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        Lyapunov 函數(shù)與SIR模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的分析

        2021-07-02 07:00:06劉霞王健王軍禮王虎
        關(guān)鍵詞:平衡點全局穩(wěn)定性

        劉霞,王健,王軍禮,王虎

        (1.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 山東 淄博 255049;2.北京大學(xué) 能源經(jīng)濟與可持續(xù)發(fā)展研究中心,北京100871;3.國務(wù)院發(fā)展研究中心 公共管理與人力資源研究所,北京 100010;4.北京大學(xué) 北京大學(xué)深圳研究生院,深圳 518055)

        圍繞傳染病模型狀態(tài)穩(wěn)定性分析的研究[1-4],在預(yù)測疾病的發(fā)展趨勢和控制疾病的傳播速度等方面都起到了很大的作用,這類研究都是通過分析相應(yīng)的常微分方程得到一個再生數(shù)R0[1,4],根據(jù)該參數(shù)分析疾病是否能消除??紤]到現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出的小世界效應(yīng)[5]和無標(biāo)度SF特性[6],Barabási等[7]在SF網(wǎng)絡(luò)的開創(chuàng)性工作激發(fā)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中傳播動力學(xué)的廣泛研究,Pastor等[8]研究了傳染病模型SIS在SF網(wǎng)絡(luò)和有界SF網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)行為。

        1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對傳播行為的影響

        1.1 SIR 模型在SW網(wǎng)絡(luò)上的傳播

        圖1 SW網(wǎng)絡(luò)上SIR模型的轉(zhuǎn)移

        SW網(wǎng)絡(luò)度分布的一個顯著特點是每個節(jié)點可以近似具有相同的度,即f(k)~〈k〉,那么該模型中由S和I構(gòu)成的微分方程為

        (1)

        本文利用Lyapunov函數(shù)直接法分析平衡點的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。

        定理1 當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(1)的傳染病平衡點E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

        證明由于E*是系統(tǒng)(1)的平衡點,所以

        A=pbI*+β〈k〉S*I*+dS*,

        (d+δ)I*=β〈k〉S*I*+pbI*。

        對系統(tǒng)(1),V(S,I)沿S,I的全導(dǎo)數(shù)為

        對一切S(t),I(t)≥0,則

        其中“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=S*,根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性定理[11],E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

        定理2 當(dāng)R0≤1時,系統(tǒng) (1) 的DFE即E0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

        證明定義另一個Lyapunov 函數(shù),

        對系統(tǒng)(1),U(S,I) 沿S,I的全導(dǎo)數(shù)為

        從R0的表達(dá)式可知網(wǎng)絡(luò)的特征值〈k〉可以增大R0的值,進(jìn)而加快疾病的傳播。

        1.2 SIR模型在SF 網(wǎng)絡(luò)上的傳播

        圖2 SF網(wǎng)絡(luò)上SIR模型的轉(zhuǎn)移

        利用平均場理論給出Sk(t)、Ik(t)、Nk(t)在SF網(wǎng)絡(luò)上的常微分方程組

        (2)

        顯然θ=0是方程(3)的一個根。

        2 數(shù)值模擬

        針對不同的R0對SIR模型在SW網(wǎng)絡(luò)上的動態(tài)行為進(jìn)行仿真。令A(yù)=10 個,p=0.1,b=0.06,β=0.005,d=0.008,δ=0.1, 〈k〉=5,此時R0=17.96>1,并且I*=52.46 個,選取三組初始值分析I(t)的穩(wěn)定性,如圖3所示。從圖3可以看出在不同的初值下,曲線都穩(wěn)定到52.46。更改參數(shù)令A(yù)=5 個,d=0.3,δ=0.5,得到R0=0.52<1,仍然用相同的三組初值來模擬,如圖3所示。從圖3可以看出,不管如何選取初始值,都趨于0,即穩(wěn)定到DFE。

        (a)R0>1

        其次,在SF網(wǎng)絡(luò)上對SIR模型進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真, 令k∈[1,30],A=500 個,p=0.1,b=0.1,β=0.7,d=0.1,δ=0.2,此時R1=7.66,本文給定三組系統(tǒng)的初始值,I(t)的變化趨勢如圖4所示。 從圖4可以看出,不管初始值如何選取,最終總的I類人口數(shù)都穩(wěn)定于一個非零值1 496,即疾病不能消除, 從而發(fā)展成傳染態(tài);更改參數(shù)令p=0.5,b=0.06,β=0.1,d=0.03,δ=0.7,此時得到R1=0.453,由圖4可知,I類人口都趨于零,穩(wěn)定到DFE, 從仿真結(jié)果可以看出相應(yīng)的平衡點都是穩(wěn)定的。

        (a)R1>1

        3 結(jié)論

        針對文獻(xiàn)[9]的假設(shè)條件,本文更改了傳播機制,并將人口總數(shù)N推廣為關(guān)于t的函數(shù),考慮到模型所處的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),在兩個經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上分別研究了SIR模型。利用Lyapunov函數(shù)研究了SIR模型在SW網(wǎng)絡(luò)上平衡點的全局穩(wěn)定性, 即當(dāng)R0>1時平衡點E*是全局穩(wěn)定點,相反, 當(dāng)R0≤1時, DFE是全局穩(wěn)定點;從R0的表達(dá)式可以看出, 小世界效應(yīng)會加快疾病的動態(tài)過程。在SF網(wǎng)絡(luò)上分析SIR模型時,本文分析了模型平衡點的存在條件,得出了相應(yīng)的基本再生數(shù)R1;針對SF網(wǎng)絡(luò)特性在構(gòu)造的微分方程組中的函數(shù)θ(t)包含Ik(t)、Nk(t),需要對整個系統(tǒng)進(jìn)行k組方程的分析才能得出全局穩(wěn)定性條件,這有待于后續(xù)研究。

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