張建霞，曲國(guó)慶，席 換，王 暉

(山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

測(cè)距定位方程用來描述已知點(diǎn)和待測(cè)點(diǎn)之間的歐氏距離，是大地測(cè)量與導(dǎo)航定位中重要的觀測(cè)方程[1]。該方程是非線性方程，傳統(tǒng)方法利用非線性最小二乘法，依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開至一階項(xiàng)進(jìn)行求解，適用于初值精度高和非線性強(qiáng)度弱的情況；對(duì)于非線性強(qiáng)度較強(qiáng)的模型，線性近似產(chǎn)生的模型誤差可能大于觀測(cè)誤差，給觀測(cè)方程帶來系統(tǒng)性的誤差，降低解的精度和可信度[2-3]。對(duì)于這類問題，可采用智能優(yōu)化算法或?qū)⑵渚€性化展開至二階項(xiàng)進(jìn)行求解[4-7]。對(duì)于殘差小的非線性方程，一般采用高斯牛頓迭代法進(jìn)行求解[8]。但是，若測(cè)距定位方程存在病態(tài)問題時(shí)，初始迭代矩陣具有嚴(yán)重的病態(tài)性，基于非線性最小二乘的數(shù)值迭代法會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)烈的不穩(wěn)定現(xiàn)象，無法收斂[9-10]。因此，根據(jù)測(cè)距定位方程的病態(tài)機(jī)制，選擇合適的求解病態(tài)非線性方程的方法就顯得尤為重要。

針對(duì)短程測(cè)距問題，有學(xué)者研究了測(cè)距定位方程非線性最小二乘解的性質(zhì)，指出非線性最小二乘解是觀測(cè)向量末端以觀測(cè)權(quán)為質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)系的重心，發(fā)展了短程測(cè)距定位方程的重心迭代方法和封閉式牛頓方法，能夠一定程度緩解短程測(cè)距的病態(tài)問題[11-13]。近年來的研究包括基于數(shù)值最優(yōu)化理論通過附加穩(wěn)定泛函或者避免迭代矩陣取逆運(yùn)算，優(yōu)化迭代步長(zhǎng)來提高短程測(cè)距定位的收斂效率、穩(wěn)定性和可靠性[1，14-15]。非線性正則化數(shù)值方法在處理病態(tài)測(cè)距定位問題的應(yīng)用過程中過于硬套，多集中于數(shù)值方法的構(gòu)建，但在大地測(cè)量中，測(cè)距定位方程的病態(tài)問題主要是因?yàn)橐阎c(diǎn)和未知點(diǎn)近似共面，如三維測(cè)邊網(wǎng)、室內(nèi)定位方程和水下測(cè)距定位方程，導(dǎo)致測(cè)距定位方程在高程方向即Z方向產(chǎn)生病態(tài)問題[16]。傳統(tǒng)非線性正則化數(shù)值迭代法假設(shè)各個(gè)方向都存在病態(tài)問題，給各個(gè)方向附加正則化約束，這會(huì)嚴(yán)重加劇問題的復(fù)雜性、非線性收斂效率和解的可信度。

因此，針對(duì)大地測(cè)量觀測(cè)構(gòu)型缺陷產(chǎn)生的病態(tài)問題，提出一種改進(jìn)的病態(tài)測(cè)距方程非線性估計(jì)的正則化數(shù)值迭代法。該方法采用分方向處理的思想，將非線性正則化約束只作用于病態(tài)方向，不對(duì)態(tài)性良好的水平方向進(jìn)行約束，這樣既保證水平方向能夠穩(wěn)定收斂到非線性最小二乘解，又能夠有效降低病態(tài)方向?qū)?shù)估計(jì)解的影響。本研究通過分析正則化參數(shù)與協(xié)方差的關(guān)系，提出采用協(xié)方差跡最小準(zhǔn)則來確定正則化參數(shù)。最后采用病態(tài)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 病態(tài)測(cè)距定位方程的非線性正則化數(shù)值迭代法

假設(shè)某觀測(cè)系統(tǒng)中，共存在n個(gè)已知點(diǎn)，第i個(gè)已知點(diǎn)可表示為(xi,yi,zi)，已知點(diǎn)到未知點(diǎn)的觀測(cè)距離為L(zhǎng)1,L2,…,Ln，所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)誤差為ε1,ε2,…,εn。要求根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)和觀測(cè)距離來確定未知點(diǎn)的幾何位置(x,y,z)，觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知點(diǎn)坐標(biāo)n≥4，即可列出超定測(cè)距定位方程：

Li=di(x)+εi，

(1)

(2)

其中Δi為線性化殘余誤差。

大地測(cè)量與導(dǎo)航定位中，由于觀測(cè)幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題導(dǎo)致測(cè)距定位方程具有病態(tài)性，比如已知點(diǎn)與待測(cè)點(diǎn)近似共面會(huì)導(dǎo)致測(cè)距定位方程在Z方向產(chǎn)生病態(tài)問題，為將病態(tài)方向與態(tài)性良好的方向分開討論，可將觀測(cè)方程表示為：

(3)

忽略線性化余項(xiàng)，可構(gòu)建線性化平差模型的向量表達(dá)式：

L=B1dr+B2dz+ε，

(4)

式中，dr=[dx,dy]T為水平方向坐標(biāo)信息變化量；dz為高程方向坐標(biāo)信息變化量；B1為平面方向的方向矢量，即水平方向所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣；B2為Z方向的方向矢量，即Z方向所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣。根據(jù)式(4)可得線性化誤差方程：

V(x0)=B1dr+B2dz-l，

(5)

式中，l=L-d(x0)。上述方程的最小二乘解使殘差在平方意義上取極小值min：

(6)

(7)

將式(5)代入式(7)進(jìn)行化簡(jiǎn)，考慮到線性化初值精度，可構(gòu)建高斯牛頓迭代公式：

(8)

其中k為迭代次數(shù)。

高斯牛頓法收斂條件相對(duì)于牛頓法更加嚴(yán)格。對(duì)于一般非線性最小二乘問題，文獻(xiàn)[17]利用幾何性質(zhì)證明高斯牛頓法的適應(yīng)條件取決于殘差的大小和非線性強(qiáng)度。當(dāng)殘差較大或者設(shè)計(jì)矩陣存在病態(tài)時(shí)，此時(shí)高斯牛頓法易陷入死循環(huán)或者得到的解并非有效解[15]。為解決測(cè)距定位方程的病態(tài)問題，傳統(tǒng)方法是基于標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)定泛函約束的正則化方法，其目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

其中α為正則化參數(shù)，主要用來平衡解的不穩(wěn)定性和平滑性[10]?？紤]到線性化初值，將目標(biāo)函數(shù)對(duì)待估參數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)令其等于零，結(jié)合式(5)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得：

(10)

式(10)為傳統(tǒng)非線性正則化迭代法。

由式(10)可知，傳統(tǒng)非線性正則化迭代法假設(shè)各個(gè)方向具有相同的病態(tài)問題，因此將穩(wěn)定泛函作用于所有方向，這種假設(shè)能夠提高解的穩(wěn)定性，但并不切合實(shí)際，增加了問題的復(fù)雜度且降低了數(shù)值算法的收斂性。大地測(cè)量與導(dǎo)航定位中，觀測(cè)結(jié)構(gòu)共面導(dǎo)致的病態(tài)問題較常見，先計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣的條件數(shù)證明存在病態(tài)，再利用特征分析法求得3個(gè)方向?qū)?yīng)的特征值，一般將“特征值很接近于零”作為判斷方程病態(tài)性的依據(jù)[18-19]來判斷病態(tài)方向。針對(duì)共面導(dǎo)致的病態(tài)集中于Z方向的問題，給出一種改進(jìn)的正則化數(shù)值迭代法，即

(11)

該方法采用分方向處理病態(tài)問題的思想，降低了問題的復(fù)雜度，能保證水平方向上仍然為最小二乘解，在降低病態(tài)性對(duì)解的影響的同時(shí)提高收斂效率。

2 正則化參數(shù)的確定

精確確定正則化參數(shù)是保證病態(tài)測(cè)距定位方程的非線性正則化迭代法解算效果的關(guān)鍵，過大或過小都會(huì)影響參數(shù)估計(jì)解，過大會(huì)導(dǎo)致解算模型過度平滑，過小對(duì)問題解算未起到明顯改善效果，解的不穩(wěn)定性依然存在。本研究提出一種基于最小協(xié)方差跡來確定正則化參數(shù)的方法。設(shè)

(12)

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播定律，結(jié)合式(12)可計(jì)算觀測(cè)方程的協(xié)因數(shù)陣為：

(13)

根據(jù)分塊矩陣求逆運(yùn)算，可得到參數(shù)估計(jì)解垂直方向和水平方向的協(xié)因數(shù)陣

(14)

若不附加正則化約束，水平方向和垂直方向的協(xié)因數(shù)陣為：

(15)

由式(15)可知，測(cè)距定位方程Z方向的病態(tài)性也會(huì)影響水平方向即X和Y方向的求解精度，使X和Y方向也產(chǎn)生病態(tài)性的“虛假”問題。如果將正則化約束直接作用于所有的方向，雖能夠改善問題的病態(tài)性，但加劇了問題的復(fù)雜性，降低了非線性迭代收斂效率。將式(15)減去式(14)可得：

(16)

由式(16)可知，在一定取值范圍內(nèi)，參數(shù)估計(jì)解的協(xié)因數(shù)陣與正則化參數(shù)呈遞降關(guān)系。通過將正則化參數(shù)作用于Z方向能夠降低Z方向病態(tài)給水平方向即X和Y方向產(chǎn)生的影響。取水平方向和垂直方向的互協(xié)因數(shù)陣為Qdrdz，則可計(jì)算參數(shù)估計(jì)解的協(xié)方差估計(jì)值

(17)

(18)

綜上分析，參數(shù)估計(jì)解在水平方向和垂直方向的方差是α的遞降函數(shù)，這表明在適當(dāng)條件下，方差會(huì)隨正則化參數(shù)的增加而降低，但由于系統(tǒng)殘差以及偏差等問題，方差會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定值。由于協(xié)方差跡能夠整體反映該方法的求解精度，可設(shè)計(jì)如式(19)最優(yōu)化函數(shù)來計(jì)算正則化參數(shù)：

(19)

式(19)為協(xié)方差跡最小準(zhǔn)則函數(shù)，類似于采用L曲線法來確定正則化參數(shù)，其搜索結(jié)果如圖1所示，協(xié)方差隨著正則化參數(shù)的增加而降低，最后趨于穩(wěn)定，形狀類似于L形。

圖1 基于協(xié)方差跡最小準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)搜索結(jié)果

3 算例

3.1 算例1：短程測(cè)距定位模擬實(shí)驗(yàn)

由表1數(shù)據(jù)構(gòu)造的短程測(cè)距定位方程是非線性方程，且已知點(diǎn)和待定點(diǎn)呈近似共面分布，計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣的條件數(shù)為115.052 0，存在中等程度的病態(tài)，再計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣3個(gè)方向上的特征值分別為6.719 4、1.222 2、0.058 4，Z方向上的特征值最接近于0，可判斷該方程的病態(tài)性主要集中于Z方向，X方向和Y方向態(tài)性良好。對(duì)于這類病態(tài)問題，分別采用非線性最小二乘法、高斯牛頓法、傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法進(jìn)行計(jì)算并對(duì)比收斂結(jié)果和迭代次數(shù)，結(jié)果如表2所示。

表1 短程測(cè)距定位已知點(diǎn)的三維坐標(biāo)和已知觀測(cè)距離

由表2給出的4種方法的數(shù)值收斂解對(duì)比可知，非線性最小二乘法雖然簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但由于受到病態(tài)的影響，解的精度較差，結(jié)果不可靠，尤其是Z方向上的解與真值的偏差最大，進(jìn)一步證明了該方程的病態(tài)性集中于Z方向；高斯牛頓法在處理病態(tài)問題時(shí)，受到強(qiáng)烈擾動(dòng)而使解不穩(wěn)定，無法收斂到數(shù)值解，因此不適用于病態(tài)方程組的解算；傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法基于穩(wěn)定泛函約束的思想，降低了病態(tài)問題對(duì)方程組解的影響，提高了非線性最小二乘解的精度；而本研究方法既保證水平方向能夠穩(wěn)定收斂到傳統(tǒng)意義上的非線性最小二乘解，又能夠有效降低病態(tài)方向?qū)獾挠绊?，通過迭代次數(shù)比較，說明本研究方法能夠較快地得到數(shù)值收斂解，提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，在處理大地測(cè)量中已知點(diǎn)和待定點(diǎn)近似共面導(dǎo)致的病態(tài)問題時(shí)具有良好的性能。

表2 不同方法的解算結(jié)果(算例1)

圖2給出了本研究方法和傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的點(diǎn)位迭代序列，橫軸代表迭代次數(shù)，縱軸分別代表X、Y、Z3個(gè)方向上的數(shù)值收斂解。由圖2可知，該方法沒有影響解的穩(wěn)定性，且能更快地收斂到估計(jì)解，具有良好的性能。對(duì)于水下GPS定位、室內(nèi)導(dǎo)航定位等短距離測(cè)距定位方程，也存在已知點(diǎn)和未知點(diǎn)近似共面的情況，本研究方法仍然適用。

圖2 2種方法的點(diǎn)位迭代序列圖(算例1)

3.2 算例2：蜂窩網(wǎng)定位模擬實(shí)驗(yàn)

表3 蜂窩網(wǎng)已知點(diǎn)的三維坐標(biāo)和已知觀測(cè)距離

在蜂窩網(wǎng)的三維定位中，控制點(diǎn)和未知點(diǎn)一般都近似分布于地表，即控制點(diǎn)和未知點(diǎn)近似共面，測(cè)距定位方程的設(shè)計(jì)矩陣存在病態(tài)問題。計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣的條件數(shù)為1.563 0×106，方程存在嚴(yán)重病態(tài)，再計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣3個(gè)方向上的特征值分別為10.449 5、1.518 7、0.031 8，Z方向上的特征值最接近于0，可判斷該方程的病態(tài)性主要集中于Z方向，X和Y方向的病態(tài)性較弱。同算例1，分別采用4種方法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表4所示。

表4 不同方法的解算結(jié)果(算例2)

由表4可知，從數(shù)值收斂解來看，非線性最小二乘法得到的收斂解誤差較大，尤其是Z方向的解偏離真實(shí)值最大，解算結(jié)果不可信，證明Z方向確實(shí)受病態(tài)影響最大，病態(tài)主要集中在Z方向；高斯牛頓法不適用于處理病態(tài)方程，易受到初值的約束和病態(tài)的影響，使解無法收斂；傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法雖然得到收斂解的數(shù)值相同，但該方法在水平方向得到的還是傳統(tǒng)意義上的非線性最小二乘解，但因?yàn)閆方向受到正則化約束的作用，使得Z方向上解的病態(tài)性減弱，誤差減小，同時(shí)因?yàn)榉匠陶w病態(tài)的減弱也影響了其余2個(gè)方向的解，與模擬真值更相近，提高了非線性最小二乘法的精度。從迭代次數(shù)對(duì)比來看，該方法提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，具有良好的性能。

圖3給出了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法的點(diǎn)位迭代序列圖，從圖中可以看出，該方法在提高收斂效率的同時(shí)穩(wěn)定性并沒下降，能更早更快的趨于收斂。結(jié)合表4可以得出結(jié)論：該方法在處理病態(tài)測(cè)距定位方程時(shí)表現(xiàn)出良好的性能。

圖3 2種方法的點(diǎn)位迭代序列圖(算例2)

3.3 算例3：水下定位實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

表5 不同方法的解算結(jié)果(算例3)

由表5可知，非線性最小二乘法得到的收斂解誤差較大，解算結(jié)果不可信，尤其是Z方向上的解與真值的偏差最大，證明Z方向上的病態(tài)性最強(qiáng)；高斯牛頓法這類普通的數(shù)值迭代法易受到初值的約束和方程病態(tài)性的影響，解無法收斂，不適用于處理病態(tài)問題。與傳統(tǒng)非線性正則化迭代法相比，本研究方法性能更優(yōu)。因此，對(duì)于水下定位存在的已知點(diǎn)和未知點(diǎn)近似共面的情況，該方法也能表現(xiàn)出良好的性能，適用于實(shí)際問題。

圖4給出了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法的點(diǎn)位迭代序列。從圖中可以明顯地看出，該研究方法開始收斂的早，穩(wěn)定性較好，沒有較大的擾動(dòng)，并且大大提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，表明本方法在水下定位的實(shí)際應(yīng)用中能夠發(fā)揮良好的性能。

圖4 2種方法的點(diǎn)位迭代序列圖(算例3)

4 結(jié)束語

在大地測(cè)量中，非線性正則化數(shù)值迭代法被廣泛地應(yīng)用于病態(tài)測(cè)距定位方程的解算中。然而，在測(cè)距定位中，常出現(xiàn)已知點(diǎn)和未知點(diǎn)近似共面的情況，此時(shí)方程線性化后的設(shè)計(jì)矩陣具有病態(tài)性，通過條件數(shù)法和特征分析法可以判斷病態(tài)主要集中于Z方向。本研究提出一種改進(jìn)的非線性正則化數(shù)值迭代法，將正則化約束僅作用于病態(tài)方向，來提高非線性收斂效率，增強(qiáng)解的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本研究方法能夠降低病態(tài)性對(duì)解的影響，提高傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，具有更好的局部收斂性質(zhì)。