歐學(xué)昊， 周長城， 李雪

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

橢圓鋼絲螺旋彈簧與圓鋼絲螺旋彈簧相比，具有切應(yīng)力分布更加均勻，更輕量化，并且節(jié)約安裝空間等優(yōu)點(diǎn)[1]。橢圓鋼絲螺旋彈簧主要應(yīng)用在高應(yīng)力工況下，例如氣門彈簧、離合器彈簧[2]，軌道車輛的一系懸掛彈簧組內(nèi)簧也部分應(yīng)用。

在橢圓鋼絲彈簧的實(shí)際生產(chǎn)中，由于繞簧的精度和回火的影響，橢圓截面會(huì)產(chǎn)生繞截面形心旋轉(zhuǎn)一定角度的變形[1]，該角度一般小于15°。通過有限元分析發(fā)現(xiàn)，彈簧在遭受同樣載荷作用時(shí)，其所受最大切應(yīng)力變大，在與高溫沖擊[3]、礫石沖擊[4]等外界因素共同作用下，更容易出現(xiàn)彈簧斷裂。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)橢圓鋼絲螺旋彈簧進(jìn)行了研究。例如張英會(huì)[5]介紹了各式彈簧的應(yīng)力和變形的簡(jiǎn)化近似計(jì)算公式；文獻(xiàn)[6]對(duì)圓形鋼絲彈簧與橢圓鋼絲彈簧的應(yīng)力分布進(jìn)行比較分析；文獻(xiàn)[7]對(duì)非圓形截面鋼絲彈簧計(jì)算方法進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[8]通過多次有限元分析對(duì)橢圓鋼絲彈簧剛度、切應(yīng)力進(jìn)行分析，得到了最佳的截面參數(shù)；文獻(xiàn)[9]通過有限差分法對(duì)橢圓鋼絲的泊松方程進(jìn)行求解，得到了橢圓鋼絲彈簧應(yīng)力分布的近似解；文獻(xiàn)[10-11]均提出了水平橢圓鋼絲彈簧切應(yīng)力的計(jì)算方法。

文獻(xiàn)[5-11]均未考慮工藝因素導(dǎo)致的橢圓鋼絲截面的旋轉(zhuǎn)。為了研究截面旋轉(zhuǎn)角的影響、計(jì)算旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧切應(yīng)力和剛度，本文基于彈性力學(xué)，推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)橢圓截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力模型，通過分解的方法導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)橢圓截面彎曲切應(yīng)力模型，采用疊加法得到彈簧的切應(yīng)力分布模型；根據(jù)截面位移函數(shù)求得截面的極慣性矩，得到彈簧的剛度模型；利用WORKBENCH對(duì)彈簧截面切應(yīng)力模型以及剛度模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 旋轉(zhuǎn)橢圓截面軌跡方程

彈簧截面如圖1所示。在xOy坐標(biāo)系中，2a、2b分別為旋轉(zhuǎn)橢圓截面的長軸與短軸；α為橢圓長軸與x軸的夾角，即截面旋轉(zhuǎn)角，0≤α<π；θ為旋轉(zhuǎn)橢圓截面邊界上任一點(diǎn)A處的角度位置，0≤θ≤2π；F為彈簧所受載荷；D為彈簧的中徑；令彈簧的有效圈數(shù)為n，彈簧的節(jié)距為t，彈簧的螺旋角為β，β=arctan(t/πD)。

如圖1，橢圓在x1Oy1坐標(biāo)系中的軌跡方程為

圖1 旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧截面示意

(1)

橢圓在xOy坐標(biāo)系中的軌跡方程即為旋轉(zhuǎn)橢圓截面軌跡方程。 由轉(zhuǎn)軸公式[12]，兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)關(guān)系為

(2)

將式(2)代入式(1)化簡(jiǎn)可得旋轉(zhuǎn)橢圓截面軌跡方程為

px2+qy2-2(a2-b2)sinαcosα·xy=a2b2，

(3)

為方便下文描述，式中令

2 切應(yīng)力計(jì)算模型

2.1 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)Φ應(yīng)滿足微分方程

?2Φ=-2GK，

(4)

式中：G為切變模量；K為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。

根據(jù)側(cè)面邊界條件，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)Φ在側(cè)面即橫截面的邊界上等于零，即Φs=0，所以假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)Φ為

Φ=m·[px2+qy2-2xy(a2-b2)sinαcosα-a2b2]，

(5)

式中m為任意常數(shù)。

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)Φ還應(yīng)滿足端面邊界條件，即

M=2?Φdxdy，

(6)

(7)

根據(jù)橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，可得旋轉(zhuǎn)橢圓截面上任一點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分量，用極坐標(biāo)表示為

(8)

式中r1為旋轉(zhuǎn)橢圓截面極徑，且

式(8)是基于直桿推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分量，如果應(yīng)用到彈簧的螺旋線上，在曲率非常大時(shí)，會(huì)有較大的誤差，所以需要扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分量乘以修正系數(shù)k對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正。修正系數(shù)k[7]為

所以受扭轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢圓截面任一點(diǎn)A的切應(yīng)力示意如圖2所示。

圖2 受扭轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢圓截面切應(yīng)力示意

2.2 彎曲切應(yīng)力計(jì)算

截面還受剪力F作用產(chǎn)生彎曲切應(yīng)力，如圖3所示。將剪力F沿長軸方向和短軸方向分解，即等效于兩個(gè)分力分別作用于水平橢圓截面，如圖4所示。

圖3 剪力作用下的旋轉(zhuǎn)橢圓截面

圖4 等效受力的水平橢圓截面

首先考慮豎直剪力分量作用下的水平橢圓的彎曲切應(yīng)力。令此狀態(tài)下彎曲應(yīng)力函數(shù)為Φw，Φw應(yīng)滿足微分方程：

(10)

彎曲應(yīng)力函數(shù)Φw還應(yīng)滿足在橫截面邊界上為零的邊界條件，即Φws=0，所以結(jié)合邊界條件以及微分方程式(10)，假設(shè)彎曲應(yīng)力函數(shù)Φw為

(11)

式中s為一常數(shù)。

將式(11)代入微分方程式(10)，可得

(12)

所以彎曲應(yīng)力函數(shù)Φw為

(13)

如圖4所示，令水平橢圓截面邊界上任一點(diǎn)A的極徑為r2，所在的角度位置為η，根據(jù)A點(diǎn)的角度位置關(guān)系，η=θ-α。

根據(jù)彎曲切應(yīng)力分量與彎曲應(yīng)力函數(shù)Φw關(guān)系，可以用極坐標(biāo)表示豎直剪力分量作用下的水平橢圓任一點(diǎn)的彎曲切應(yīng)力分量τ2zx1、τ2zy1為

(14)

同理，在水平剪力分量作用下水平橢圓任一點(diǎn)的彎曲切應(yīng)力分量τ2zx2、τ2zy2為

(15)

水平橢圓截面任一點(diǎn)A在剪力F′的作用下的切應(yīng)力分量等于兩個(gè)剪力分量作用下切應(yīng)力分量之和，即

(16)

將圖4整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到原旋轉(zhuǎn)橢圓截面，任一點(diǎn)A的切應(yīng)力分量的方向如圖5所示，切應(yīng)力分量大小不變，即

圖5 剪力作用下的旋轉(zhuǎn)橢圓截面切應(yīng)力示意

(17)

2.3 復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算

如圖6所示，將所求旋轉(zhuǎn)橢圓截面上任一點(diǎn)A的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分量與彎曲切應(yīng)力分量疊加，得到旋轉(zhuǎn)橢圓截面上任一點(diǎn)A的復(fù)合切應(yīng)力分量

圖6 切應(yīng)力分量之間角度關(guān)系

(18)

則旋轉(zhuǎn)橢圓截面任一點(diǎn)A的復(fù)合切應(yīng)力τ為

(19)

2.4 WORKBENCH實(shí)例仿真驗(yàn)證

橢圓鋼絲螺旋彈簧中徑D=320 mm，螺距t=60 mm，有效圈數(shù)為n=6，截面長軸2a=40 mm，短軸2b=30 mm，材料切變模量G=76.923 GPa，彈簧受軸向載荷F=3 000 N。

為了驗(yàn)證切應(yīng)力計(jì)算的準(zhǔn)確性，根據(jù)彈簧參數(shù)建立α = 0°、15°、45°和165°的橢圓鋼絲彈簧模型，分別導(dǎo)入WORKBENCH中，以α=0°的橢圓鋼絲螺旋彈簧有限元模型為例，如圖7所示。

人文主義精神是一種普遍的人類自我關(guān)懷，表現(xiàn)為對(duì)人的尊嚴(yán)、價(jià)值、命運(yùn)的維護(hù)、追求和關(guān)切[4]。受市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等因素影響，我國醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)中部分醫(yī)務(wù)人員道德素質(zhì)下降，醫(yī)患關(guān)系日益緊張，對(duì)醫(yī)學(xué)生自身發(fā)展和病人健康造成沖擊，醫(yī)學(xué)的人性光芒日趨黯淡，醫(yī)學(xué)的人文主義精神衰落，同樣也對(duì)整個(gè)社會(huì)的倫理道德產(chǎn)生嚴(yán)重沖擊。為此，加強(qiáng)醫(yī)學(xué)生人文主義教育成為高等醫(yī)學(xué)院校思想政治教育的主要任務(wù)，具體內(nèi)容及實(shí)施路徑見圖1。

為了使彈簧受力均勻，在彈簧上端與下端各加一彈簧座。設(shè)置材料參數(shù)：切變模量為76.923 GPa；為方便劃分更佳網(wǎng)格，對(duì)彈簧部分進(jìn)行了適當(dāng)切割；對(duì)彈簧有效圈部分使用Multizone網(wǎng)格劃分方法，劃分5 mm單元格；對(duì)上端彈簧座施加軸向位移約束，下端彈簧座施加固定約束，在上端彈簧座的中心位置施加豎直向下的載荷，F(xiàn)=3000 N。對(duì)模型的有效圈部分切應(yīng)力進(jìn)行仿真，得到不同α角的橢圓截面的切應(yīng)力云圖，如圖8所示。

在切應(yīng)力仿真結(jié)果中，基于α = 0°、15°、45°、和165°的橢圓鋼絲彈簧截面應(yīng)力云圖，獲取截面邊界的切應(yīng)力數(shù)據(jù)，可以得到計(jì)算曲線與仿真數(shù)據(jù)，如圖9所示。

由圖9可知，α=0°、15°、45°和165°的橢圓截面的應(yīng)力分布計(jì)算曲線與仿真數(shù)值變化規(guī)律幾乎一致；根據(jù)得到的各α角的橢圓截面切應(yīng)力的計(jì)算值與仿真值，其切應(yīng)力最大相對(duì)偏差分別為1.78%、1.66%、1.79%、1.63%。

將α=0°、15°、45°和165°的橢圓截面的切應(yīng)力分布數(shù)據(jù)通過4次Fourier擬合，與計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，見表1，各α角的橢圓截面最大切應(yīng)力τmax的相對(duì)偏差均小于1%，最大切應(yīng)力所在角度θ的相對(duì)偏差均小于1%，因此，旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧切應(yīng)力計(jì)算模型是正確的。

表1 最大切應(yīng)力及其角度位置分析

由表1可知，由于工藝精度等原因，若截面旋轉(zhuǎn)角達(dá)到15°，實(shí)際橢圓鋼絲彈簧的最大切應(yīng)力會(huì)較水平橢圓鋼絲彈簧增大8.96%，并且最大切應(yīng)力位置也會(huì)有所變化，所以提高工藝水平是非常重要的。

3 剛度計(jì)算模型

3.1 剛度計(jì)算

將式(8)用直角坐標(biāo)表示為

(20)

令截面扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)為φ，橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分量與扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)φ關(guān)系為

(21)

聯(lián)立式(20)與式(21)，兩方程分別對(duì)x，y積分，可得

(22)

扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)φ若要滿足式(22)，則一定滿足:

所以扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)φ為

(23)

極慣性矩Ip的計(jì)算方法[13]為

(24)

將式(23)代入式(24)，化簡(jiǎn)得到截面旋轉(zhuǎn)角α的橢圓極慣性矩為

(25)

所以旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度R為

(26)

由式(26)可知，表達(dá)式中沒有α，說明旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲彈簧的剛度R與截面旋轉(zhuǎn)角α無關(guān)。

3.2 WORKBENCH仿真驗(yàn)證

基于式(26)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲彈簧參數(shù)，可以得到彈簧的計(jì)算剛度值為67.608N/mm；對(duì)α=0°、15°、45°、165°的旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧模型整體變形進(jìn)行仿真求解，得到各截面旋轉(zhuǎn)角α的橢圓鋼絲彈簧的最大變形量λmax，用載荷F除以各最大變形量λmax，可以得到各截面旋轉(zhuǎn)角α的橢圓鋼絲螺旋彈簧剛度，見表2。

由表2可知，旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲彈簧的計(jì)算剛度值與仿真值的相對(duì)偏差均小于1%，證明了剛度計(jì)算的正確性，旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度R與截面旋轉(zhuǎn)角α無關(guān)，所以實(shí)際生產(chǎn)中的橢圓鋼絲螺旋彈簧的截面旋轉(zhuǎn)角僅影響切應(yīng)力大小及分布，對(duì)彈簧的剛度無影響。

表2 剛度結(jié)果分析

4 結(jié)論

1)基于彈性力學(xué)推導(dǎo)的旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧切應(yīng)力計(jì)算與仿真計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)一致，最大相對(duì)偏差為1.79%，能夠較好地反映橢圓鋼絲截面在旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)的應(yīng)力分布，較準(zhǔn)確得到最大切應(yīng)力及其位置，提高實(shí)際橢圓鋼絲螺旋彈簧的切應(yīng)力計(jì)算精度，為實(shí)際橢圓鋼絲螺旋彈簧設(shè)計(jì)提供理論參考。

2)若截面旋轉(zhuǎn)變化角達(dá)到15°，該橢圓截面的最大切應(yīng)力較水平橢圓截面增大8.96%，并且最大切應(yīng)力位置也有所變化，所以改善工藝水平對(duì)提高彈簧的壽命及可靠性非常重要。

3)推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度模型，通過仿真驗(yàn)證了剛度模型的正確性，截面旋轉(zhuǎn)角α不影響彈簧剛度，僅影響切應(yīng)力大小及分布。