孟 湘，曾洪濤，劉 冬，肖志懷，黃宗磊

（1.武漢大學(xué)水力機(jī)械過(guò)渡過(guò)程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072；2.武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，武漢430072；3.華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，武漢430074；4.中國(guó)長(zhǎng)江電力股份有限公司，湖北宜昌443000）

0 引 言

在水電機(jī)組故障診斷中，轉(zhuǎn)子由于其高速運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下受到的巨大的機(jī)械應(yīng)力和電磁力，往往是故障高發(fā)部位。對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取是判斷故障類(lèi)型的一種重要方式，由于實(shí)際采集的故障信號(hào)往往存在著噪聲的干擾，因此對(duì)振動(dòng)信號(hào)去噪處理的效果會(huì)對(duì)故障診斷的結(jié)果造成很大影響，如何提高降噪效果，盡量獲得更多的有效信息是十分重要的研究問(wèn)題。

傳統(tǒng)的消噪方法有Fourier去噪和小波去噪等，但Fourier去噪主要針對(duì)周期性平穩(wěn)信號(hào)［1］，而轉(zhuǎn)子故障信號(hào)具有隨機(jī)性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn)，因此采用Fourier去噪方法并不能有效地消除故障信號(hào)中的噪聲；而小波去噪雖然能夠去除非平穩(wěn)信號(hào)中的噪聲，但需要選取合適的小波基才能達(dá)到較好的去噪效果［2］。針對(duì)這些問(wèn)題，本文提出了一種基于樣本熵的變分模態(tài)分解和小波軟閾值降噪方法（Sample Entropy based Variational Mode Decomposition-Soft Wavelet-thresholding Denoising）。

變分模態(tài)分解［3］（Variational Mode Decomposition）是Dragomiretskiy 等人在2014年提出的一種新的信號(hào)處理的方法，VMD 算法是一種完全非遞歸的算法，與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition）［4］相比有著翔實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)、更高的計(jì)算效率和對(duì)噪聲與振動(dòng)更強(qiáng)的魯棒性。有研究證明VMD算法在分解性能上要優(yōu)于EMD 算法［5］，自提出以來(lái)，VMD 方法在去噪方面獲得了廣泛的應(yīng)用［6-12］。

小波閾值降噪［13］（Wavelet-thresholding Denoising）是一種應(yīng)用十分廣泛的降噪方法，按照閾值的選擇方式不同，可分為硬閾值（h）和軟閾值（s）兩種。由于硬閾值算法的不連續(xù)性容易使信號(hào)產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象，從而導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生震蕩、不夠光滑［14］，而軟閾值算法改進(jìn)了這一缺陷，因此，本文將使用軟閾值算法。

樣本熵［15］（Sample Entropy）是用來(lái)衡量時(shí)間序列隨機(jī)程度的指標(biāo)，隨機(jī)程度與樣本熵的值呈正相關(guān)。一般而言，信號(hào)中的有用成分是較為規(guī)律的，而噪聲則具有隨機(jī)性。因此樣本熵的值可以反應(yīng)含噪的多少。由于樣本熵的計(jì)算具有不依賴(lài)于數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度、不受信號(hào)固有特性的影響的特點(diǎn)［16］，并且噪聲的大小也無(wú)關(guān)［17］，因此具有很高的精確性。

本文將樣本熵作為小波軟閾值降噪的指標(biāo)，并與變分模態(tài)分解相結(jié)合，首先，對(duì)采集到的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行變分模態(tài)分解，然后計(jì)算每個(gè)內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function）的樣本熵，并對(duì)樣本熵高的分量信號(hào)采用小波軟閾值方法降噪，最后將信號(hào)重構(gòu)回去，并對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行信噪比分析，最后計(jì)算基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和小波軟閾值降噪后的信號(hào)的信噪比，并進(jìn)行比較分析。

1 基本理論

1.1 變分模態(tài)分解

在變分模態(tài)分解中，IMF被定義為一個(gè)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)，

式中：相位φk(t)為一個(gè)非減函數(shù)；Ak(t)為瞬時(shí)幅值且為非負(fù)數(shù)，且Ak(t)與瞬時(shí)頻率ωk(t)=φ′k(t)相較相位φk(t)而言變化十分緩慢，即在一個(gè)足夠長(zhǎng)的時(shí)間范圍［t－δ，t＋δ］[δ≈2π/φ′k(t)]內(nèi)，uk(t)可以被看做是一個(gè)純諧波信號(hào)，其幅值為Ak(t)，頻率為ωk(t)。

相較于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中IMF 的定義，這一定義更加嚴(yán)格，放棄了EMD中使用的循環(huán)篩分剝離的處理方式，而是采用搜尋約束變分模型的最優(yōu)解的方式，在搜尋過(guò)程中，不斷更新每個(gè)IMF 的中心頻率和帶寬，最終根據(jù)實(shí)際信號(hào)的頻率特性完成信號(hào)頻帶的自適應(yīng)分解。

VMD的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

（1）初始化uk，ωk，λ，n=0。

（2）n=n+1。

（3）對(duì)所有ω≥0，根據(jù)(ω)更新uk：

根據(jù)更新ωk：

（4）k=k+1，重復(fù)步驟（3），直至k=K，結(jié)束內(nèi)層循環(huán)。

在上述過(guò)程中，K為分解后的IMF 分量個(gè)數(shù)，λ為拉格朗日乘子，α為懲罰參數(shù)，τ為保真?zhèn)€數(shù)，ε為判別精度，其中對(duì)分解效果影響較大的是K和α，當(dāng)K過(guò)大或過(guò)小時(shí)，會(huì)分別導(dǎo)致過(guò)分解和欠分解；而α值主要影響的是帶寬，當(dāng)α較大時(shí)，各分量帶寬較小，當(dāng)α較小時(shí)，各分量帶寬較大［18，19］。因此，選擇合適的K值和α值非常重要。

1.2 小波軟閾值降噪

小波閾值降噪是一種常用的降噪方式，根據(jù)不同的閾值的選取方式可以將其分為硬閾值和軟閾值兩種。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于小波閾值降噪的本身特性，還是會(huì)有一些有用信號(hào)被消除［13］。如果將小波閾值降噪不作用于整個(gè)信號(hào)，而只對(duì)含噪較高的部分降噪，就可以在很大程度上改善小波閾值降噪的缺陷［13］?；诖耍袑W(xué)者提出將EMD與小波閾值相結(jié)合［20，21］，因?yàn)镋MD 分解后產(chǎn)生的IMF 分量會(huì)按低頻到高頻自動(dòng)分布，因此很容易篩選出高頻分量。但EMD缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論支持，容易產(chǎn)生模態(tài)混疊，反而會(huì)丟失一部分信息，使降噪效果不太好。而VMD 大大改善了EMD 存在的一些固有缺陷，因此針對(duì)這一問(wèn)題，采用VMD 與小波閾值相結(jié)合的方法可以有效地避免模態(tài)混疊現(xiàn)象，降噪效果更好。

1.3 樣本熵

對(duì)VMD 分解后產(chǎn)生的IMF進(jìn)行樣本熵計(jì)算，可以將IMF劃分為含噪聲較高的分量和含噪聲較小或幾乎不含噪聲的特征信號(hào)分量。

對(duì)于一組時(shí)間序列{u(i)，1 ≤i≤N}，首先創(chuàng)建一組m維的空間向量Y(1)，Y(2)，…，Y(N-m=1)，Y(i)={u(i)，u(i+1)，…，u(i+m)}，然后計(jì)算向量Y(i) 和Y(j) 之間距離的最大值：

式中：r為允許偏差，即閾值。

對(duì)于i(1 ≤i≤N-m+1)，計(jì)算d＜r的數(shù)量及與距離之比，然后計(jì)算其平均值：

m=m+1，重復(fù)上述步驟得到(r)，φm+1(r)，則樣本熵為，

在實(shí)際應(yīng)用中，N當(dāng)然是有限的，則樣本熵為，

重構(gòu)維數(shù)m一般取值為1 或2，優(yōu)先選2，閾值大小r一般選擇r=(0.1～0.25)Std(data)，在本算法中取m=2，r=0.2Std(data)。

1.4 信噪比

信噪比（Signal to Noise Ratio）是有用信號(hào)與噪聲的比值，信噪比越高，表示降噪后的信號(hào)中有用信號(hào)越高而噪聲含量越少，即去噪效果越好。文獻(xiàn)［22］中介紹了信噪比的計(jì)算方式，為：

式中：Sn為原信號(hào)；為降噪后信號(hào)；N為采樣點(diǎn)數(shù)。

1.5 具體實(shí)現(xiàn)步驟

本文算法流程如圖1所示。

2 仿真過(guò)程

實(shí)驗(yàn)采集的振動(dòng)信號(hào)由一臺(tái)轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)產(chǎn)生，頻率為2 048 Hz，轉(zhuǎn)速為1 200 r。整個(gè)轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)床由速度調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)盤(pán)、耦合器、傳感器和軸承構(gòu)成，速度調(diào)節(jié)器由一臺(tái)控制器控制，通過(guò)數(shù)據(jù)采集儀將傳感器所測(cè)得的數(shù)據(jù)傳送到電腦中，如圖2所示。

實(shí)驗(yàn)共測(cè)得180組轉(zhuǎn)子垂直振動(dòng)信號(hào)，涵蓋正常、轉(zhuǎn)子不對(duì)中、轉(zhuǎn)子不平衡和碰磨4種工況。

2.1 基本過(guò)程

以一組正常工況下的轉(zhuǎn)子垂直振動(dòng)信號(hào)為例，原始信號(hào)如圖3所示。

文獻(xiàn)［20］通過(guò)全局敏感性分析得到對(duì)信號(hào)分解影響程度較大的參數(shù)依次為模態(tài)數(shù)K，懲罰因子α和保真度τ。

將參數(shù)設(shè)置為K=8，α=2 337，τ=0.1［20］，其余為默認(rèn)參數(shù)DC=0，init=1，tol=e-7，分解后得到的IMF 如圖4所示。分別計(jì)算每個(gè)IMF的樣本熵，結(jié)果如圖5所示。

由樣本熵的大小可將其分為噪聲含量較小的分量即IMF1～4，以及噪聲含量較大的IMF5～8，這也驗(yàn)證了前文中提到的噪聲集中于高頻分量。這樣可以有針對(duì)性地對(duì)IMF進(jìn)行降噪處理。

2.2 小波軟閾值降噪

對(duì)IMF5～8 進(jìn)行小波軟閾值降噪處理，得到降噪后的波形圖如圖6所示。將降噪后的分量和其他分量重構(gòu)，得到降噪后的信號(hào)，如圖7所示。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)式（6）分別計(jì)算出兩種方法在4種工況下的信噪比，其平均值如圖8所示。

圖8中，4 種工況分別為轉(zhuǎn)子不對(duì)中、轉(zhuǎn)子不平衡、正常工況和碰磨，可以看出在4 種工況下VMD-SWT 方法降噪后的信噪比的平均值均顯著高于EMD-SWT 方法。在正常工況下，兩者的差距最小，但VMD-SWT 方法仍明顯優(yōu)于EMD-SWT 方法，且在正常工況下兩者均具有較高的信噪比，這可能是因?yàn)樵谡９r下，信號(hào)所收到的噪聲干擾并不太大的原因。

全部180組數(shù)據(jù)的信噪比結(jié)果如圖9所示。

3 結(jié) 論

針對(duì)轉(zhuǎn)子故障信號(hào)的降噪問(wèn)題，本文提出一種基于樣本熵選取的VMD-SWT 降噪方式，通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)產(chǎn)生的4 種運(yùn)行工況下的垂直振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析和比較，可以發(fā)現(xiàn)VMD-SWT 方法降噪后的信噪比在4 種工況下的平均值分別為1.664 7、3.380 4、2.793 8、3.503 4，而經(jīng)EMD-SWT方法降噪后的信噪比平均值分別為0.663 7、0.896 6、1.894 0、0.572 4，即使是差距最小的正常工況，經(jīng)VMD-SWT 方法降噪后的信號(hào)信噪比相較于EMD-SWT 方法仍提高了約50%，且在正常工況下兩者均具有較高的信噪比，這可能是因?yàn)樵谡９r下，信號(hào)所收到的噪聲干擾并不太大的原因，而在其他3 種工況下，VMD 方法的信噪比均是EMD 方法的2.5 倍以上。且觀察所有180 組信號(hào)的信噪比折線(xiàn)圖可發(fā)現(xiàn)，除正常工況下因?yàn)樾盘?hào)采集造成的誤差出現(xiàn)了一次不正常波動(dòng)外，VMD 方法的信噪比均高于EMD方法，因此可以驗(yàn)證VMD-SWT方法的有效性。