蒲武軍, 潘 歡

(1. 隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系, 甘肅 隴南 742500; 2. 寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

隨著信息化技術(shù)的不斷發(fā)展,電力系統(tǒng)的智能化水平也在迅速提高,電力網(wǎng)絡(luò)日趨復(fù)雜.電網(wǎng)的日常功能中,除了電力設(shè)備正常運(yùn)行,更包含多層計(jì)算機(jī)和通信網(wǎng)絡(luò)組成檢測(cè)、監(jiān)控、調(diào)度系統(tǒng).電網(wǎng)已經(jīng)發(fā)展為包含信息技術(shù)、電力技術(shù)的能源領(lǐng)域信息物理系統(tǒng)(cyber physical system,CPS)[1].

電力CPS是一種電力網(wǎng)與信息網(wǎng)的耦合綜合系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)與過(guò)程復(fù)雜性均超出單一網(wǎng)絡(luò)[2].近年來(lái)全球范圍內(nèi)發(fā)生的多起大停電事故已表明電力元件的故障或信息系統(tǒng)的異常均有可能造成電力系統(tǒng)潮流的大規(guī)模非正常轉(zhuǎn)移,促成電力系統(tǒng)連鎖故障發(fā)生,進(jìn)一步造成電力大癱瘓[3-5].因此,電力CPS的魯棒性研究需要從兩方面考慮：信息網(wǎng)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障,影響電力網(wǎng)安全性；電力網(wǎng)節(jié)點(diǎn)故障,影響電力CPS的穩(wěn)定運(yùn)行.大部分學(xué)者主要應(yīng)用相互依賴模型建立電力CPS模型,即將電力網(wǎng)和信息網(wǎng)刻畫為兩個(gè)相互耦合、互相依賴的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),進(jìn)而研究其脆弱性[6].但電力CPS的建模也存在著差異,不同的建模方式會(huì)得到不同的分析結(jié)果.例如,Buldyrev等[6]使用滲流理論模擬了意大利電力CPS的連鎖故障；Zeraati等[7]提出了一種基于二值優(yōu)化的模型來(lái)評(píng)估電力CPS的脆弱性；Cai等[8]使用了調(diào)度網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)假建模通信網(wǎng),以中國(guó)廣東500 kV系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真,分析在相互依賴系統(tǒng)的隨機(jī)攻擊情況下電力CPS的魯棒性.

Girvan等[9]揭示了生物網(wǎng)絡(luò)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中普遍存在社團(tuán)結(jié)構(gòu),即網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)聯(lián)系緊密形成社團(tuán),社團(tuán)之間的聯(lián)系疏松.網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)的意義表明社團(tuán)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)通常是一些具有共同特征或者起到某種相似作用的節(jié)點(diǎn)集合.社團(tuán)現(xiàn)象會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步[10]、信息傳播[11]以及隨機(jī)游走[12]等行為產(chǎn)生重要影響.相關(guān)研究表明，電網(wǎng)、交通網(wǎng)、信息網(wǎng)等均存在一定程度的社團(tuán)結(jié)構(gòu)[13-14].因此,從社團(tuán)這一介觀角度研究電力CPS可以從模塊化層面細(xì)化分析其魯棒性.

目前從社團(tuán)角度分析研究電網(wǎng)魯棒性還處于起步階段[5-16],很多內(nèi)容有待解決和深入剖析,而從社團(tuán)層面研究電力CPS的文獻(xiàn)更少[7].Cai等[8]主要通過(guò)社團(tuán)劃分算法獲得電網(wǎng)社團(tuán)，以此評(píng)估實(shí)際電網(wǎng),但難以得到實(shí)驗(yàn)仿真所需要的理想結(jié)構(gòu).Girv等[9-20]通過(guò)相應(yīng)算法生成具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò),研究信息網(wǎng)與電網(wǎng)耦合方式不同對(duì)電力CPS的影響.但在上述文獻(xiàn)的研究過(guò)程中,采用無(wú)標(biāo)度社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)生成算法,生成的社團(tuán)規(guī)模均勻,社團(tuán)之間的連接概率相近,與實(shí)際情況不相符合.Zhu等[21]研究了文獻(xiàn)[9]中電網(wǎng)信息網(wǎng)為小世界網(wǎng)絡(luò)時(shí)的情況.Kang等[22]將改進(jìn)的負(fù)荷容量模型應(yīng)用于電網(wǎng)連鎖故障,以節(jié)點(diǎn)重要性(node importance,NI)為評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)估節(jié)點(diǎn)對(duì)電網(wǎng)和信息網(wǎng)的影響,提出了三種基于節(jié)點(diǎn)重要性的信息網(wǎng)電網(wǎng)社團(tuán)耦合方式.由于電力CPS主要通過(guò)信息節(jié)點(diǎn)采集數(shù)據(jù),通過(guò)在信息網(wǎng)節(jié)點(diǎn)中設(shè)置一個(gè)調(diào)度節(jié)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行收集信息、計(jì)算和指令發(fā)送,而目前現(xiàn)有文獻(xiàn)往往忽略了調(diào)度中心的位置對(duì)電力CPS的影響.因此,受到文獻(xiàn)[9～20]的啟發(fā),本文將采用不同社團(tuán)連接概率生成不同規(guī)模的社團(tuán)結(jié)構(gòu)電網(wǎng),并觀察調(diào)度中心位于不同社團(tuán)時(shí)電力CPS魯棒性的變化.

基于上述分析,本文結(jié)合經(jīng)典的相互依存電力CPS模型與介數(shù)負(fù)荷-容量連鎖故障模型,提出考慮電力CPS孤島運(yùn)行的連鎖故障仿真方法；改進(jìn)傳統(tǒng)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)生成算法,生成不同規(guī)模的社團(tuán),且各社團(tuán)間具有不同的連接概率；研究全局連接概率變化時(shí),社團(tuán)連接概率以及調(diào)度中心對(duì)電力CPS連鎖故障的影響,分析調(diào)度中心位于不同社團(tuán)時(shí)電力CPS的魯棒性.

1 連鎖故障模型

1.1 經(jīng)典相互依存網(wǎng)絡(luò)模型

電力CPS由電網(wǎng)和信息網(wǎng)耦合形成,通常采用相互依存網(wǎng)絡(luò)模型[6],即電網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)需要信息網(wǎng)控制,信息網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)需要電力網(wǎng)供電；若信息點(diǎn)失效,則與其耦合的電力點(diǎn)也會(huì)失效,反之亦然.

相互依存網(wǎng)絡(luò)的連鎖故障過(guò)程如圖1所示.第一步,節(jié)點(diǎn)5受到攻擊被破壞；第二步,移除節(jié)點(diǎn)5的電網(wǎng)連接邊以及信息網(wǎng)耦合邊；第三步，判斷電網(wǎng)中的最大連通子圖,即得到節(jié)點(diǎn)1、2、3,而節(jié)點(diǎn)4、6因?yàn)椴粚儆谧畲筮B通子集而被移除；第四步，根據(jù)依存關(guān)系,信息網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)4、5、6失去電力供應(yīng)被移除；第五步，判斷信息網(wǎng)中的最大連通子圖,即得到節(jié)點(diǎn)1′和2′,而節(jié)點(diǎn)3′因?yàn)椴粚儆谧畲筮B通子集而被移除；第六步，根據(jù)依存關(guān)系,電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)3失去信息網(wǎng)的控制而被移除.此時(shí)沒(méi)有進(jìn)一步連鎖故障,即得到最終網(wǎng)絡(luò).

圖1 相互依存網(wǎng)絡(luò)模型的連鎖故障過(guò)程

然而,上述經(jīng)典的相互依存電力CPS存在明顯的缺陷：

(1) 沒(méi)有考慮信息網(wǎng)中的信息流以及電網(wǎng)中的功率流.若信息網(wǎng)發(fā)生故障后,一部分信息點(diǎn)出現(xiàn)擁堵,造成信息無(wú)法傳輸?shù)狡溆嘈畔Ⅻc(diǎn),導(dǎo)致電網(wǎng)調(diào)度無(wú)法及時(shí)完成；若電網(wǎng)出現(xiàn)故障,潮流大規(guī)模轉(zhuǎn)移會(huì)使得部分節(jié)點(diǎn)或線路過(guò)載.信息流和功率流的異常轉(zhuǎn)移會(huì)引發(fā)節(jié)點(diǎn)故障,從而在兩個(gè)網(wǎng)之間傳播.

(2) 只考慮最大連通子圖中的節(jié)點(diǎn)為有效節(jié)點(diǎn),未考慮電網(wǎng)孤島運(yùn)行情況.若孤島中同時(shí)存在發(fā)電站和負(fù)荷,該孤島也能保持運(yùn)行.

(3) 對(duì)于信息網(wǎng),未考慮調(diào)度中心的存在.

針對(duì)上述不足,本文在相互依存網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上,在電力CPS連鎖故障模型中考慮模擬潮流再分配的影響以及電網(wǎng)、信息網(wǎng)存在孤島的情況.

1.2 基于介數(shù)負(fù)荷-容量的連鎖故障模型

為了研究社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)電力CPS的影響,將電網(wǎng)能量流以及信息網(wǎng)的信息流抽象化,采用節(jié)點(diǎn)介數(shù)-容量模型表征節(jié)點(diǎn)負(fù)荷[16,23-24],即節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷表示為

(1)

式中:δjk(i)表示網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點(diǎn)j和k之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)i的最短路徑數(shù)目;δjk表示任意節(jié)點(diǎn)j和k之間的最短路徑數(shù)目.

為了表征電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)和信息網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行極限,定義網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)容量為Ci：

(2)

電力CPS中的信息網(wǎng)主要監(jiān)測(cè)、采集和傳輸數(shù)據(jù),其中存在一個(gè)調(diào)度中心(一般取介數(shù)最大點(diǎn)為調(diào)度中心)負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集、計(jì)算、判斷和發(fā)送指令.考慮到調(diào)度中心的影響,所設(shè)計(jì)的連鎖故障模型如下：

步驟1:設(shè)置初始信息節(jié)點(diǎn)受到攻擊,判斷信息網(wǎng)是否產(chǎn)生了孤島,若是,則進(jìn)一步判斷信息孤島中是否存在調(diào)度中心；若沒(méi)有調(diào)度中心,則該信息孤島所有節(jié)點(diǎn)因失去與調(diào)度中心的連接而停止工作,即失效.

步驟2:根據(jù)相依網(wǎng)絡(luò)模型,信息網(wǎng)的故障傳播到電網(wǎng),與信息網(wǎng)失效節(jié)點(diǎn)耦合的電網(wǎng)點(diǎn)也失效.判斷電網(wǎng)是否產(chǎn)生了孤島,若是,則進(jìn)一步判斷該電力孤島是否存在發(fā)電站,若存在發(fā)電站,則進(jìn)行下一步；若無(wú)發(fā)電站,則該電力孤島所有節(jié)點(diǎn)因失去發(fā)電站電力供應(yīng)而停止工作,轉(zhuǎn)入下一步.若無(wú)孤島產(chǎn)生,直接進(jìn)行下一步.

步驟3:此時(shí)信息網(wǎng)和電網(wǎng)的潮流開(kāi)始再分配.分別計(jì)算信息網(wǎng)和電網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷,若出現(xiàn)過(guò)載,則移除過(guò)載節(jié)點(diǎn),否則結(jié)束連鎖故障,停止.

步驟4:判斷信息網(wǎng)是否產(chǎn)生新的信息孤島,若是,則進(jìn)一步判斷信息孤島中是否存在調(diào)度中心；若無(wú)調(diào)度中心,則該孤島所有節(jié)點(diǎn)因失去與調(diào)度中心的連接而停止工作,即失效.判斷電網(wǎng)是否產(chǎn)生新的電力孤島,若是,則判斷電力孤島是否存在發(fā)電站,若無(wú)發(fā)電站,則該孤島所有節(jié)點(diǎn)因失去發(fā)電站電力供應(yīng)而停止工作.根據(jù)相依網(wǎng)絡(luò)模型,移除兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中與失效節(jié)點(diǎn)耦合的節(jié)點(diǎn).重復(fù)步驟4直至兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)均未產(chǎn)生新的孤島.

步驟5:跳轉(zhuǎn)回步驟3繼續(xù)向下執(zhí)行,直至兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)均沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)載節(jié)點(diǎn).

若上述模型中率先攻擊電網(wǎng),同樣能夠進(jìn)行相應(yīng)的級(jí)聯(lián)故障模擬.連鎖故障模型中,電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)存活條件為：(1) 孤島中有發(fā)電站；(2) 電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)負(fù)荷不超過(guò)容量上限；(3) 其所依存的信息節(jié)點(diǎn)正常工作.信息節(jié)點(diǎn)存活條件為：(1) 孤島中有調(diào)度中心；(2) 信息節(jié)點(diǎn)負(fù)荷不超過(guò)容量上限；(3) 其所依存的電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)正常工作.

2 社團(tuán)結(jié)構(gòu)生成算法

實(shí)際電力CPS中,電網(wǎng)一般為小世界網(wǎng)絡(luò)或無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),而信息網(wǎng)呈現(xiàn)為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[25].在相互依存網(wǎng)絡(luò)模型中,假設(shè)電網(wǎng)、信息網(wǎng)均為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).

傳統(tǒng)的具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法類似于BA模型[26],其增長(zhǎng)特性是隨機(jī)選擇社團(tuán)增加節(jié)點(diǎn),當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目足夠多時(shí),各社團(tuán)將具有相同規(guī)模.因此,生成規(guī)模相近的社團(tuán),其優(yōu)先連接特性中連接外部社團(tuán)的概率滿足如下關(guān)系：

(3)

式中:lik表示社團(tuán)k中與節(jié)點(diǎn)i相連的社團(tuán)連邊數(shù)；分母表示網(wǎng)絡(luò)中除新增節(jié)點(diǎn)所處社團(tuán)j之外,各社團(tuán)的社團(tuán)連邊數(shù)量之和.

由式(3)可知,新增節(jié)點(diǎn)連接到一個(gè)外部社團(tuán)的概率等于這個(gè)社團(tuán)的社團(tuán)連邊數(shù)量除以總社團(tuán)連邊數(shù).因此,根據(jù)所述社團(tuán)規(guī)模均勻增長(zhǎng)特性,各社團(tuán)的連接概率也將相近.這與實(shí)際情況存在出入,地區(qū)經(jīng)濟(jì)的差異、資源的不均、負(fù)荷需求也不盡相同,因此電網(wǎng)往往會(huì)呈現(xiàn)出大小各異的社團(tuán).因此,本節(jié)將對(duì)傳統(tǒng)社團(tuán)生成算法[9-20]進(jìn)行修正,以生成不同規(guī)模的社團(tuán),各社團(tuán)的連接概率存在差異.修正后的算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

步驟2：增長(zhǎng).新增節(jié)點(diǎn)位于各社團(tuán)的概率為x1、x2、…、xM(x1+x2+…+xM=1),稱為社團(tuán)規(guī)模概率,該新增節(jié)點(diǎn)與所處社團(tuán)內(nèi)部m個(gè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)m條邊連接.以概率q連接到外部一個(gè)社團(tuán)的n個(gè)節(jié)點(diǎn),q稱為全局連接概率,并且連接到各社團(tuán)的概率存在差異,分別為y1、y2、…、yM,稱為社團(tuán)連接概率.若連接到了自身所處社團(tuán),則取消此次連接,防止社團(tuán)內(nèi)部邊增加,重新嘗試連接,直到連接到非自身所處社團(tuán).

步驟3：優(yōu)先連接.包括社團(tuán)內(nèi)部和社團(tuán)間的優(yōu)先連接.新增節(jié)點(diǎn)與所在社團(tuán)j中已存在節(jié)點(diǎn)i的連接概率滿足如下關(guān)系：

(4)

式中:sij表示社團(tuán)j內(nèi)部與節(jié)點(diǎn)i相連的內(nèi)部邊數(shù)量；k表示社團(tuán)j中的節(jié)點(diǎn)；skj表示社團(tuán)j中所有節(jié)點(diǎn)的社團(tuán)內(nèi)度之和.

新增節(jié)點(diǎn)與外部社團(tuán)u中節(jié)點(diǎn)i的連接概率滿足如下關(guān)系：

(5)

式中:kiu表示社團(tuán)u中與節(jié)點(diǎn)i相連的邊數(shù)量(節(jié)點(diǎn)i的度);v表示社團(tuán)u中的節(jié)點(diǎn);分母表示社團(tuán)u中各節(jié)點(diǎn)度之和.

假設(shè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目N=200,M=4,m0=3,n=1,q=0.1,x1～x4分別為0.1、0.2、0.3、0.4,y1～y4也分別為0.1、0.2、0.3、0.4,重復(fù)執(zhí)行修正生成社團(tuán)算法步驟1～3可得到具有4個(gè)社團(tuán)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),如圖2所示.網(wǎng)絡(luò)分成了4個(gè)社團(tuán),按規(guī)模從小到大排列為：黃色社團(tuán)—綠色社團(tuán)—紅色社團(tuán)—藍(lán)色社團(tuán),分別對(duì)應(yīng)社團(tuán)規(guī)模概率x1、x2、x3、x4.黃色社團(tuán)連邊數(shù)量為7,綠色社團(tuán)連邊數(shù)量為12,紅色社團(tuán)連邊數(shù)量為15,藍(lán)色社團(tuán)連邊數(shù)量為18,分別對(duì)應(yīng)社團(tuán)連接概率y1、y2、y3、y4.由圖2可知,改進(jìn)后的算法生成了不同規(guī)模的社團(tuán),且調(diào)節(jié)了各社團(tuán)的連接概率.

圖2 新算法生成的具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Scale-free network with community structure generated by the new algorithm

為了驗(yàn)證算法的有效性,假設(shè)N=1 300,其他參數(shù)同上.新算法生成更大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò),度分布如圖3所示,在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下,度分布呈線性,滿足冪律分布,該網(wǎng)絡(luò)為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).使用Louvain算法計(jì)算模塊度[27],Q=0.675,滿足現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的模塊度要求(0.3～0.7),所生成網(wǎng)絡(luò)具備社團(tuán)結(jié)構(gòu).

圖3 1 300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)度分布Fig.3 The degree distribution of 1 300 nodes network

3 電力CPS魯棒性分析

為了評(píng)價(jià)電力CPS魯棒性,給出剩余節(jié)點(diǎn)比例概念如下：

(6)

式中:Rn表示剩余節(jié)點(diǎn)比例;N表示原始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目;Nlost表示電力CPS經(jīng)過(guò)級(jí)聯(lián)故障之后失效的節(jié)點(diǎn)總數(shù).

采用提出的修正算法生成具有不同規(guī)模4個(gè)社團(tuán)的電網(wǎng)模型,基于電網(wǎng)社團(tuán)結(jié)構(gòu)生成與電網(wǎng)具有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)目的信息網(wǎng),兩者的耦合方式采用社團(tuán)內(nèi)同配耦合[8],兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中相同規(guī)模的社團(tuán)按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)介數(shù)大小一一對(duì)應(yīng)進(jìn)行耦合(若不強(qiáng)調(diào)社團(tuán)指電力與信息社團(tuán)).通過(guò)改變各社團(tuán)的連接概率y以及全局連接概率q,分析調(diào)度中心位于不同信息社團(tuán)時(shí)對(duì)電力CPS魯棒性的影響.

仿真中假設(shè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目N=200,M=4,m0=3,n=1,社團(tuán)規(guī)模概率x1～x4分別為1/20、3/20、6/20、10/20,即社團(tuán)1規(guī)模<社團(tuán)2<社團(tuán)3<社團(tuán)4.隨機(jī)選取電網(wǎng)中20%的節(jié)點(diǎn)作為發(fā)電站,調(diào)度中心位于信息網(wǎng)其中一個(gè)社團(tuán)的中介數(shù)最大點(diǎn).為了保證仿真結(jié)果可靠性,共生成25個(gè)網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行20次連鎖故障仿真.

3.1 全局連接概率對(duì)電力CPS的影響

圖4 調(diào)度中心位于不同社團(tuán)時(shí)q對(duì)CPS魯棒性的影響Fig.4 The effect of q on the robustness of CPS when the dispatch center located in different communities

此外發(fā)現(xiàn),隨著q的增加,調(diào)度中心位于不同信息社團(tuán)的差異逐漸降低.原因在于當(dāng)各信息社團(tuán)擁有相同連接概率時(shí),隨著q的增加,各信息社團(tuán)的社團(tuán)連邊數(shù)量均勻增加,當(dāng)q=1時(shí),即使是小規(guī)模社團(tuán)也擁有相當(dāng)數(shù)量的連邊,彌補(bǔ)了社團(tuán)規(guī)模差距.當(dāng)調(diào)度中心位于小信息社團(tuán)時(shí)也能有效地傳輸信息至其他社團(tuán).

令q=0.1,可以得到當(dāng)調(diào)度中心處于不同信息社團(tuán)時(shí)Rn隨ω的變化圖,如圖5所示.圖5中各曲線處于分離狀態(tài),調(diào)度中心位于信息社團(tuán)4的魯棒性>社團(tuán)3>社團(tuán)2>社團(tuán)1,這與圖3中q=0.1時(shí)各曲線展現(xiàn)出來(lái)的變化趨勢(shì)一致.

當(dāng)q=1時(shí),如圖6所示,即使是小規(guī)模社團(tuán)也擁有一定數(shù)量的連邊,能夠彌補(bǔ)由于社團(tuán)規(guī)模造成的差異.當(dāng)調(diào)度中心位于小規(guī)模信息社團(tuán)時(shí),也能夠有效地傳輸信息到其他社團(tuán)中.

3.2 社團(tuán)連接概率對(duì)電力CPS的影響

本節(jié)研究各社團(tuán)具有不同的連接概率時(shí),調(diào)度中心所處位置對(duì)電力CPS魯棒性的影響.考慮三類社團(tuán)連接概率,分別為:規(guī)模連接(size connection,SC),規(guī)模越大的社團(tuán)擁有越高的連接概率；均勻連接(average connection,AC),各社團(tuán)擁有相同連接概率；反規(guī)模連接(inverse size connection,ISC),規(guī)模越小的社團(tuán)擁有越高的連接概率.

圖7 調(diào)度中心位于不同社團(tuán)時(shí)y對(duì)CPS魯棒性的影響Fig.7 The effect of y on the robustness of CPS when the dispatch center located in different communities

3.3 多個(gè)調(diào)度中心位于不同社團(tuán)對(duì)電力CPS的影響

3.1節(jié)和3.2節(jié)研究了單個(gè)調(diào)度中心的情況,實(shí)際中根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模大小可能存在多個(gè)調(diào)度中心,本節(jié)考慮多個(gè)調(diào)度中心對(duì)電力CPS魯棒性的影響,同樣令全局連接概率q=1,當(dāng)兩個(gè)調(diào)度中心分別位于兩個(gè)信息社團(tuán),比較三種連接方式下的Rn隨ω的變化情況,具體如圖8和圖9所示.

圖8 社團(tuán)1,2存在調(diào)度中心Fig.8 The dispatch centers locate in communities 1,2

圖8中,信息社團(tuán)1、2同時(shí)存在調(diào)度中心,社團(tuán)按照規(guī)模連接的曲線位置最低,電力CPS魯棒性最差.圖9中,信息社團(tuán)3、4存在調(diào)度中心時(shí),社團(tuán)按照反規(guī)模連接的曲線位置最低,電力CPS魯棒性最差.可以看到無(wú)論何種連接,當(dāng)調(diào)度中心處于社團(tuán)連接概率越小的信息社團(tuán)時(shí),電力CPS魯棒性顯得更差.因此當(dāng)需要布置調(diào)度中心于多個(gè)信息社團(tuán)時(shí),同樣優(yōu)先考慮具有更大連接概率的社團(tuán).

圖9 社團(tuán)3,4存在調(diào)度中心Fig.9 The dispatch centers locate in communities 3,4

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的所有信息社團(tuán)均布置調(diào)度中心后,如圖10所示,社團(tuán)連接概率(連接方式)不同帶來(lái)的影響幾乎被消除.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因是,信息網(wǎng)各信息社團(tuán)均存在調(diào)度中心后,一個(gè)信息社團(tuán)中的節(jié)點(diǎn)不必通過(guò)社團(tuán)連邊與另一個(gè)信息社團(tuán)中的調(diào)度中心進(jìn)行信息交互,只需要與所在信息社團(tuán)的調(diào)度中心進(jìn)行通信,降低了對(duì)信息社團(tuán)連邊的依賴性,連鎖故障發(fā)生后,信息網(wǎng)可以形成若干個(gè)具有調(diào)度中心的孤島,繼續(xù)運(yùn)行.由上述的仿真結(jié)果可以歸納得出,在為電網(wǎng)設(shè)置調(diào)度中心時(shí),應(yīng)將調(diào)度中心安置在信息網(wǎng)社團(tuán)規(guī)模較大的部分中；如果已有調(diào)度中心,應(yīng)盡量增強(qiáng)調(diào)度中心所在社團(tuán)的連邊數(shù)；盡量增加調(diào)度中心的冗余性,在信息網(wǎng)社團(tuán)中可設(shè)置多個(gè)調(diào)度中心.

圖10 4個(gè)社團(tuán)均存在調(diào)度中心Fig.10 4 communities all have dispatch centers

4 結(jié)論

本文修正了傳統(tǒng)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)生成算法,使其能夠生成不同規(guī)模且社團(tuán)連接概率可調(diào)節(jié)的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò).應(yīng)用提出的算法生成社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),通過(guò)計(jì)算模塊度和擬合雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下度分布數(shù)據(jù),說(shuō)明了所設(shè)計(jì)算法的有效性.基于該算法,生成具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的電力CPS模型,研究社團(tuán)結(jié)構(gòu)中全局連接概率q、社團(tuán)連接概率y以及調(diào)度中心處于不同社團(tuán)時(shí)對(duì)電力CPS魯棒性的影響.仿真結(jié)果表明，調(diào)度中心位于大規(guī)模社團(tuán)時(shí),電力CPS魯棒性越高；對(duì)于均勻連接情況,隨著全局連接概率q的增加,調(diào)度中心位于各社團(tuán)的差異逐漸降低；調(diào)度中心位于各社團(tuán)的魯棒性與該社團(tuán)連接概率呈正相關(guān),而社團(tuán)連接概率對(duì)調(diào)度中心的影響超過(guò)了社團(tuán)規(guī)模概率對(duì)調(diào)度中心的影響；當(dāng)信息網(wǎng)各社團(tuán)均配備了調(diào)度中心后,社團(tuán)連接概率不同帶來(lái)的影響將大大降低.

本文所采用的相互依存電力CPS及介數(shù)負(fù)荷-容量連鎖故障模型是一種抽象化的系統(tǒng),與實(shí)際電力CPS運(yùn)行仍存在較大差異,僅僅是為了說(shuō)明社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)電力CPS魯棒性的影響,未來(lái)將建立更加符合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行的模型,分配最優(yōu)的信息網(wǎng)耦合方式,提高電力CPS運(yùn)行魯棒性.