劉龍杰,劉向臻

（200093 上海市 上海理工大學(xué)）

0 引言

齒輪傳動(dòng)在傳動(dòng)系統(tǒng)中占據(jù)著重要的位置，被廣泛用于機(jī)械系統(tǒng)中，如車輛、飛機(jī)、機(jī)床等。齒輪傳動(dòng)性能對(duì)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)都有很大影響，一旦齒輪出現(xiàn)問(wèn)題，將會(huì)使傳動(dòng)系統(tǒng)無(wú)法正常工作，對(duì)車輛性能產(chǎn)生重要影響，因此，對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行可靠性研究很有必要。齒輪在靜應(yīng)力作用下的失效模式主要分為2 類：第1 類是齒輪齒面的接觸應(yīng)力大于齒輪的齒面最大接觸強(qiáng)度，造成齒輪齒面的破壞；第2 類是齒輪齒根彎曲應(yīng)力大于齒輪齒根最大彎曲強(qiáng)度，造成輪齒的斷裂。齒輪在動(dòng)載荷作用下的情況類似，分別是齒面接觸疲勞失效和齒根彎曲疲勞失效[1]。傳統(tǒng)方法在對(duì)齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)分析或者強(qiáng)度校核時(shí)主要是將載荷和強(qiáng)度視為固定不變的常數(shù)，該方法一般過(guò)于保守。傳統(tǒng)方法雖然將齒面接觸疲勞和齒根彎曲疲勞考慮在內(nèi)，但是并沒(méi)有考慮到載荷、應(yīng)力與強(qiáng)度的隨機(jī)性，并且也不能保證齒輪傳動(dòng)的可靠性[2]。

本文以可靠性理論為基礎(chǔ)，認(rèn)為齒輪的應(yīng)力與強(qiáng)度是隨機(jī)變量并且服從正態(tài)分布，通過(guò)建立以最小體積為目標(biāo)，以強(qiáng)度、可靠性為約束的優(yōu)化模型，將齒輪的主要參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，對(duì)其進(jìn)行可靠性優(yōu)化。以某轎車減速器齒輪傳動(dòng)為例計(jì)算，經(jīng)優(yōu)化后齒輪分度圓體積之和減小16.4%，齒輪結(jié)構(gòu)更加緊湊。

1 齒輪傳動(dòng)可靠度分析

對(duì)于機(jī)械零部件，若應(yīng)力、強(qiáng)度均為定值，則只需應(yīng)力小于強(qiáng)度，則可認(rèn)為零部件不會(huì)失效。然而實(shí)際上，一般零部件的應(yīng)力、強(qiáng)度都是時(shí)間的函數(shù)，并且是服從某種分布的隨機(jī)變量，以應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型[3]來(lái)表示。

如圖1 所示，f（s）為應(yīng)力概率密度函數(shù)；g（s）為強(qiáng)度概率密度函數(shù)。干涉區(qū)表明零件可能會(huì)失效。零件的可靠度為強(qiáng)度r＞s 的概率，表示為

圖1 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型Fig.1 Stress-strength interference model

假設(shè)機(jī)械零部件的應(yīng)力s 和強(qiáng)度r 都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則可靠度系數(shù)表示為

式中：μr，μs，σr，σs——強(qiáng)度、應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

可靠度表示為

齒輪嚙合時(shí)，也可以用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型來(lái)描述齒輪的可靠度。齒輪的失效形式主要是齒面發(fā)生損傷以及齒根發(fā)生斷裂，所以,需要分別對(duì)齒面接觸疲勞和齒根彎曲疲勞進(jìn)行可靠性分析。

1.1 齒面接觸疲勞可靠度

齒輪接觸疲勞可靠度為接觸應(yīng)力小于疲勞極限σHlim的概率為[4]

按照齒輪的接觸應(yīng)力和強(qiáng)度都服從正態(tài)分布，即s-N（σsH，SsH），r-N（σrH，SrH），則接觸疲勞可靠度為

式中：σsH——接觸應(yīng)力的均值；SsH——接觸應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差；σrH——齒輪強(qiáng)度的均值；SrH——強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差；βH——接觸疲勞可靠度系數(shù)。

齒輪在嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力為

式中：KA——使用系數(shù)；KV——?jiǎng)虞d系數(shù)；KHβ——齒向載荷分配系數(shù)；KHα——齒間載荷分配系數(shù)；T——齒輪所受轉(zhuǎn)矩；b——齒寬；d——小齒輪分度圓直徑；u——齒數(shù)比（外嚙合時(shí)為+，內(nèi)嚙合時(shí)為-)，大齒輪齒數(shù)/小齒輪齒數(shù)；ZH——節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)；Zε——重合度系數(shù)；ZE——彈性系數(shù)；Zβ——螺旋角系數(shù)。

將扭矩T看做是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其余參數(shù)視為確定值，則接觸應(yīng)力的均值σsH和標(biāo)準(zhǔn)差SsH表示為

式中：CsH——接觸應(yīng)力變異系數(shù)。

若齒輪接觸疲勞強(qiáng)度為σHlim，則接觸疲勞強(qiáng)度均值σrH和標(biāo)準(zhǔn)差SrH表示為

式中：ZN——壽命系數(shù)；ZL——潤(rùn)滑劑系數(shù)；ZV——速度系數(shù)；ZR——粗糙度系數(shù)；ZW——工作硬化系數(shù)；ZX——尺寸系數(shù)；CrH——接觸強(qiáng)度變異系數(shù)。

令齒面接觸疲勞可靠度RH>99.5%，則可由正態(tài)分布表查得可靠度系數(shù)βH>2.58，即

1.2 齒根彎曲疲勞可靠度

與齒面接觸疲勞可靠度相似，齒根彎曲疲勞可靠度表示彎曲應(yīng)力小于疲勞極限σFlim的概率為

按照齒根彎曲應(yīng)力和彎曲強(qiáng)度服從正態(tài)分布，即s-N（σsF，SsF），r-N（σrF，SrF），則彎曲疲勞可靠度為

式中：σsF——彎曲應(yīng)力的均值；SsF——彎曲應(yīng)力應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差；σrF——強(qiáng)度的均值；SrF——彎曲強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差；βH——彎曲疲勞可靠度系數(shù)。

齒根彎曲應(yīng)力表示為

式中：KFβ——齒向載荷接觸系數(shù)；KFα——齒間載荷分配系數(shù)；YFα——齒形系數(shù)；Yε——重合度系數(shù)；YSα——應(yīng)力修正系數(shù)；Yβ——螺旋角系數(shù)；mn——法向模數(shù)。

類似的，同樣認(rèn)為扭矩T是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其余參數(shù)視為確定值，則齒根彎曲應(yīng)力的均值σsF及其標(biāo)準(zhǔn)差SsF表示為

式中：CsF——彎曲應(yīng)力變異系數(shù)。

若齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度為σFlim，則彎曲疲勞強(qiáng)度均值σrF和標(biāo)準(zhǔn)差SrF表示為

式中：YN——彎曲壽命系數(shù)；Y1——齒根圓角敏感系數(shù)；Y2——齒根表面狀況系數(shù)；YX——尺寸系數(shù)；CrF——彎曲強(qiáng)度變異系數(shù)。

令齒根彎曲疲勞可靠度RH>99.5%，則可由正態(tài)分布表查得可靠度系數(shù)βH>2.58，即

2 齒輪可靠性優(yōu)化

2.1 設(shè)計(jì)變量

齒輪傳動(dòng)的主要參數(shù)有模數(shù)m，主動(dòng)齒輪齒數(shù)Z1，齒寬b，傳動(dòng)比i，螺旋角β，以主要參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量：

2.2 目標(biāo)函數(shù)

齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)緊湊、節(jié)省材料、降低成本是最重要的要求，因此以齒輪傳動(dòng)體積最小為目標(biāo)[5]。齒輪體積計(jì)算復(fù)雜，為簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)，以分度圓體積代替齒輪的體積作為目標(biāo)函數(shù)，即

目標(biāo)函數(shù)為

2.2 約束條件

齒輪約束條件包括齒面和齒根可靠度條件、邊界條件、結(jié)構(gòu)尺寸條件等。

（1）上文分析的可靠度條件；

（2）重合度條件

（3）強(qiáng)度約束條件

3 實(shí)例計(jì)算

以某轎車減速器一對(duì)嚙合齒輪為例，齒輪是動(dòng)力系統(tǒng)中最重要的零件，但是傳動(dòng)齒輪設(shè)計(jì)方法過(guò)于保守，造成材料浪費(fèi)嚴(yán)重，且齒輪體積過(guò)大，影響使用性能。輸入轉(zhuǎn)矩傳動(dòng)比i=2.48，主動(dòng)輪齒數(shù)Z=25，齒寬b=29.5mm，法面模數(shù)mn=2，螺旋角β=33.9°，齒輪材料為20MnCr5。

利用上述方法建立優(yōu)化模型

式中：gi（x）——非線性約束條件，ai，bi——變量xi的下限和上限。

遺傳算法（Genetic Algorithm）最早由美國(guó)的John Holland 提出[6]。該算法是一種模擬自然界生物進(jìn)化和遺傳的模型，利用計(jì)算機(jī)仿真迭代，將問(wèn)題求解過(guò)程變?yōu)轭愃迫旧w基因的交叉、變異等過(guò)程[7]。相對(duì)于一般算法容易陷入局部最小值，遺傳算法具有全局優(yōu)化性強(qiáng)、收斂快等優(yōu)點(diǎn)，其求解過(guò)程如圖2 所示。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flow chart of genetic algorithm

利用MATLAB 遺傳算法工具箱[8]對(duì)模型進(jìn)行求解并整理獲得結(jié)果如表1 所示。

表1 優(yōu)化前后對(duì)比Tab.1 Comparison before and after optimization

從表1 可以看出，優(yōu)化后的齒輪分度圓體積之和減小了16.4%，說(shuō)明齒輪體積也隨之減小。

4 結(jié)論

本文以可靠性理論為基礎(chǔ)，將齒輪所受的應(yīng)力與材料強(qiáng)度認(rèn)為是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，利用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，對(duì)齒面接觸疲勞可靠度和齒根彎曲疲勞可靠度進(jìn)行分析。以齒輪傳動(dòng)的主要參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，將齒輪的可靠度、重合度和齒輪強(qiáng)度為約束條件建立了齒輪可靠性優(yōu)化模型。并以某轎車減速器為實(shí)例，運(yùn)用可靠性理論，同時(shí)結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以齒輪體積最小作為目標(biāo)函數(shù)，并利用MATLAB 中的遺傳算法工具箱，模型進(jìn)行求解得到了優(yōu)化后的參數(shù)，模數(shù)mm=1.75 mm，齒數(shù)z=22，齒寬z=24，傳動(dòng)比i=3.27，螺旋角β=32.5°。優(yōu)化結(jié)果表明，經(jīng)優(yōu)化后，齒輪分度圓體積之和減少了16.4%。