張學恒，趙 麒，毋天峰,3，周 驊

（1.貴州大學大數(shù)據(jù)與信息工程學院，貴陽 550025；2.貴州民族大學機械電子工程學院，貴陽 550025；3.貴州省光電子技術及應用重點實驗室，貴陽 550025）

1 引言

在薄膜材料卷繞產(chǎn)業(yè)中，張力控制是最關鍵的技術之一。卷繞過程中，卷繞材料張力過大在縱向上容易造成褶皺，形成菊花狀，甚至會使材料斷裂；張力過小在橫向上容易跑偏，發(fā)生抽芯現(xiàn)象。而對于電解電容的芯包這一特殊的結(jié)構(gòu)，要求芯包呈現(xiàn)內(nèi)緊外松的形態(tài)，故在卷繞過程中要求采取錐度卷繞的方式，即卷繞張力隨卷繞半徑的變化而變化。通過控制卷繞系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)的扭矩是一個很好的改變卷繞張力的方法，而磁粉離合器正是通過控制勵磁電流來實現(xiàn)扭矩改變，且磁粉離合器的輸入與輸出為線性關系，因此這一方法在卷繞系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)中有廣泛的應用。但是磁粉離合器是以磁粉材料為工作介質(zhì)的，磁粉材料的磁滯效應會降低系統(tǒng)的響應時間。針對此問題，在此提出基于模糊PID與Smith預估補償控制機制的改進方法，并以Simulink進行仿真分析。

2 錐度張力分析

電解電容芯包卷繞系統(tǒng)由張力控制器、張力傳感器、卷徑檢測傳感器、磁粉離合器、功率放大器、牽引輥及驅(qū)動輥組成[1]。其控制系統(tǒng)機構(gòu)如圖1所示。改進設計采用直接張力檢測方式，通過卷徑檢測傳感器計算卷繞實時卷徑，通過張力控制器中的錐度張力卷繞數(shù)學模型計算當前的張力，再把此張力設為卷繞系統(tǒng)期望值，并把由張力傳感器測得卷繞的實際張力值作為反饋值，使得張力控制形成閉環(huán)，最終通過磁粉離合器控制驅(qū)動輥的扭矩，實現(xiàn)錐度張力控制[2]。

圖1 卷繞張力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

在電解電容芯包制造過程中要采取變張力，也就是錐度張力的方式進行卷繞。卷繞過程運動模型如圖2所示。

圖2 卷繞過程中的運動模型

圖中Md為卷繞動作的制動轉(zhuǎn)矩，Mf為摩擦阻力轉(zhuǎn)矩，R2為卷繞的實時半徑，ω為空間角速度，F(xiàn)為材料所受張力。由此，卷繞機構(gòu)力矩平衡方程為：

其中，J是收卷機構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動慣量，由卷筒、隔膜材料、驅(qū)動軸三部分組成，其具體計算公式為：

其中，JR1為卷繞軸芯的轉(zhuǎn)動慣量，JR2為卷繞材料的轉(zhuǎn)動慣量，Jr為驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)動慣量，ρ1為卷繞軸芯密度，ρ2為材料密度，b為材料寬度。由磁粉離合器可知Jr為定值，又由式(2)可知，卷繞軸芯的轉(zhuǎn)動慣量JR1也為一個定值，由此可得：

有了式(3)、(4)，即可通過(1)求得：

式(5)即為卷繞過程中材料張力的動力學模型。由此可知，材料張力主要受到動態(tài)參數(shù)卷繞卷徑R2和卷繞速度V2的影響，且卷繞線速度為V2=2R2n，n即為驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)速，當此轉(zhuǎn)速不變時，R2即隨時間增大，張力F也就隨之改變。故此，為確保鋁電解電容芯包的卷繞質(zhì)量，在卷繞過程采取錐度張力方式是必要的。

3 磁粉制動器原理及數(shù)學模型

在本系統(tǒng)中選用的錐度張力執(zhí)行機構(gòu)為磁粉離合器。磁粉離合器在制動扭矩的過程中，由于發(fā)熱問題，會導致其參數(shù)隨時間變化，故要對磁粉離合器進行數(shù)學建模分析，且磁粉離合器的數(shù)學模型傳遞函數(shù)是系統(tǒng)仿真必需的參數(shù)[3]。如圖3所示為磁粉離合器結(jié)構(gòu)圖。

圖3 本系統(tǒng)采用的磁粉離合器結(jié)構(gòu)

由莫爾-庫侖定理可知，離合器傳遞的扭矩T為：

式中，D和L為離合器定子的直徑和寬度；B為磁粉的磁感應強度；μ0為磁隙磁導率；μδ為磁粉內(nèi)部的磁導率。

將式(6)作拉式變換，得到：

在離合器內(nèi)部由磁場歐姆定律可知：

式中N為勵磁線圈匝數(shù)，I為線圈電流，Ri為鐵磁阻，Rd為磁粉磁阻，L為磁感線圈電感量，Sd為磁粉所作用的有效面積。

將式(8)作拉氏變換，得到：

已知磁粉離合器的傳遞函數(shù)：

將(7)和(8)聯(lián)立，得：

由式(11)可知，離合器的傳遞函數(shù)與磁粉、磁導率、磁感量等參數(shù)有關。這些參數(shù)會隨離合器的使用時間而改變，從而引起離合器制動扭矩滯后的現(xiàn)象。根據(jù)此特性得到更精確的傳遞函數(shù)：

式中K為扭矩放大系數(shù)，T為時間常數(shù)，ττ為離合器滯后時間。

由公式(12)可知，離合器的傳遞函數(shù)為滯后一階慣性環(huán)節(jié)，為了改善磁粉離合器的滯后性質(zhì)，在此提出Smith補償環(huán)節(jié)，在控制算法上用模糊PID控制取代傳統(tǒng)PID控制，以實現(xiàn)更準確的控制。

4 控制算法

4.1 Smith預估控制

如上所述，磁粉離合器傳遞函數(shù)具有一階純滯后特性。純滯后的單回路反饋控制系統(tǒng)如圖4。

圖4 純滯后的單回路反饋控制系統(tǒng)

由圖中可見傳遞函數(shù)包含純滯后環(huán)節(jié)G(s)e-ts，該環(huán)節(jié)使系統(tǒng)的響應時間變長。純滯后時間足夠長，系統(tǒng)將會發(fā)生失調(diào)狀況，降低系統(tǒng)的工作效率，影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如將G(s)與e-τs分開，并以G(s)為控制輸出的傳遞函數(shù)，以G(s)的輸出信號作為反饋信號，則可降低純滯后問題帶來的不穩(wěn)定性。為解決此問題，可引入一個與被控對象并聯(lián)的補償器，即稱為Smith預估補償器。補償系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 Smith補償反饋控制系統(tǒng)

大部分Smith預測補償系統(tǒng)中的控制系統(tǒng)是傳統(tǒng)的PID控制，需要精確的數(shù)學模型，而基于磁離合器的張力控制系統(tǒng)是時變系統(tǒng)，難以得到準確的數(shù)學模型，所以傳統(tǒng)的Smith控制系統(tǒng)不能滿足該時變系統(tǒng)的要求。

4.2 模糊PID控制

4.2.1 模糊控制規(guī)則

模糊控制是根據(jù)寫在控制器CPU里的規(guī)則表，通過自身學習和組織的功能，利用特定的語言變量建立映射關系，完成模糊推理，并將結(jié)果輸出到控制器[4-6]。規(guī)則表是系統(tǒng)的偏差值、偏差變化量和系統(tǒng)輸出之間的映射。模糊控制器由模糊化、知識庫（模糊矩陣表）、模糊推理、清晰化四部分組成。完整的模糊控制流程如圖6所示。

圖6 模糊控制流程圖

模糊規(guī)則表是模糊控制PID的核心，作為控制規(guī)則寫入控制算法中。模糊控制表一般是通過系統(tǒng)誤差e的一階閉環(huán)曲線進行分析，如表1所示即為本系統(tǒng)的模糊規(guī)則表。

表1 本系統(tǒng)模糊規(guī)則表

4.2.2 模糊PID

模糊PID控制是20世紀后期出現(xiàn)的一種自適應調(diào)節(jié)算法，在其使用過程中無需依靠準確的數(shù)學模型，只需一個“模糊模型”就能達到良好控制效果。它是解決由于各種參數(shù)變化而導致時變、非線性系統(tǒng)的非常有效的方法。模糊PID控制流程如圖7。

7圖 模糊PID控制流程圖

模糊控制器為兩輸入三輸出系統(tǒng)，輸入為誤差值和誤差變化率，輸出信號則為根據(jù)現(xiàn)場環(huán)境自調(diào)整的三個參數(shù)ΔKp、ΔKi、ΔKd。PID控制器結(jié)構(gòu)里的比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki、微分系數(shù)Kd分別由初始設定值Kp0、Ki0、Kd0和模糊控制輸出的三個參數(shù)組成，從而實現(xiàn)模糊PID復合控制器參數(shù)的自適應調(diào)整，最終會輸出目標張力值[7-9]，實現(xiàn)對離合器的扭矩控制。各參數(shù)之間的關系如下式：

式中Kp1、Ki1、Kd1為轉(zhuǎn)換比例系數(shù)。

5 仿真分析

根據(jù)電子拉力計在國標GB/T 1040-92測得的應力與應變關系,本系統(tǒng)采用的磁粉離合器額定扭矩為2Nm。勵磁電流為0.55A；鋁電解電容卷繞材料的錐度張力應在3N～8N之間變化。根據(jù)磁粉離合器的使用手冊得知時間常數(shù)為1.5s，滯后時間為0.5s。以此得到磁粉離合器的傳遞函數(shù)為：

式中放大系數(shù)K小于0，在仿真時取K=0.8。

在Similink上搭建傳統(tǒng)PID控制和Smith預估補償模糊PID控制模型，其中，模擬控制器的輸入Ke=0.5，Kec=4；輸出的轉(zhuǎn)換比例系數(shù)Kp1=0.01、Ki1=0.001、Kd1=0.03。傳統(tǒng)PID的初試設置參數(shù)為Kp0=0.82，Ki0=0.13，Kd0=1。為仿真搭建的兩種控制模型如圖8所示。

圖8 為仿真搭建的控制模型

仿真結(jié)果如圖9所示。圖9(a)為傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)階躍響應，其動態(tài)指標具體為：延遲時間td=0.3 s，上升時間tr=0.5s，峰值時間tp=0.7s，最大超調(diào)量σ%=10.8%，調(diào)節(jié)時間1.5s，振蕩次數(shù)N=4，系統(tǒng)運行中出現(xiàn)了失調(diào)現(xiàn)象。圖9(b)為Smith預估補償模糊PID控制模型，其動態(tài)指標為：延遲時間td=2.3s，上升時間tr=0.4s，峰值時間tp=0.5s，最大超調(diào)量σ%=10.5%，調(diào)節(jié)時間0.9 s，振蕩次數(shù)N=1，系統(tǒng)運行中無失調(diào)現(xiàn)象發(fā)生。通過各項數(shù)據(jù)對比，Smith預估補償模糊PID控制系統(tǒng)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制，能夠達到預期控制效果。

圖9 兩種控制方法的階躍響應仿真結(jié)果對比

6 結(jié)束語

從電解電容芯包卷繞運動情況入手，在建立其卷繞動力學模型的基礎上，設計了基于磁粉離合器的錐度張力卷繞系統(tǒng)。為了改善磁粉離合器的純滯后和系統(tǒng)時變的非線性問題，采用Smith補償控制和模糊PID控制兩種方式，搭建各自的數(shù)學模型在Simulink中進行系統(tǒng)仿真進行對比。仿真表明系統(tǒng)具有穩(wěn)定的性能和快速的響應。本設計已被應用于某個電解電容器制造商的相關產(chǎn)品中。