫的話,雜波下目標探測問題可以轉化為利用稀疏恢復同時重建目標和雜波中散射體的問題。雜波中目標是否可見的問題,即變成稀疏恢復算法能否準確重建稀疏場景的問題。

具體而言,假設場景中包含Kt個運動目標。而雜波中包含大量散射體,在整個粗分辨距離單元內連續(xù)分布(即占據了所有M個高分辨距離單元),并占據了Kc個多普勒分辨單元,于是雜波回波可由MKc個距離多普勒單元進行表征[15]。在該場景下,觀測場景具有顯著的成塊稀疏特性,因而采用式(9)算法重建目標及雜波。塊稀疏度K=Kt+Kc,將(K,M,N)的取值代入相變曲線式(15)中,若計算得到的Nb大于N,說明式(9)算法所需要的觀測個數(shù)無法被滿足,則該雜波下目標不可見,否則目標可見。

4.2 探通一體化系統(tǒng)中資源分配問題

探測通信等多功能一體化系統(tǒng)越來越多地受到關注。不同功能共享射頻前端可以顯著降低系統(tǒng)體積、重量、功耗等。如何在不同功能間合理地分配時間、頻率、射頻孔徑等資源是一體化系統(tǒng)設計中的重要問題。頻率捷變雷達因其獨特的時頻資源使用方式,格外適合于搭建一體化系統(tǒng)。

對于這類一體化系統(tǒng),在規(guī)劃射頻資源時,可以首先根據系統(tǒng)參數(shù)(M,N)和目標場景的稀疏度K,代入式(12)或者式(15)中,計算得到算法所需要的最小觀測數(shù)量,記為Nx,設裕量為Ny,則在相干處理周期內,一體化系統(tǒng)僅需保證(Nx+Ny)個脈沖用于雷達探測,剩余(N-Nx-Ny)個脈沖可留作他用。

4.3 雷達抗干擾能力提升問題

在復雜電磁環(huán)境下,頻率捷變雷達由于可以靈活地訪問頻譜資源,具備優(yōu)異的抗干擾能力。但當電磁環(huán)境進一步惡化,雷達或將不可避免受到嚴重干擾,使得部分脈沖回波無法用于目標重建。而可用觀測數(shù)目變少將導致目標重建性能急劇下降。

第3節(jié)中總結的目標準確重建條件表明,觀測數(shù)量對準確重建的成功率有重要影響。受此啟發(fā),文獻[16]提出了多載頻捷變波形,通過增加每個脈沖中發(fā)射的頻率個數(shù),從而增加觀測個數(shù),改善復雜電磁環(huán)境中對目標的重建能力。仿真結果表明,在相同的觀測丟失比率下(因受干擾而丟失),多載頻捷變雷達相比于單載頻捷變雷達顯著提升了目標重建能力,進而提高了干擾條件下的探測能力。

5 實驗結果

文獻[9,11-12,14]中通過仿真數(shù)據檢驗了頻率捷變雷達采用稀疏恢復算法后重建目標場景的能力。特別是文獻[15]給出了在實測數(shù)據下,頻率捷變雷達對地面、海面雜波的抑制能力和對運動小目標的檢測能力。本文不再重復上述結果,側重介紹頻率捷變雷達的相變現(xiàn)象。

圖2 頻率捷變雷達抽行矩陣相變圖Fig.2 Phase transitions of partial frequency agile radar matrices

圖3 強雜波下不同頻點數(shù)頻率捷變雷達式(9)恢復曲線Fig.3 Recovery curves of frequency agile radar matrices with different frequency points under clutters when using equation (9)

6 結束語

本文系統(tǒng)性地梳理總結了相參頻率捷變雷達中使用l1范數(shù)和l2,1范數(shù)最小化方法實現(xiàn)準確重建觀測場景所需要滿足的邊界條件。研究成果表明,相變圖可以精準預測、刻畫頻率捷變雷達準確重建目標的成功率與雷達系統(tǒng)參數(shù)、目標場景之間的顯式定量關系,并且揭示了l2,1范數(shù)最小化方法相比l1范數(shù)最小化方法更加適合于擴展目標重建。

未來需要重點研究的問題包括:① 噪聲條件下,稀疏恢復算法性能邊界問題?，F(xiàn)有相變圖的研究仍主要局限于無噪聲場景,對于有噪聲場景下,特別是結構化觀測矩陣下,稀疏恢復算法重建精度的性能邊界仍然是開放話題;② 關于目標檢測問題,如何在有噪聲條件下,精確刻畫頻率捷變雷達稀疏重建結果中的檢測概率和虛警概率,在理論和實踐層面,均有較大困難;③ 現(xiàn)有研究通常假設所有散射點均位于預先設置的距離多普勒離散格點上,實際系統(tǒng)中散射點在參數(shù)空間中連續(xù)分布,稀疏重建算法對于連續(xù)分布散射點的分辨極限也是重要且未知的話題。