鄧 平 ，謝 雪

（西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610097）

隨著5G時(shí)代的到來(lái)，無(wú)線(xiàn)定位技術(shù)將成為物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用和推廣的重要支撐技術(shù).現(xiàn)有無(wú)線(xiàn)定位技術(shù)中主要包括基于到達(dá)時(shí)間（time of arrival，TOA）、到達(dá)時(shí)間差（time difference of arrival，TDOA）、接收信號(hào)強(qiáng)度（received signal strength indication，RSSI）、電波到達(dá)角度（angle of arrival，AOA）以及 TOA、AOA等多種特征參數(shù)的混合定位技術(shù)[1]等.在室內(nèi)、室外等多種5G網(wǎng)絡(luò)場(chǎng)景的無(wú)線(xiàn)定位中，由于移動(dòng)臺(tái)（mobile station，MS）能接收到有效信號(hào)的基站（base station，BS）數(shù)目通常有限，因此在算法設(shè)計(jì)時(shí)通常需要限制可用于定位的BS數(shù)量，并考慮用較少數(shù)量的BS來(lái)實(shí)現(xiàn)移動(dòng)臺(tái)的位置估計(jì).此外，無(wú)論在室內(nèi)還是室外場(chǎng)景，電波的非視距（non-line-ofsight，NLOS）傳播普遍存在，造成 TOA、AOA等電波特征測(cè)量值會(huì)產(chǎn)生較大偏差，從而大大降低算法的定位精度.

目前，抗NLOS誤差定位算法可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是統(tǒng)計(jì)處理法，該方法基于NLOS誤差或者信道環(huán)境的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行處理[2-4].例如文獻(xiàn)[2-3]使用NLOS 誤差和視距（line-of-sight，LOS）誤差先驗(yàn)信息，實(shí)現(xiàn)LOS重建；文獻(xiàn)[4]利用信道環(huán)境的先驗(yàn)信息估算NLOS誤差大小，實(shí)現(xiàn)TDOA測(cè)量矩陣和協(xié)方差矩陣的重構(gòu).但是，由于NLOS誤差總是隨著環(huán)境的改變而動(dòng)態(tài)變化，而實(shí)際移動(dòng)通信環(huán)境復(fù)雜多變，是很難準(zhǔn)確捕捉到所在環(huán)境NLOS誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，致使這一類(lèi)算法很難得到有效的工程應(yīng)用.

第二類(lèi)算法簡(jiǎn)稱(chēng)幾何法[5-13]，以BS和MS之間的位置幾何關(guān)系為基礎(chǔ)建立約束條件，把求解MS估計(jì)位置轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題.這類(lèi)算法的優(yōu)點(diǎn)在于可以適應(yīng)復(fù)雜的實(shí)際變化環(huán)境，有效地利用各種測(cè)量信息，但是傳統(tǒng)的最優(yōu)化定位算法往往需要一個(gè)比較準(zhǔn)確的初始位置估計(jì)值才能得到較好的定位精度[6-9].文獻(xiàn)[10-12]雖然無(wú)需初始位置估計(jì)，但該類(lèi)算法并沒(méi)有有效利用NLOS傳播路徑下與被測(cè)目標(biāo)位置密切相關(guān)的散射信息.

為此，本文提出一種基于幾何約束及迭代的NLOS環(huán)境定位算法，考慮在雙BS定位的場(chǎng)景下，利用NLOS環(huán)境中散射體與BS及MS之間的幾何位置關(guān)系，并基于圓盤(pán)散射模型將最大散射半徑作為約束條件構(gòu)建約束范圍.有別于文獻(xiàn)[12]的二維網(wǎng)格搜索算法（grid search algorithm，GSA），本文基于一維線(xiàn)性迭代搜索并使用最小二乘估計(jì)得到較準(zhǔn)確的MS初始估計(jì)位置；為了進(jìn)一步提高定位精度，本文利用閾值處理以及加權(quán)平均獲得MS的最終估計(jì)位置.

1 基于最優(yōu)化理論的MS定位

在不失一般性的前提下，假設(shè)兩基站（BS1、BS2）信號(hào)在傳播過(guò)程中都經(jīng)歷了單次散射到達(dá)移動(dòng)臺(tái)，MS位于△OAB范圍內(nèi)，如圖1所示.圖中：Rc為小區(qū)半徑；BS1和BS2分別為主基站和輔助基站；φ 和θ分別為BS1測(cè)量的和真實(shí)的AOA值；ri為MS到 BSi的真實(shí) TOA 距離，i=1，2；Si為BSi到 MS 的信號(hào)散射體.

圖1 基站與移動(dòng)臺(tái)位置關(guān)系Fig.1 Location relationship between BS and MS

設(shè)MS位置坐標(biāo)為(x,y)，B Si坐標(biāo)為(xi,yi),則有

在單次散射模型下，散射點(diǎn)Si坐標(biāo)為(xSi,ySi)，MS 到B Si的測(cè)量距離為Ri，ηi為其測(cè)量誤差，μ 為BS1測(cè)量的AOA誤差，由此建立測(cè)量等式如式（3）和式（4）所示.

由于在NLOS環(huán)境中信號(hào)無(wú)論被折射或者反射都會(huì)使得測(cè)量值大于真實(shí)值，因此存在NLOS因子αj(j=1,2,3)滿(mǎn)足：

類(lèi)似于文獻(xiàn)[1]的混合線(xiàn)性定位（hybrid line of position，HLOP）算法，聯(lián)合式（1）、（2）、（5）、（6）可得有關(guān)αj的方程組：

式中：

那么 MS 位置估計(jì)值可通過(guò) LS（least squares）求解，即

由式（9）可見(jiàn)，MS定位精度關(guān)鍵取決于是否能獲得準(zhǔn)確的αj取值，而傳統(tǒng)最優(yōu)化處理方法通常根據(jù)MS和BS之間幾何位置關(guān)系將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性約束最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解[6].

如上所述，進(jìn)一步建立非線(xiàn)性約束最優(yōu)化模型.首先由圖1中BS和MS的三角關(guān)系建立不等式約束，并聯(lián)立式（5）表示為矩陣形式，如式（10）.

接著，基于文獻(xiàn)[6]參量取值約束思想，以及蜂窩半徑Rc約束，可以獲得關(guān)于α1、α2的上、下界關(guān)系，如式（11）.

考慮MS真實(shí)位置始終位于△OAB可行域內(nèi)，可得B S1的兩條AOA位置線(xiàn)范圍，如式（12）.

式（11）和式（12）中：αj,upp、αj,low分別為αj的上、下界.

為了減小測(cè)量誤差的影響，這里以測(cè)量值與目標(biāo)值的殘差平方和為非線(xiàn)性目標(biāo)代價(jià)函數(shù)，如式（13）.

此外，MS位置坐標(biāo)存在對(duì)應(yīng)的幾何位置關(guān)系，如式（14）.

因此，將式（1）、（2）、（14）代入式（13）可得新的代價(jià)函數(shù)，如式（15）.

綜上，αj求解問(wèn)題演化為式（16）非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題：

求解式（16）常用的方法是內(nèi)點(diǎn)法，其思想是利用約束條件和目標(biāo)函數(shù)來(lái)構(gòu)造罰函數(shù)，將不等式優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，然后給定初始值線(xiàn)性逼近目標(biāo)最優(yōu)解[14].不失一般性，仿真中變量αj初始取值為αj=(αj,low+αj,upp)/2，隨后使用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解.在獲得αj的最優(yōu)解后，將其代入式（9）即可得到MS的估計(jì)位置.

2 基于散射信息約束及迭代的定位算法

上述定位過(guò)程的關(guān)鍵是如何求解準(zhǔn)確有效的αj值.由于傳統(tǒng)最優(yōu)化求解方法很難確定一個(gè)有效的初始變量值使得算法盡可能收斂，且很有可能出現(xiàn)局部最優(yōu)的情況，本文提出充分利用NLOS環(huán)境中的散射信息縮小MS可行域，并以線(xiàn)性迭代方式在αj可行域內(nèi)搜索滿(mǎn)足約束條件的αj值.

2.1 散射半徑幾何約束條件

為了減小目標(biāo)搜索范圍，本文考慮在單次圓盤(pán)散射模型[15]下引入最大散射半徑作為約束條件，其中BS和MS與散射體（圖中用△表示）的幾何位置關(guān)系如圖2所示.

圖2 基站、移動(dòng)臺(tái)和散射體的幾何關(guān)系Fig.2 Geometric relationship of BS，MS and scatterer

假設(shè)最大散射半徑為Rs，由圖2三角形三邊關(guān)系可得BS到MS真實(shí)距離r大于最大散射半徑，即

那么，將式（5）中測(cè)量值與真實(shí)值對(duì)應(yīng)關(guān)系代入式（17），可得有關(guān)α1、α2的約束不等式如式（18）.

如果忽略AOA測(cè)量誤差，從圖2幾何模型可知α3的最大值為

類(lèi)似地，把式（5）、（6）代入式（19）可以獲取有關(guān)α1、α3的約束不等式為

最終，在散射半徑約束下，有關(guān)NLOS因子αj新的約束條件為

2.2 基于迭代的MS位置估計(jì)

對(duì)于以上非線(xiàn)性約束模型，可以基于內(nèi)點(diǎn)法求解，此外還可以使用文獻(xiàn)[13]的網(wǎng)格搜索算法，通過(guò)二維網(wǎng)格搜索αj并結(jié)合最小二乘的方式計(jì)算得到MS可能位置點(diǎn)，再對(duì)其算術(shù)平均可得到MS估計(jì)值.但是網(wǎng)格劃分密度極大地影響網(wǎng)格搜索計(jì)算量以及定位性能.為此，本文通過(guò)一種線(xiàn)性迭代法以αj為權(quán)值進(jìn)行一維全局搜索，隨后LS估計(jì)出MS初始估計(jì)值；為了進(jìn)一步抑制較大的NLOS誤差，本文提出利用MS初始估計(jì)值與主基站B S1的距離平均值作為閾值，從而篩選出MS所有可能位置點(diǎn)，最后進(jìn)行歸一化加權(quán)得到MS最終估計(jì)位置.

因此，將所提出算法在有散射半徑約束（約束條件為式（21））下的主要步驟描述如下：

步驟 1首先確定搜索步長(zhǎng)l1和l2.將α1、α2區(qū)間長(zhǎng)度劃分成k等份，作為迭代增量，如式（22）.

步驟 2設(shè)置下一時(shí)刻迭代因子 α1、α2.這里選取 α1、α2的迭代初始起點(diǎn)為α1,0=α1,low,α2,0=α2,low，將滿(mǎn)足約束式（21）的 α1、α2代入式（23）計(jì)算相應(yīng) α3，并判斷 α3是否滿(mǎn)足約束條件式（21），若滿(mǎn)足則繼續(xù)執(zhí)行步驟3，否則進(jìn)行下一次迭代, 設(shè)置下次迭代參量為α1=a1,0+l1, α2=a2,0+l2.

步驟3獲取MS的一個(gè)估計(jì)位置.將步驟2中搜索的有效αj代入式（9），從而計(jì)算出MS的一個(gè)初始估計(jì)位置(xcp,ycp).

步驟4MS估計(jì)位置點(diǎn)篩選.在NLOS環(huán)境下，所有MS可能位置點(diǎn)均應(yīng)在觀測(cè)基站的定位圓內(nèi)，這里考慮將MS可能位置限制在以B S1為圓心，Dthr為半徑的圓內(nèi)，其中Dthr表示MS所有初始估計(jì)值與BS1的距離平均值.假定通過(guò)迭代計(jì)算有N個(gè)MS 初始估計(jì)位置點(diǎn)(xcpn,ycpn),n=1,2,···,N, 則Dthr可表示為

步驟5計(jì)算MS加權(quán)估計(jì)位置.假定閾值篩選出M個(gè)MS候選位置點(diǎn)，其位置坐標(biāo)為m=1,2,···,M，平均位置坐標(biāo)為，則各候選點(diǎn)與之距離為利用 的dm歸一化倒數(shù)作為加權(quán)系數(shù)，即可得到MS的最終位置(xMS,yMS).

算法在無(wú)散射半徑約束下的處理過(guò)程類(lèi)似，只需將步驟2中的約束條件替換為式（10）～（12）即可.

3 算法仿真與分析

圖1蜂 窩 網(wǎng)絡(luò) 環(huán)境 中 ，假 定Rc為1000 m，MS 坐標(biāo)為(7 00,100)m，BS1、BS2坐標(biāo)分別為(0 ,0)、散射體由給定散射半徑的單次圓盤(pán)（disk of scatter，DOS）模型產(chǎn)生，TOA 距離測(cè)量誤差服從均值uTOA為0、標(biāo)準(zhǔn)差σTOA為5 m的高斯分布，AOA測(cè)量誤差服從均值uAOA為0、標(biāo)準(zhǔn)差σAOA為1°的高斯分布，k取值為300.

基于上述仿真參數(shù)，將本文所提出基于迭代MS定位算法與HLOP算法、內(nèi)點(diǎn)法（interior point algorithm，IPA）以及GSA進(jìn)行性能比較，每個(gè)仿真獨(dú)立運(yùn)行 1000 次.記：無(wú)散射半徑約束（即式（10）～式（12））為約束條件 1，有散射半徑約束（即式（21））為約束條件2.算法描述如表1所示.

表1 算法描述Tab.1 Algorithm description

為了驗(yàn)證本文所提出算法的定位性能，首先仿真研究了上述4種算法在約束條件1下的平均定位誤差（mean location error，MLE）隨散射半徑的變化情況，如圖3所示.從圖中可見(jiàn)：這4種算法的定位精度都隨著散射半徑的增大而降低，其中HLOP算法受散射半徑影響最明顯，此外，本文算法定位精度明顯高于其他幾種算法，這是由于所提出基于迭代的MS定位算法通過(guò)閾值篩選以及加權(quán)平均的方式剔除了較大的NLOS誤差.

圖3 MLE 隨散射半徑的變化曲線(xiàn)Fig.3 MLE variation with scattering radius

圖4是在圓盤(pán)散射半徑為200 m，各算法MLE對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）曲線(xiàn).由圖中可見(jiàn)：本文基于迭代的MS定位算法誤差小于200 m就能達(dá)到100%，說(shuō)明基于迭代定位算法可以明顯減小NLOS誤差對(duì)定位性能的影響，并取得較好性能.

圖4 圓盤(pán)散射半徑為200 m 累積分布函數(shù)曲線(xiàn)Fig.4 CDF curves with scattering radius of 200 m

驗(yàn)證增加散射半徑幾何約束條件是否能提高算法的定位性能，將所提出的基于迭代的MS定位算法與IPA、GSA分別在約束條件1、2下的定位性能進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果如圖5所示.從圖5中可見(jiàn)：兩種約束條件下，這3種算法定位精度隨著散射半徑的增加而降低，其中在約束條件2下的算法定位精度下降趨勢(shì)更加緩慢，說(shuō)明增加的散射半徑幾何約束條件能有效抑制非視距誤差的影響.縱向來(lái)看，本文算法定位性能顯著優(yōu)于其他兩種算法.

圖5 MLE 與有無(wú)散射半徑約束的變化曲線(xiàn)Fig.5 MLE variation with or without scattering radius constraint

圖6所示為最大散射半徑200 m時(shí)，本文算法、IPA和GSA的MLE對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)曲線(xiàn).從圖中可以看出：使用散射半徑約束條件下，這3種算法的性能都能得到提升，且本文算法定位精度明顯高于GSA算法，這是由于本文算法采用一維迭代搜索有效值更加逼近中心路徑，并且還對(duì)得到的MS估計(jì)值進(jìn)行了閾值篩選和加權(quán)處理.

圖6 累積分布函數(shù)曲線(xiàn)Fig.6 CDF curves with or without scattering radius constraint

為分析TOA距離測(cè)量誤差與AOA測(cè)量誤差對(duì)定位誤差的影響，假定散射半徑為200 m，分別在約束條件1、2下對(duì)本文算法、IPA和GSA這3種算法性能進(jìn)行仿真對(duì)比.圖7和圖8分別是改變TOA和AOA測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)本文算法、IPA和GSA這3種算法對(duì)應(yīng)的MLE變化曲線(xiàn).從仿真結(jié)果可見(jiàn)：隨著TOA或AOA測(cè)量誤差的增加，3種算法的MLE在一定程度上有小幅度上升，說(shuō)明TOA噪聲標(biāo)準(zhǔn)差以及AOA誤差對(duì)算法影響極小；縱向?qū)Ρ绕渌麅煞N算法，本文算法具有更好的定位性能.

圖7 MLE 隨距離測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)Fig.7 MLE variation with distance measurement error

圖8 MLE 隨角度測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)Fig.8 MLE variation with angle measurement error

為分析區(qū)間長(zhǎng)度的劃分因子k對(duì)MS定位精度的影響，圖9給出了在散射半徑為200 m時(shí)，對(duì)應(yīng)約束條件1和約束條件2下本文算法的平均定位誤差和均方根誤差隨k值變化曲線(xiàn).由圖9可見(jiàn)：在k取0時(shí)，由于算法做異常情況處理，因此在有無(wú)散射約束時(shí)算法誤差一致；而隨著k取值增加，算法誤差有小幅度的下降趨勢(shì)，這主要是因?yàn)閗值增加，迭代步長(zhǎng)縮小，候選的初始點(diǎn)增加，滿(mǎn)足閾值條件估計(jì)結(jié)果得到提高.且k取700即可得到較好的定位性能.

圖9 誤差隨 k 的變化曲線(xiàn)Fig.9 Location error variation with k

本文還仿真研究了不同算法的計(jì)算復(fù)雜性.表2給出了3種算法程序在相同環(huán)境下運(yùn)行1000次的平均消耗時(shí)間.從表2可見(jiàn)：本文算法耗時(shí)最少，且耗時(shí)量?jī)H是網(wǎng)格搜索法的0.4%，而在約束條件2下算法耗時(shí)進(jìn)一步減少，這是由于散射半徑約束縮小了目標(biāo)的可行域范圍.

表2 算法時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)Tab.2 Algorithm time cost s

4 結(jié) 論

本文提出了一種應(yīng)用在雙基站場(chǎng)景下基于幾何約束及迭代的NLOS環(huán)境定位算法.通過(guò)引入散射信息縮小目標(biāo)可行域，以一維線(xiàn)性迭代方式進(jìn)行尋優(yōu)，有效地規(guī)避了傳統(tǒng)最優(yōu)化定位算法需要給定初始估計(jì)位置以確保算法收斂這一問(wèn)題，最后使用閾值篩選以及歸一化加權(quán)，有效地抑制了較大的NLOS誤差對(duì)定位精度的不利影響.仿真結(jié)果表明，本文算法相比傳統(tǒng)的內(nèi)點(diǎn)法以及網(wǎng)格搜索法表現(xiàn)出更高的定位精度和更低的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo).此外，由于僅需兩個(gè)基站參與定位，在參與定位基站數(shù)目受限的室內(nèi)外環(huán)境中具有較大的實(shí)用價(jià)值.