徐宗煌, 徐劍莆, 李世龍, 林慧雅

(福州理工學(xué)院 a. 應(yīng)用科學(xué)與工程學(xué)院, b. 計算與信息科學(xué)學(xué)院, c. 商學(xué)院, 福建 福州 350506)

在生產(chǎn)集成電路板等電子產(chǎn)品的過程中,需要將各種電子元件的印刷電路板在回焊爐內(nèi)進行焊接.通過加熱的方式將電子元件自動焊接到電路板上.在此過程中,對回焊爐內(nèi)的溫度、電路板兩側(cè)傳送帶的速度和電子元件的焊接時間等因素有著嚴(yán)格要求,對產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要.實際生產(chǎn)時可以通過調(diào)節(jié)各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產(chǎn)品質(zhì)量.目前,這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的.

現(xiàn)階段,國內(nèi)外對于回焊爐電路板焊接爐溫曲線已經(jīng)開展了一系列的分析研究.在國內(nèi),席晨馨[1]利用微分方程模型,同時結(jié)合模擬退火算法,對爐溫曲線的優(yōu)化設(shè)計進行了研究.湯宗健等[2]通過對回流焊爐溫曲線的管控與分析,對加強回流焊爐各溫區(qū)溫度的監(jiān)控提出了一系列有針對性的措施.孟祥[3]則針對不同生產(chǎn)工況切換下的加熱爐爐溫優(yōu)化方法進行了分析研究,得到最佳爐溫分布曲線.叢銘智等[4]利用機理預(yù)測替換傳統(tǒng)經(jīng)驗法,在回流焊機理分析和熱力學(xué)分析的基礎(chǔ)上對爐溫曲線控制方法展開了相關(guān)研究.而國外的Iqbal等[5]對回流焊在母板應(yīng)用中的柔性印刷電路板溫度預(yù)測,并對回流曲線的溫度分布進行了優(yōu)化.Lempinen等[6]利用有限元仿真軟件和實驗環(huán)境下,分別研究不同加熱時間常數(shù)對回流爐的焊接爐溫曲線峰值焊接溫度的影響.Hegde等[7]采用有限元分析方法研究回爐焊中溫度分布不均勻?qū)更c結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響.Srisertpol等[8]提出了一種基于系統(tǒng)辨識方法的加熱爐步進梁型數(shù)學(xué)模型,從而對加熱爐的溫度進行控制.

通常情況下,回焊爐內(nèi)部設(shè)置若干個小溫區(qū),它們從功能上可分成4個大溫區(qū):預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū).電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進入爐內(nèi)進行加熱焊接.某回焊爐內(nèi)有11個小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域,如圖1所示.每個小溫區(qū)長度為30.5 cm,相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙,爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長度均為25 cm.另外,生產(chǎn)車間的溫度保持在25 ℃.

圖1 回焊爐截面示意圖Fig.1 Schematic diagram of cross section of reflow furnace

本文基于牛頓冷卻定律和微分思想,分別建立焊接區(qū)域傳熱機理模型、傳送帶過爐速度優(yōu)化模型以及峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型,對回焊爐電路板焊接爐溫曲線進行一系列優(yōu)化分析研究.

1 焊接區(qū)域傳熱機理模型

1.1 模型分析

首先分析已知數(shù)據(jù),找出電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響規(guī)律.運用微分方程[9-11]的思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,根據(jù)已給出的數(shù)據(jù),將電路板在焊接過程中的時間、速度和溫度變化寫出相應(yīng)的微分關(guān)系式.再根據(jù)數(shù)據(jù)擬合的圖像進行分段分析,導(dǎo)入電路板運動的時間,改變各溫區(qū)的溫度,代入數(shù)據(jù)即可求出電路板在回焊爐內(nèi)的位移與焊接區(qū)域中心溫度的變化關(guān)系.從而列出不同傳送帶過爐速度與溫區(qū)溫度情況下,電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化情況,主要思路如圖2所示.

圖2 焊接區(qū)域傳熱機理模型主要思路Fig.2 Main ideas of heat transfer mechanism model in welding zone

1.2 模型建立

1.2.1 電路板吸收熱量的規(guī)律分析

根據(jù)已經(jīng)給出的附件,找出電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響規(guī)律.為便于后續(xù)計算,先將自變量即電路板在焊接過程中的運動時間t用速度位移公式s=vt進行轉(zhuǎn)換,設(shè)電路板在焊接過程中的位移為x.轉(zhuǎn)化后為x=vt,表示為

(1)

為求電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響,設(shè)電路板在焊接過程中的環(huán)境溫度θ0,時間為t時焊接區(qū)域中心的溫度為θ(t),此時環(huán)境溫度與電路板焊接區(qū)域中心溫度的溫度差表示為Δθ(t).其表達式為

Δθ(t)=θ0-θ(t).

(2)

通過分析附件中的數(shù)據(jù),可以得到電路板在焊接過程中的位移x與電路板焊接區(qū)域中心溫度θ(x)的關(guān)系,由此可以求出電路板位移與溫度的變化量.運用微分方程的思想,建立關(guān)系式

(3)

聯(lián)立式(1)和式(3)得到的函數(shù)關(guān)系式為

(4)

根據(jù)式(4)進行數(shù)據(jù)處理,可以畫出附件數(shù)據(jù)條件下的爐溫曲線,據(jù)此進行下一步分析.

1.2.2 電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化分析

通過以上分析可知,電路板在已知溫區(qū)和相應(yīng)傳送帶速度的情況下的溫度變化情況.將實驗數(shù)據(jù)的速度v=78 cm·min-1單位化成cm·s-1,即v=1.3 cm·s-1.根據(jù)傳送帶的過爐速度和電路板的運動時間t計算出電路板在各個時刻的位移.因為模型中電路板速度大于原電路板速度,所以若繼續(xù)運用時間t作自變量則會導(dǎo)致圖像溫度與電路板運動位置的不匹配,造成計算誤差.所以要將自變量時間t通過式(1)進行替換,以位移x作為自變量.

根據(jù)附件中的數(shù)據(jù),將實驗數(shù)據(jù)中各溫區(qū)的溫度與原數(shù)據(jù)各溫區(qū)的溫度進行比較差值,對應(yīng)加減相應(yīng)的溫度即可求出相應(yīng)的爐溫曲線.

1.3 模型求解

1.3.1 電路板吸收熱量的規(guī)律求解

根據(jù)式(4),將附件中的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合.為便于分析,根據(jù)原數(shù)據(jù)的各個溫區(qū)溫度畫出了環(huán)境溫度與爐溫曲線,如圖3所示.

圖3 原數(shù)據(jù)條件下電路板焊接的環(huán)境溫度與爐溫曲線Fig.3 Ambient temperature andFurnace temperature curve of circuit board welding under original data conditions

通過對圖3分析可知,電路板溫度與環(huán)境溫度的溫差越大時,電路板的吸熱能力越強.當(dāng)電路板溫度越接近環(huán)境溫度時,電路板的吸熱能力越差.

電路板在各個溫區(qū)吸收熱量的能力不同,且差異較大.所以要求出電路板焊接過程中的爐溫曲線,就要分溫區(qū)進行數(shù)據(jù)分析和擬合.

1.3.2 電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化求解

附件是某次實驗中爐溫曲線的數(shù)據(jù),傳送帶的過爐速度為70 cm·min-1,各溫區(qū)設(shè)定的溫度分別為175 ℃(小溫區(qū)1～5)、195 ℃(小溫區(qū)6)、235 ℃(小溫區(qū)7)、255 ℃(小溫區(qū)8～9)及25 ℃(小溫區(qū)10～11);而給定的傳送帶過爐速度為78 cm·min-1,各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173 ℃(小溫區(qū)1～5)、198 ℃(小溫區(qū)6)、230 ℃(小溫區(qū)7)和257 ℃(小溫區(qū)8～9),整理如表1所示.

表1 各溫區(qū)附件數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的溫度及變化量

根據(jù)表1中的溫度變化量進行數(shù)據(jù)處理, 將各個溫區(qū)原有的電路板焊接區(qū)域中心溫度傳感器感受到的溫度對應(yīng)加減相應(yīng)的溫度變化量. 對該列數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合, 以電路板在傳送帶上的位移x為自變量, 以位移為x時焊接區(qū)域中心的溫度θ(x)為因變量, 進行2次項曲線擬合.得到的擬合圖像如圖4所示.

圖4 傳送帶速度為78 cm·min-1及其 對應(yīng)溫區(qū)下的爐溫曲線Fig.4 Furnace temperature curve at a conveyor speed of 78 cm·min-1 and its corresponding temperature zone

根據(jù)圖4所擬合的圖像,反向推導(dǎo)出各溫區(qū)的函數(shù)表達式,由于擬合的圖像是由所求數(shù)據(jù)擬合而成,所以會有一定的誤差,推導(dǎo)出的各溫區(qū)的函數(shù)表達式如下:

(5)

接著根據(jù)式(5)擬合出的函數(shù)表達式,代入相應(yīng)的溫區(qū)位移,即可得到小溫區(qū)3、6、7中點及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度,如表2所示.

表2 各溫區(qū)焊接區(qū)域中心的溫度

由于爐前溫度的擬合函數(shù)與實際情況誤差較大,本數(shù)據(jù)擬合出的進入小溫區(qū)1時電路板的溫度為25.33 ℃,又考慮從運動開始時0 s至運動到小溫區(qū)1時16.5 s正好有32個數(shù)據(jù),假設(shè)此段時間內(nèi)電路板的吸熱能力恒定,溫度變化率相同,即每過0.5 s溫度升高0.01 ℃.

最后根據(jù)擬合的函數(shù),將位移x根據(jù)式(1)代換成位移時間t的函數(shù),代入對應(yīng)的點坐標(biāo),即可求出電路板從爐前區(qū)域勻速運動至爐后區(qū)域全過程的焊接區(qū)域中心的溫度數(shù)據(jù).

2 傳送帶過爐速度優(yōu)化模型

2.1 模型分析

假定各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182 ℃(小溫區(qū)1～5)、203 ℃(小溫區(qū)6)、237 ℃(小溫區(qū)7)、254 ℃(小溫區(qū)8～9),要求確定允許的最大傳送帶過爐速度,就必須滿足制程界限的約束條件.如果速度過快,會使電路板的加熱時間不足,從而導(dǎo)致在升溫過程中在150～190 ℃的時間及溫度大于217 ℃的時間不足,以及電路板在溫度上升和下降的過程中的斜率過大,從而導(dǎo)致電路板上電子元件的焊接不穩(wěn)定.若傳送帶的過爐速度過低,則會導(dǎo)致超出上述2個界限的范圍時間.同時要合理地控制電路板加熱的峰值溫度保持在240～250 ℃之間.

速度的不同會導(dǎo)致在各個界限中數(shù)據(jù)的不同,要想求出允許的最大傳送帶過爐速度,就需要計算大量的不同速度情況,并判斷其是否滿足制程界限.因此該模型根據(jù)多重搜索算法對傳送帶過爐速度進行搜索求解,主要思路如圖5所示.

圖5 傳送帶過爐速度優(yōu)化模型主要思路Fig.5 The main idea of the conveyor belt passing furnace speed optimization model

2.2 模型建立

2.2.1 電路板焊接區(qū)域中心溫度分析

要確定允許的最大傳送帶的過爐速度,就要先確定約束條件的約束區(qū)間如何計算求解,因此運用牛頓冷卻定律[12-14]進行溫度變化的求解.牛頓冷卻定律的表述為系統(tǒng)溫度損失速度與系統(tǒng)和環(huán)境的溫差θ環(huán)成正比,設(shè)比例系數(shù)為k,其方程表示為

(6)

將式(6)求解可得到焊接區(qū)域的中心溫度與電路板在傳送帶上運動時間的函數(shù)關(guān)系式,設(shè)函數(shù)中e指數(shù)的系數(shù)c為常數(shù),則其表達式為

θ=θ環(huán)+ce-kt.

(7)

為便于后續(xù)計算,求出電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ.為求電路板在焊接過程中焊接區(qū)域中心的溫度變化情況,仍需要引用附件原數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合.聯(lián)立式(6)與式(7),可表示出電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式,其函數(shù)關(guān)系為

(8)

由式(8)可知,求出相應(yīng)的常數(shù)c和k后,即可得到電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ,從而進行相應(yīng)制程界限約束條件下的求解.

2.2.2 制程界限約束條件分析

在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中,爐溫曲線應(yīng)滿足一定的要求,稱為制程界限,如表3所示.

表3 制程界限Table 3 Process boundary

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)可知,制程界限有5個約束條件,分別是溫度上升斜率、溫度下降斜率、溫度上升過程中在150～190 ℃的時間、溫度大于217 ℃的時間和峰值溫度.如何分析這些約束條件的限制情況成為了解決本模型的關(guān)鍵.

假設(shè)此時已得到電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ.要計算最終的最大傳送帶過爐速度vmax,再分析制程界限的各項約束條件.可先假設(shè)一個初速度進行代入求值,后分別計算制程界限的限制條件,如計算第3條電路板在溫度上升過程中在150～190 ℃的時間要求.先計算電路板焊接過程中當(dāng)θ=150 ℃時的時間t1,再計算焊接過程中當(dāng)θ=190 ℃時的時間t2,計算t2-t1差值,若此差值位于60～120 s之間,則滿足第3條制程界限的限制條件.計算第4條制程界限時,需要求出當(dāng)θ=217 ℃時的時間t1和t2,同樣計算t2-t1的值是否在40～90 s之間.計算第5條制程界限時,需要根據(jù)第9段小溫區(qū)末尾的位移值344.5 cm代入θ的表達式中計算峰值溫度,若此溫度處在240～250 ℃之間,則滿足第5條制程界限的限制條件.最后根據(jù)擬合出的電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ再判斷是否符合第1、2條制程界限的限制條件.

運用多重搜索算法計算不同傳送帶的過爐速度vmax,根據(jù)制程界限的約束條件進行篩選,當(dāng)各項條件都滿足且求得的速度最大時,即可確定允許的最大傳送帶過爐速度vmax的值.

2.3 模型求解

2.3.1 牛頓冷卻定律的求解

根據(jù)牛頓冷卻定律式(6)及其解的表達式(7),可先求出常數(shù)k.運用兩邊同時取對數(shù)的方法進行化簡,其導(dǎo)出的關(guān)系式為

(9)

因為不同溫區(qū)的時間和溫度都不同,所以把函數(shù)寫成分段函數(shù),代入對應(yīng)的溫度和時間的數(shù)據(jù)可以得到每段函數(shù)對應(yīng)的常數(shù)c,最終就可以得到一個完整的分段函數(shù)θ.

接著將對應(yīng)的區(qū)間溫度代回式(9),即可得到時間t與電路板焊接區(qū)域中心溫度θ的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)式(1)將時間t和位移x進行轉(zhuǎn)化.再根據(jù)表3給出的制程界限,把速度區(qū)間65～100 cm·min-1代入傳送帶過爐速度,運用多重搜索算法進行搜索求值,推導(dǎo)出傳送帶的最大過爐速度vmax.

2.3.2 制程界限約束條件分析求解

運用式(9)的對數(shù)及式(8)的方程進行求解,代入點(0,25 ℃),即可求出爐前區(qū)域的常數(shù)c0,根據(jù)此c0即可計算出本溫區(qū)的末溫度,此末溫度即為下一溫區(qū)的初始溫度.同理,按此順序即可解出所有的常數(shù)c,可得電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式為

(10)

最后運用多重搜索算法,通過MATLAB編程進行求解,其主要過程如下:

Step 1 取速度步長為0.1 cm·min-1,將不同的速度值代入所建立的模型進行計算,篩選出滿足約束條件的各個速度值,并選取其中的速度最大值.

Step 2 將所得的速度最大值前后取±1 cm·min-1的速度范圍,取步長為0.01 cm·min-1,最終得到傳送帶的最大過爐速度的值為vmax=83 cm·min-1.

3 峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型

3.1 模型分析

由于在焊接過程中焊接區(qū)域中心的溫度超過217 ℃的時間不宜過長,峰值溫度也不宜過高.理想的爐溫曲線應(yīng)使超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小,如圖6所示.所以根據(jù)傳送帶過爐速度優(yōu)化模型得到的電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式,可以表示出溫區(qū)(小溫區(qū)8～9)的函數(shù)表達式,同時通過建立積分思想進行求解.假設(shè)將傳送帶的過爐速度和電路板第1次到達217 ℃時的時間作為積分的下限,電路板到達溫度峰值時的時間作為積分的上限,列出微分方程.最后再根據(jù)限制的速度、時間和溫度等相關(guān)條件,即可得到在此要求下各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度,以及相應(yīng)的最小陰影面積.

圖6 峰值溫度覆蓋面積示意圖Fig.6 Schematic diagram of peak temperature coverage area

3.2 模型建立

由傳送帶過爐速度優(yōu)化模型得到的電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式θ,可表示出θ4溫區(qū)(小溫區(qū)8～9)的函數(shù)表達式為

θ4-c4e-0.021 7t=217.

(11)

根據(jù)積分的思想,若要讓陰影部分的面積最小,則需要表示出積分上限與積分下限的差值,即上限為電路板到達溫度峰值時的點坐標(biāo),下限為電路板第1次到達217 ℃時的點坐標(biāo).

假設(shè)此時傳送帶的過爐速度為v0,電路板第1次到達217 ℃時的時間為t0,則表示的積分函數(shù)為

(12)

根據(jù)所給出的溫區(qū)溫度范圍可知,各小溫區(qū)設(shè)定溫度可以進行±10 ℃范圍內(nèi)的調(diào)整.同時要滿足表3中制程界限的限制條件,則其限制條件為

(13)

在式(13)的條件下對式(12)進行求解.

3.3 模型求解

不妨令xi,i∈[0,5]為各個溫區(qū)的初始位移,分別為0、25、202.5、238、273.5、344.5 cm.假設(shè)爐前區(qū)域的某段溫度為(1～5)溫區(qū)最小值的1/2,根據(jù)多重搜索算法,運用式(10),代入點(0,25 ℃),即可求出爐前區(qū)域的常數(shù)c0,根據(jù)此c0即可計算出本溫區(qū)的末溫度,此末溫度即為下一溫區(qū)的初始溫度.同理,按此順序即可解出所有的常數(shù)c,其表達式為

(14)

對式(12)的積分進行求解,得到

(15)

將式(11)代入式(15),可得到

(16)

根據(jù)式(13)和式(14)所求出的制程界限限制條件,結(jié)合式(16),運用多重搜索算法進行求解,可得到各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度,以及相應(yīng)的最小陰影面積,如表4所示.

表4 峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型結(jié)果Table 4 Peak temperature coverage area optimization model results

4 結(jié) 語

本文基于印刷電路板焊接生產(chǎn)問題,通過對回焊爐內(nèi)焊接區(qū)域中心點的溫度變化進行機理建模,根據(jù)附件中的測量數(shù)據(jù)分析電路板吸收熱量的規(guī)律,確定模型中的參數(shù),得到各溫區(qū)焊接區(qū)域中心的溫度.同時基于牛頓冷卻定律,根據(jù)實際生產(chǎn)要求的制程界限,運用多重搜索算法進行搜索求解,得到了傳送帶的最大過爐速度.最后基于積分思想建立峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型,給出了各溫區(qū)設(shè)定溫度和傳送帶過爐速度,以及相應(yīng)的最小面積.經(jīng)過對所建立的微分方程模型結(jié)果進行分析,本文模型可為回焊爐電路板焊接實際生產(chǎn)與測試提供理論參考.