丁克良，靳婷婷，蔣志強(qiáng)，李 甜，陳昊旻

（1.北京建筑大學(xué) 測(cè)繪與城市空間信息學(xué)院，北京102616；2.中國(guó)科學(xué)院 上海高等研究院，上海201210；3.北京普達(dá)迪泰科技有限公司，北京100083）

1 引言

隨著大型科學(xué)工程的不斷發(fā)展，大尺寸精密工程三維控制網(wǎng)的測(cè)量精度越來(lái)越高［1-2］。為了保證布設(shè)的點(diǎn)位可以完全控制建筑的施工和移動(dòng)模塊的安裝，測(cè)量點(diǎn)數(shù)量要達(dá)到數(shù)萬(wàn)個(gè)，而常用的三點(diǎn)交會(huì)法已不能滿足大規(guī)模復(fù)雜工程的測(cè)量精度要求，需要對(duì)測(cè)量點(diǎn)和測(cè)站進(jìn)行加密處理。多點(diǎn)交會(huì)法卻可以選取有利的點(diǎn)位位置，有效地提高點(diǎn)位交會(huì)精度，從而提高整體網(wǎng)型的測(cè)量精度。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外研究人員就空間三維坐標(biāo)測(cè)量精度進(jìn)行了多方面的研究。張皓琳等根據(jù)最小二乘不等精度估計(jì)理論，分析得出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度主要受測(cè)量精度及點(diǎn)位幾何分布的影響［3］。劉湛基等提出結(jié)合最小二乘法的RANSAC快速轉(zhuǎn)換算法構(gòu)建公共點(diǎn)擬合變換模型，再利用評(píng)判模型選定最優(yōu)的公共點(diǎn)分布結(jié)構(gòu)［4］。李輝等分析了激光跟蹤儀受公共點(diǎn)分布影響的系統(tǒng)誤差，構(gòu)建了轉(zhuǎn)站參數(shù)誤差補(bǔ)償模型，提高了多基站轉(zhuǎn)站精度［5］。王強(qiáng)和Bergen等利用精度因子（Dilu?tion Of Precision，DOP）分別研究了到達(dá)角交匯定位系統(tǒng)（Activity On Arrow，AOA）基于距離測(cè)量和角度測(cè)量時(shí)儀器的最佳布設(shè)位置和數(shù)量［6-7］。熊芝等比較分析了基于空間測(cè)量定位系統(tǒng)(workshop Measurement Positioning System,w MPS）網(wǎng)絡(luò)布局中幾種經(jīng)典測(cè)站布局方式對(duì)測(cè)量精度的影響，獲得了最佳站位分布結(jié)構(gòu)［8］。周娜等根據(jù)激光雷達(dá)及iGPS系統(tǒng)的測(cè)量特性，對(duì)飛機(jī)數(shù)字化測(cè)量網(wǎng)絡(luò)的布站進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，有效提高了測(cè)量精度［9］。賈慶蓮等基于三維幾何分布 模 型（Geometrical Dilution of Precision，GDOP）分析了多個(gè)布站模式下周視搜索系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的定位誤差及分布規(guī)律，選定了最佳的布站模式［10］。Konchenko等通過(guò)DOP和圓誤差概率（Circular Error Probability，CEP）優(yōu)化了機(jī)場(chǎng)多邊監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的儀器布設(shè)位置［11］。范百興等通過(guò)構(gòu)建激光干涉測(cè)量三維點(diǎn)坐標(biāo)的幾何精度因子（Position Dilution of Precision，PDOP）模型，有效避免了測(cè)量點(diǎn)及測(cè)站的不利測(cè)量位置［12-14］。此外，研究人員還針對(duì)全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)中衛(wèi)星分布的空間三維坐標(biāo)測(cè)量精度進(jìn)行了研究［15-17］。所以，對(duì)多種測(cè)量方法的點(diǎn)位空間分布結(jié)構(gòu)的研究，是提高空間三維坐標(biāo)測(cè)量精度的重點(diǎn)。

由于測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量和空間位置分布是影響測(cè)量精度的主要因素，本文基于激光跟蹤儀測(cè)量系統(tǒng)，在分析三維平差模型的基礎(chǔ)上，對(duì)測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行量化分析，構(gòu)建了加權(quán)精度因子模型（Weighted Dilution Of Precision，w DOP），通過(guò)多方向多距離的點(diǎn)位交會(huì)插點(diǎn)精度實(shí)驗(yàn)分析，選取有利的點(diǎn)位位置，獲得了滿意的測(cè)量精度。

2 多點(diǎn)交會(huì)的計(jì)算方法

2.1 函數(shù)模型

如圖1所示，多點(diǎn)交會(huì)的觀測(cè)值為待定點(diǎn)P點(diǎn)到n個(gè)測(cè)量點(diǎn)的斜距S1～Sn，天頂距β1～βn，水平方向α1～αn，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為3n，必要觀測(cè)數(shù)為6。其中n為測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)，測(cè)量點(diǎn)T i的坐標(biāo)為(X i，Y i，Zi)，假 定 待 定 點(diǎn)P改 正 坐 標(biāo) 為(X p，Y p，Zp)，近似坐標(biāo)為(X0p，Y0p，Z0p)，近似坐標(biāo)的改正數(shù)為(δXp，δY p，δZp)。經(jīng)推導(dǎo)，各觀測(cè)值的誤差方程如下［18-19］：

圖1 激光跟蹤儀測(cè)量原理Fig.1 Measurement principle of laser tracker

上述誤差方程式表達(dá)成矩陣形式為：

其中：

計(jì)算B，l矩陣時(shí)，ρ=206265。

2.2 觀測(cè)值的權(quán)矩陣確定

以激光跟蹤儀的測(cè)量數(shù)據(jù)為例，激光跟蹤儀的測(cè)角誤差隨著測(cè)量距離的增大而增大［14］，其測(cè)角的標(biāo)稱方式一般采用±（a+b×S）的形式，其中a為固定誤差，單位為μm，b為比例誤差，單位為μm/m。以AT 960激光跟蹤儀為例，其角度標(biāo)稱精 度 為±（15μm+6μm/m）。因 此，角 度權(quán)為［20］：

激光跟蹤儀的天頂距測(cè)量精度與水平角的標(biāo)稱值相同，但實(shí)際測(cè)試表明，激光跟蹤儀的一測(cè)回水平方向中誤差要小于一測(cè)回垂直方向中誤差，因此在平差解算時(shí)，可按照如下原則賦權(quán)［21］：

其中k為小于1的系數(shù)，參考AT 960激光跟蹤儀的測(cè)角精度檢測(cè)結(jié)果，k一般取0.7～0.8比較合適。

激光跟蹤儀的距離觀測(cè)值的權(quán)可以表示為：

其中：a′為測(cè)距固定誤差，b′為測(cè)距的比例誤差，但是激光跟蹤儀的測(cè)距固定誤差一般都很小，因此其標(biāo)稱誤差一般都忽略固定誤差，只給出比例誤差。AT 960的距離標(biāo)稱精度為±0.5μm/m。

2.3 加權(quán)精度因子構(gòu)建

由誤差方程及觀測(cè)值權(quán)陣列出法方程并解算得到未知數(shù)［19，22］：

則待定點(diǎn)坐標(biāo)為：

單位權(quán)中誤差估值為：

式中：n為觀測(cè)量個(gè)數(shù)，t為必要觀測(cè)量個(gè)數(shù)。

待定點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為：

則待定點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為：

系數(shù)矩陣是測(cè)站點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)空間位置的反映，則加權(quán)精度因子的w DOP模型如下［16，23-24］：

其中：w PDOP為加權(quán)空間位置的精度因子，w H?DOP為加權(quán)水平位置的精度因子，w VDOP為加權(quán)高程的精度因子。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)方案

以3個(gè)測(cè)量點(diǎn)T1，T2，T3及測(cè)站P為基準(zhǔn)構(gòu)建四面體，由于激光跟蹤儀測(cè)角誤差會(huì)隨距離的增大而增大，則控制水平角和天頂距固定的情況下，在P和T3的測(cè)線上，移動(dòng)T3的位置，讓T3方向上的距離成倍增加，分別構(gòu)建T3-0～T3-15，共16個(gè)點(diǎn)位置，T1，T2點(diǎn)保持不變，如圖2所示。

圖2 點(diǎn)位分布Fig.2 Point distribution

對(duì)變化的四面體進(jìn)行連續(xù)測(cè)量和精度計(jì)算，XOY，YOZ，ZOX面內(nèi)w PDOP值的分布情況如圖3所示。從圖3可以看出，在3個(gè)平面內(nèi)，四面體的w PDOP值均隨著離測(cè)站點(diǎn)距離的增加而增加。所以在水平角和天頂距相當(dāng)?shù)那闆r下，為保證點(diǎn)位交會(huì)精度，測(cè)量點(diǎn)到測(cè)站的距離應(yīng)盡量短。

圖3 XOY，YOZ，ZOX三面內(nèi)的w PDOP等值線分布Fig.3 Contour distribution of w PDOP value in XOY，YOZ and ZOX planes

以某工程為例，根據(jù)已知測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)，自由布設(shè)測(cè)站，以測(cè)站為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，對(duì)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，實(shí)際布設(shè)情況如圖4所示。為保證點(diǎn)位交會(huì)精度，剔除水平角與天頂距近似但距離較長(zhǎng)的點(diǎn)，剩余點(diǎn)位分布如圖5所示。

圖4 原始點(diǎn)位分布Fig.4 Original point distribution

圖5 抽稀后點(diǎn)位分布Fig.5 Point distribution after thinning

以每3個(gè)測(cè)量點(diǎn)為一組，對(duì)所有測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行排列組合，循環(huán)計(jì)算，提取其w PDOP，w VDOP，w HDOP及點(diǎn)位交會(huì)中誤差Mp。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明w PDOP與Mp的數(shù)值分布情況基本一致，相關(guān)性達(dá)0.67，具體情況如圖6所示。

w PDOP與w VDOP，w HDOP的相關(guān)性分別為0.99和0.6。從圖7（a）可知，w PDOP與w V?DOP不僅具有良好的相關(guān)性，且w VDOP與w P?DOP的數(shù)值基本一致；w PDOP與w HDOP的相關(guān)性明顯低于w PDOP與w VDOP的相關(guān)性，且如圖7（b）所示數(shù)值上w HDOP遠(yuǎn)小于w PDOP，所以在考慮測(cè)量點(diǎn)的幾何分布情況時(shí)，主要考慮高程方向的影響因素，即可得到較好的測(cè)量點(diǎn)分布結(jié)構(gòu)。

圖7 w HDOP，w VDOP與w PDOP的關(guān)系Fig.7 Relationship between w HDOP，w VDOP and w P?DOP

w VDOP主要受天頂距和距離的影響，同組合中測(cè)量點(diǎn)間最大天頂距差值與w VDOP負(fù)相關(guān)，相關(guān)性達(dá)-0.60，同組合中最短距離與w V?DOP值呈正相關(guān)，相關(guān)性高達(dá)0.87。具體情況如圖8所示，距離相同時(shí)，隨著天頂距差值的不斷增大，w VDOP值逐漸減??；天頂距差值相同時(shí)，w VDOP隨著距離的減小而減小。所以在選擇測(cè)量點(diǎn)時(shí)，盡量選擇天頂距差值較大，測(cè)量距離較小的點(diǎn)組合進(jìn)行點(diǎn)位交會(huì)，可以有效地提高點(diǎn)位交會(huì)精度。

圖8 距離-天頂距差值的w VDOP等值線分布Fig.8 Contour distribution of w VDOP for distance-ze?nith distance difference

3.2 點(diǎn)數(shù)及空間分布對(duì)精度影響分析

理論上，對(duì)空間點(diǎn)進(jìn)行三維交會(huì)測(cè)量時(shí)，測(cè)量點(diǎn)數(shù)與測(cè)量點(diǎn)分布都直接影響w PDOP值。選擇上述測(cè)量點(diǎn)較為分散的四面體組合作為基準(zhǔn)，增加一測(cè)量點(diǎn)，分別計(jì)算新增測(cè)量點(diǎn)增加在已有四面體內(nèi)部、面上、外部（增加/不增加天頂距最大差值）時(shí)對(duì)點(diǎn)位交會(huì)精度的影響，然后依次在4，5，…，8多面體的4個(gè)位置分別增加測(cè)量點(diǎn)，從而得到點(diǎn)位交會(huì)精度，如圖9所示。整體而言，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)增加在多面體內(nèi)部時(shí)，w PDOP值及點(diǎn)位交會(huì)中誤差Mp最??；隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)的增加，w P?DOP值與點(diǎn)位交會(huì)中誤差都逐漸減小。實(shí)驗(yàn)證明：隨著測(cè)量點(diǎn)的增加，點(diǎn)位交會(huì)精度逐漸提高；在已有多面體的內(nèi)部增加測(cè)量點(diǎn)能更好地提高多點(diǎn)交會(huì)精度。

圖9 多面體新增點(diǎn)位置與精度關(guān)系Fig.9 Relationship between accuracy and position of new points in polyhedron

在已知四面體內(nèi)增加測(cè)量點(diǎn)，控制測(cè)量點(diǎn)的水平角和天頂距近似相同，增加斜距，分析結(jié)果如圖10（a）所示，隨著距離的增加，w PDOP值隨之下降；控制測(cè)量點(diǎn)的距離和天頂距近似相同，改變水平角，分析結(jié)果如圖10（b）所示，w PDOP值與水平角的分布沒(méi)有直接關(guān)系；控制測(cè)量點(diǎn)的距離和水平角近似相同，改變天頂距，分析結(jié)果如圖10（c）所示，w PDOP值隨著天頂距的增大而減小。實(shí)驗(yàn)證明：在多面體內(nèi)增加測(cè)量點(diǎn)時(shí)，在水平角一定的情況下，應(yīng)盡可能地減小測(cè)量點(diǎn)到測(cè)站的距離、增加測(cè)量點(diǎn)的天頂距，從而提高點(diǎn)位交會(huì)精度。

圖10 w PDOP與內(nèi)插點(diǎn)位置的關(guān)系Fig.10 Relationship between w PDOP and interpolation point position

在已知四面體內(nèi)依次插入1，2，…，16個(gè)點(diǎn)，16個(gè)點(diǎn)分別進(jìn)行隨機(jī)ξ排序，按照水平角α、天頂距β、斜距S大小降序排列，對(duì)4種排序數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析結(jié)果如圖11所示。w PDOP值、w H?DOP值、w VDOP值及點(diǎn)位交會(huì)中誤差Mp均會(huì)隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)的增加而減小，在5個(gè)測(cè)量點(diǎn)以后數(shù)值的減小幅度逐漸降低，6個(gè)測(cè)量點(diǎn)時(shí)均可得到一個(gè)較穩(wěn)定數(shù)值。所以，在點(diǎn)位交會(huì)中，使用6個(gè)點(diǎn)進(jìn)行交會(huì)計(jì)算，即可得到較高、較穩(wěn)定的點(diǎn)位交會(huì)精度。

圖11 多測(cè)量點(diǎn)交會(huì)精度分析Fig.11 Accuracy analysis of multi-measurement point intersection

4 結(jié)論

由于測(cè)站的點(diǎn)位交會(huì)精度主要受測(cè)量點(diǎn)空間幾何分布的影響，本文構(gòu)建了基于激光跟蹤儀測(cè)量系統(tǒng)的w DOP解算模型，從測(cè)量點(diǎn)在水平面和高程方向的點(diǎn)位分布、測(cè)量點(diǎn)數(shù)量對(duì)空間點(diǎn)位交會(huì)精度的影響進(jìn)行了比較分析。理論分析和實(shí)驗(yàn)表明，三點(diǎn)交會(huì)測(cè)量時(shí)，測(cè)站交會(huì)精度主要受點(diǎn)位高程方向的分布影響，高程精度因子w VDOP與空間位置精度因子w P?DOP值的相關(guān)性高達(dá)0.99，交會(huì)精度隨著測(cè)量點(diǎn)間最大天頂距差值的增大和最短距離的減小而提高。當(dāng)新增測(cè)量點(diǎn)在原有四面體之內(nèi)時(shí)，對(duì)減小測(cè)量點(diǎn)的w PDOP值具有顯著作用，且新增測(cè)量點(diǎn)的距離越短、天頂距越大，點(diǎn)位交會(huì)精度越高。增加測(cè)量點(diǎn)可以有效提高點(diǎn)位交會(huì)精度，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)達(dá)到6個(gè)時(shí)，點(diǎn)位交會(huì)精度可達(dá)到一個(gè)較穩(wěn)定、較高的狀態(tài)；隨著測(cè)量點(diǎn)的增加，點(diǎn)位精度提高的幅度逐漸減小。

根據(jù)本文構(gòu)建的幾何精度因子模型w DOP值的空間分布影響因素，可以指導(dǎo)大尺度精密工程三維控制網(wǎng)布設(shè)和測(cè)量，優(yōu)化最佳測(cè)站位置，最大限度地提高點(diǎn)位交會(huì)精度。