韋孝東，白占兵

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

研究如下四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在唯一性：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′(t),z′′(t)),0

(1)

z(0)=z′(1)=z′′(0)=z′′′(1)=0,

(2)

這里f:[0,1]×R3→R是連續(xù)的。

梁是工程建筑的基本構(gòu)件之一，材料力學(xué)和工程物理中常用四階常微分方程邊值問題來描述彈性梁的狀態(tài)。基于這類問題的普遍性與重要性，四階兩點(diǎn)邊值問題受到了廣泛的關(guān)注，也取得了許多重要研究成果，見文獻(xiàn)[1-14]。

1986年，Aftabizadeh[1]首次討論了如下邊值問題：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′′(t)),0

(3)

z(0)=z(1)=z′′(0)=z′′(1)=0。

(4)

在邊值條件(2)下的其他四階邊值問題也被廣泛研究。2009年，姚慶六[7]研究了問題(2)～(5)正解的存在性與多解性：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′(t)),0

(5)

通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆e分方程并利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問題(5)～(2)在滿足與n有關(guān)的條件下存在n個(gè)正解(其中n是自然數(shù))。2012年，文獻(xiàn)[8]利用度數(shù)理論中的Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理、實(shí)變函數(shù)中的Lebesgue控制收斂定理和Fatou引理證明了兩個(gè)新的正解存在定理。2011年，路慧芹[9]通過構(gòu)造一個(gè)特殊的錐，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究了問題(2)～(5)，得到了方程存在正解的一個(gè)充分條件。

由Gupta[10]的經(jīng)典分析可知，問題(1)～(2)是六種典型的彈性梁方程之一，描述了一類一端簡(jiǎn)支，另一端滑動(dòng)夾緊的彈性梁的形變。2013年，郭環(huán)[11]研究了問題(1)～(2)解的存在性問題，由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法得到了正解存在的充要條件。雖然可以通過上下解方法得到問題(1)～(2)的解，但在實(shí)際應(yīng)用中上下解選取的難度比較大。

受以上工作的啟發(fā)，研究問題(1)～(2)正解的存在唯一性。通過給出問題的Green函數(shù)并研究其相關(guān)性質(zhì)，使算子A的定義更加明確。得到的Green函數(shù)在文獻(xiàn)[7-9]中都有所提及，與上述文獻(xiàn)不同的是，通過Laplace變換求Green函數(shù)更加直觀易懂。在Banach空間中構(gòu)造了一個(gè)閉球B[O,L]，由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問題解的存在性，由壓縮映射原理證明了問題解的唯一性，解的正性也被討論。最后給出了一個(gè)數(shù)值例子。

1 預(yù)備知識(shí)和引理

引理1.1給定k(t)∈C[0,1],

(6)

是如下邊值問題的唯一解：

z(4)(t)=k(t),0

(7)

z(0)=z′(1)=z′′(0)=z′′′(1)=0。

(8)

這里，G(t,s)是該問題的Green函數(shù)：

(9)

證明：對(duì)式(7)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

s4Z(s)-s3z(0)-s2z′(0)-sz′′(0)-z′′′(0)=K(s),

這里，Z(s)=L[z(t)],K(s)=L[k(t)]。易知：

由邊值條件z(0)=z′′(0)=0,得

因此：

(10)

(11)

(12)

(13)

將t=1代入式(11)和式(13)，由邊值條件z′(1)=z′′′(1)=0,得

代入式(10)，得

證畢。

引理1.2由(9)式定義的Green函數(shù)有如下性質(zhì)：

1)G(t,s)≥0,G1(t,s)≥0,G2(t,s)≥0,對(duì)?t,s∈[0,1]。

證明：由式(9)，有

(14)

(15)

由式(9)、(14)和(15)可知，G(t,s)≥0,G1(t,s)≥0,G2(t,s)≥0。

再由

同理，

即

證畢。

引理1.3給定k(t)∈C[0,1],令

證明:由引理1.2易知結(jié)論成立。

引理1.4[12]設(shè)A1,A2,…,Ai是C[0,1]→C[0,1]的全連續(xù)算子，函數(shù)f(t,x1,x2,…,xi)在[0,1]×Ri上是連續(xù)的，則非線性算子A：

(Ak)(t)=f(t,(A1k)(t),(A2k)(t),…,(Aik)(t))

是C[0,1]上的全連續(xù)算子。

定義一個(gè)集合

(16)

這里L(fēng)>0是一個(gè)實(shí)數(shù)。在C[0,1]中定義一個(gè)球心在O半徑為L(zhǎng)的閉球B[O,L]。定義一個(gè)非線性算子A：C[0,1]→C[0,1]，

(Ak)(t)=f(t,(A1k)(t),(A2k)(t),(A3k)(t)),

2 存在唯一性

定理2.1假設(shè)存在一個(gè)正數(shù)L>0使得

|f(t,z,r,p)|≤L,(t,z,r,p)∈DL。

(17)

這里f:[0,1]×R3→R是連續(xù)的。那么，問題(1)～(2)至少有一個(gè)解。

同時(shí)，由式(17)可知

|(Ak)(t)|=|f(t,z(t),r(t),p(t))|≤L,

所以，(Ak)(t)∈B[O,L]，即算子A是B[O,L]→B[O,L]的映射。

由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即問題(1)～(2)至少有一個(gè)解。

證畢。

定理2.2假設(shè)定理2.1的(17)式成立，且存在三個(gè)常數(shù)M1,M2,M3≥0使得對(duì)?(t,zi,ri,pi)∈DL,i=1,2，有

|f(t,z2,r2,p2)-f(t,z1,r1,p1)|≤M1|z2-z1|+M2|r2-r1|+M3|p2-p1|,

(18)

(19)

則問題(1)～(2)有唯一解z(t)∈B[O,L]?C[0,1]，且滿足

證明:只需要證明算子A是一個(gè)壓縮映射即可。事實(shí)上，因?yàn)锽[O,L]?C[0,1]，所以B[O,L]是完備距離空間。由式(18)及引理1.3，對(duì)k1(t),k2(t)∈B[O,L]，有

‖(Ak2)(t)-(Ak1)(t)‖

=‖f(t,z2(t),r2(t),p2(t))-f(t,z1(t),r1(t),p1(t))‖

≤M1|z2(t)-z1(t)|+M2|r2(t)-r1(t)|+M3|p2(t)-p1(t)|

=q‖k2(t)-k1(t)‖。

即

‖(Ak2)(t)-(Ak1)(t)‖≤q‖k2(t)-k1(t)‖。

結(jié)合式(19)，算子A是一個(gè)B[O,L]→B[O,L]的壓縮映射，因此算子A在B[O,L]中有唯一不動(dòng)點(diǎn)，即問題(1)～(2)有唯一解z(t)。

下面考慮一種特殊的情況，定義兩個(gè)特殊的集合：

(20)

SL={k(t)∈C[0,1]|0≤k(t)≤L}。

(21)

0≤f(t,z,r,p)≤L,

(22)

且滿足式(18)～(19)，則問題(1)～(2)有唯一非負(fù)解。

推論2.1如果存在00，則問題(1)～(2)有唯一正解。

3 迭代方法和數(shù)值例子

迭代方法如下：

1)給定一個(gè)初始方程k0(t)=f(t,0,0,0),t∈[0,1];

迭代解zj(t)和精確解z*(t)滿足如下估計(jì)：

例1考慮如下四階邊值問題：

(23)

z(0)=z′(1)=z′′(0)=z′′′(1)=0。

(24)

≤L,

解不等式得1.228

另一方面，對(duì)(t,z,r,p)∈DL,

取M1=1.5,M2=0.6,M3=0.5,則定理2.2的式(18)成立。

定理2.2的式(19)成立。

所以，問題(23)～(24)有唯一解(迭代過程見圖1)。