王偉，郭宗和，秦志昌

(山東理工大學 交通與車輛工程學院, 山東 淄博 255049)

行星齒輪減速器具有同軸性好、承載能力高、運轉平穩(wěn)、傳動比大、體積小等優(yōu)點，在很多情況下可代替定軸輪系的傳動機構，是機械工程領域中廣泛應用的傳動類型[1]。齒輪在傳動過程中兩輪齒間的嚙合是線接觸，且在傳動過程中接觸的部位是在不斷變化的,嚙合部位容易磨損，極易造成齒輪輪齒折斷，致使齒輪傳動失效；因此，齒輪傳動的性能和使用壽命直接影響了各種機械的工作精度和可靠性[2]。針對齒輪傳動的問題，賀朝霞等[3]以漸開線圓柱齒輪副為研究對象，建立了齒輪副動態(tài)分析有限元模型，計算了齒側主應力、齒面接觸應力以及彎曲應力沿齒寬方向的分布；馮海生等[4]建模仿真分析了變工況沖擊對齒輪傳動系統(tǒng)動特性的影響；曹茂鵬等[5]對面齒輪動態(tài)嚙合力進行有限元仿真分析與研究，獲得了面齒輪齒面接觸力及齒根彎曲應力在連續(xù)嚙合過程中的變化規(guī)律及轉速和負載與面齒輪動態(tài)嚙合力之間的關聯(lián)規(guī)律。

行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學問題一直是國內(nèi)外學術研究的熱點，主要集中在尋找精簡高效的分析模型、預測系統(tǒng)固有特性和動態(tài)響應、探尋系統(tǒng)的激勵機理和減振降噪技術等方面[6]。齒輪傳動系統(tǒng)中的應力應變及振動特性等響應在航空航天以及核能和汽車行業(yè)的高級設計和疲勞失效分析中起著重要作用，它會影響齒輪傳動的許多方面，實際中存在很大的未知性[7]。本文以常見的2K-H[8]行星齒輪減速器的核心傳動裝置為研究對象，運用三維參數(shù)化設計軟件SolidWorks建立行星輪系的三維模型，借助有限元分析軟件 ANSYS Workbench分析給定工作狀況下減速器齒輪傳動系統(tǒng)的等效應力、應變、模態(tài)頻率等參數(shù)，以期為齒輪傳動的設計、優(yōu)化及故障診斷提供一定的參考。

1 行星齒輪減速器三維建模

行星齒輪幾何模型可通過UG、SolidWorks等三維機械建模軟件快速搭建，這些三維建模軟件可通過格式的轉換或Workbench的專有接口實現(xiàn)模型的快速導入。

1.1 行星齒輪構造及工作原理

2K-H型行星齒輪傳動機構主要由太陽輪1、行星輪2、齒圈3和行星架H四部分構成，如圖1(a)所示。行星齒輪傳動機構在工作時可以通過控制太陽輪、行星架、齒圈3個元件實現(xiàn)變速、變扭、改變動力傳遞方向。在行星輪系中分別將3個元件中任一元件當作主動件、被動件或固定件可以得到不同的傳動方案。表1所示為行星齒輪的傳動方案，其中α=z3/z1，z1為太陽輪齒數(shù)，z3為齒圈齒數(shù)，α為行星齒輪齒圈齒數(shù)與太陽輪齒數(shù)的比值。根據(jù)減速器工作需要的傳動比及動力輸出方向確定傳動方案。為了獲得較大的輸出扭矩，本文采用傳動方案1，將齒圈固定，由太陽輪輸入動力，并經(jīng)行星輪傳遞到行星架，由于齒圈被固定，故行星輪既自轉又公轉并帶動行星架轉動實現(xiàn)動力的輸出。

(a)傳動機構 (b)三維模型

表1 行星齒輪傳動方案

1.2 行星齒輪三維建模

使用三維建模軟件SolidWorks對減速器行星齒輪進行三維模型的建立，具體齒輪的相關參數(shù)見表2。應用 SolidWorks軟件按表2所列參數(shù)建立行星輪、太陽輪和齒圈的三維模型，計算各零件位置關系，通過SolidWorks裝配體配合關系(重合、同軸心、相切、齒輪配合等)建立配合約束，完成零件的虛擬裝配。裝配過程中要注意各個齒輪的嚙合位置，保證齒面正確接觸，并在SolidWorks中通過運動仿真檢查有無運動干涉等情況，必要時可通過構造草圖輔助線進行齒輪的定位。完成后的行星齒輪三維模型如圖1(b)所示。

表2 行星輪系參數(shù)

2 行星齒輪動態(tài)有限元分析前處理

2.1 材料屬性

在行星齒輪有限元分析中,模型的狀態(tài)由線彈性模型確定，定義材料為各向同性，并通過輸入彈性模量、泊松比和質量密度3個物理量來完成材料屬性的定義[9]。在ANSYS Workbench主界面左側Toolbox中調(diào)出Transient Structural模塊，雙擊Engineering Data進行自定義材料設置。本文太陽輪和行星輪均采用20CrMnTi，內(nèi)齒圈采用40CrMo，材料參數(shù)見表3。

表3 行星輪系的材料參數(shù)

2.2 網(wǎng)格劃分

有限元分析中求解的準確度和速度與網(wǎng)格劃分的方法和質量有著直接的關系，另外網(wǎng)格的劃分也要兼顧計算機的性能配置，合理匹配軟硬件能大大提高計算的效率。由于計算機配置的因素，本文在劃分網(wǎng)格時先利用軟件進行自由劃分，但發(fā)現(xiàn)在齒輪嚙合邊緣網(wǎng)格較為粗糙，因此用Edge sizing對齒輪的邊緣進行網(wǎng)格的尺寸約束，設置每個網(wǎng)格的大小為2 mm。劃分網(wǎng)格后的模型如圖2所示，其由140 625個節(jié)點和25 437個單元組成。

圖2 行星齒輪網(wǎng)格劃分圖

2.3 邊界條件及求解設置

ANSYS Workbench默認將模型的接觸設為綁定接觸，但本文主要對齒輪進行動力學分析，因此需要將各齒輪的接觸設置為摩擦接觸。為了方便設置接觸，可利用Workbench中的Named Selections通過多選操作定義各齒輪的接觸面，這樣在設置摩擦接觸時可以更加準確、方便、快捷。利用ANSYS接觸向導定義太陽輪上的齒廓面為接觸面，行星輪上的齒廓面為目標面，接觸剛度因子和摩擦系數(shù)分別設置為1 和0.1，模擬太陽輪和行星輪的實際接觸狀況。定義行星輪上的齒廓面為接觸面，齒圈的齒廓面為目標面，接觸剛度因子和摩擦系數(shù)也分別設置為1 和0.1，模擬行星輪和齒圈的實際接觸狀況。在太陽輪軸頸和內(nèi)齒圈旋轉中心處施加相對于大地的旋轉約束以模擬軸承支承，在行星輪軸頸和行星架兩零件之間設置相對旋轉約束。根據(jù)行星齒輪的工作要求，在太陽輪軸頸處施加一個轉速，在行星架上施加負載轉矩，固定齒圈模擬行星齒輪的工作工況。在瞬態(tài)動力學分析中設置積分時間步長求解，初始子步、最小最大子步分別設置為50、20、10 000，時間步結束時間設置為0.1 s，求解類型選擇直接積分法。積分時間步長的大小不僅僅影響到計算的效率，而且會影響到計算的精度和收斂性，時間步長越小，精度越高、計算收斂越慢、對計算機要求越高。

3 行星齒輪動態(tài)特性分析

行星齒輪動態(tài)特性分析的主要目的是模擬齒輪在給定工況下的運動響應，并發(fā)現(xiàn)齒輪結構的應力、應變等分布情況，獲得齒輪的應力、應變最大值，為行星齒輪的結構設計和優(yōu)化提供依據(jù)。根據(jù)減速器的工況，設定太陽輪輸入轉速為20 rad/s，行星架負載轉矩為765 N·m，建立行星齒輪動力學仿真模型。

3.1 等效應力應變分析

對行星齒輪進行瞬態(tài)動力學分析，并經(jīng)過一段時間的求解計算得到行星輪系的等效應力應變云圖如圖3和圖4所示。分析圖3和圖4可知，在動力傳動過程中齒輪的最大等效應力為92.365 MPa，其數(shù)值遠遠小于齒輪材料的屈服極限，符合強度設計的要求；最大應變?yōu)?.39×10-3，對于齒輪的影響很小，不妨礙齒輪的正常傳動。因此可以認為此行星輪系在給定工況下工作時的應力、應變情況是安全可靠的。另外，由圖3和圖4還發(fā)現(xiàn)行星輪系的最大等效應力應變都發(fā)生在太陽輪的齒根處，在齒輪長時間工作后齒根處容易發(fā)生疲勞斷裂，因此在日常檢查維護過程中應重點關注。

圖3 行星齒輪應力云圖

圖4 行星齒輪應變云圖

對一對太陽輪和行星輪進行分析，由系統(tǒng)動力學仿真分析可得到太陽輪在0.25 s內(nèi)各個參數(shù)的應力響應曲線(如圖5所示)和應變響應曲線(如圖6所示)。由圖5和圖6中可知，太陽輪與行星輪嚙合過程中應力、應變曲線呈現(xiàn)周期性變化，其運動過程中第一個周期在0.09 s時刻太陽輪的應力、應變達到最大值，此時兩個齒輪的齒頂與齒面剛剛接觸，處于單齒嚙合狀態(tài)，由于接觸面積較小所以應力、應變在此處出現(xiàn)最大值；當兩個齒輪的齒面與齒面接觸時，處于雙齒嚙合狀態(tài)，此時接觸面積較大,嚙合應力、應變較小。在齒輪嚙合過程中，由雙齒嚙合區(qū)域進入單齒嚙合區(qū)域時間較短，所以不會產(chǎn)生往復變化的情況；而由單齒嚙合區(qū)域進入雙齒嚙合區(qū)域時，由于齒輪間要相互傳遞力矩，此過程必然會經(jīng)歷相對較長的時間，相應地就會出現(xiàn)嚙合應力、應變往復變化的情況。

圖5 太陽輪應力響應曲線

圖6 太陽輪應變響應曲線

3.2 接觸壓力分析

接觸分析可以了解系統(tǒng)在局部接觸部分的工作情況(包括接觸應力、應變、位移、摩擦以及接觸面積等情況)，可以探索系統(tǒng)接觸未知區(qū)域的狀況，提高系統(tǒng)的可靠性。為了得到齒輪傳動副接觸壓力的結果，需要在Solution中添加一個Contact Tool，然后在Contact Tool 中添加Pressure(壓力)、Status(狀態(tài))、Penetration(接觸穿透情況)等參數(shù)。點擊Solve，等待計算完成，得到的齒輪接觸參數(shù)如圖7—圖9所示。由圖7—圖9可知：各齒輪的齒面接觸情況較好，最大接觸壓力為48.244 MPa，該接觸壓力較小，不會出現(xiàn)接觸面齒面的壓潰和點蝕現(xiàn)象，最大接觸穿透量為0.002 97，穿透量非常小。

圖7 接觸狀態(tài)圖

圖8 接觸壓力

圖9 接觸穿透情況

由前述分析可知，最大應力應變都出現(xiàn)在太陽輪上，為此沿用上述分析結果獲得了如圖10所示的太陽輪和行星輪的接觸壓力響應曲線。通過分析圖10可以看出，太陽輪和行星輪運行過程中接觸壓力先是逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，然后在某一時間點突然增大而后又趨于穩(wěn)定，這是由于太陽輪與行星齒輪的輪齒在開始嚙合的瞬間，齒輪的接觸狀態(tài)經(jīng)歷了點接觸到線接觸再到面接觸的過程，而在點接觸瞬間發(fā)生了應力集中導致接觸壓力突然增大。

圖10 接觸壓力響應曲線

4 行星齒輪減速器模態(tài)分析

4.1 模態(tài)分析理論基礎

模態(tài)分析也稱自由振動分析，屬于動力學分析領域，是其他類型動力學分析的基礎[10]。本文通過對2K-H型行星齒輪傳動系統(tǒng)進行模態(tài)分析，找出結構的缺陷，避免系統(tǒng)結構因發(fā)生共振而影響傳動平穩(wěn)性及傳動系統(tǒng)各部件的壽命[11]。

模態(tài)是系統(tǒng)的固有特性，系統(tǒng)結構中不同節(jié)點在系統(tǒng)激勵下做出的響應不同，其響應可表示為不同特定固有頻率、阻尼比和振型等模態(tài)參數(shù)構成的各階次模態(tài)振型的疊加。其動力學基本方程為

(1)

(2)

設特解X=φejωt(自由響應的幅值列陣),帶入上式得

(K-ω2M)φ=0，

(3)

該方程有非零解的充要條件是

|K-ω2M|=0。

(4)

φi=[φ1i，φ2i，…,φni]T(i=1,2…,n) ，

(5)

式中:φi為特征向量，描述結構的振型；ωi為固有頻率。

4.2 行星齒輪模態(tài)分析

固有特性主要指系統(tǒng)的固有頻率和振型，固有特性直接影響系統(tǒng)結構的穩(wěn)定性[11]。將在SolidWorks三維建模軟件中建好的行星輪系實體模型導入ANSYS Workbench有限元分析軟件中進行模態(tài)分析。行星輪系中各齒輪間的連接接觸方式、材料屬性、單元網(wǎng)格、加載邊界等設置與前相同，然后進入Mechanical窗口進行模態(tài)求解。

取前6階模態(tài)頻率計算分析后，得到如表4所示齒輪傳動系統(tǒng)的前6階固有頻率和如圖11—圖16所示的前6階模態(tài)振型圖。

表4 齒輪傳動前6階固有頻率

圖11 一階振型

圖12 二階振型

圖13 三階振型

圖14 四階振型

圖15 五階振型

圖16 六階振型

從表4可以看出，行星輪系前6階固有頻率分布在370.8～5841.3 Hz之間，各階次模態(tài)沒有出現(xiàn)重疊分布現(xiàn)象，在正常運轉過程中不會因自身結構而產(chǎn)生共振，并且對低頻率的振動工作環(huán)境具有良好的適應性。從圖11—圖16所示的模態(tài)振型圖中可以看出：該齒輪副模態(tài)主要是行星輪與太陽輪的平移振動及行星架扭轉變形，并且隨著模態(tài)階次升高，變形幅度逐漸減小，齒輪傳動更加趨于穩(wěn)定。因此，低階模態(tài)對該行星齒輪傳動結構影響較大。

4.3 太陽輪齒根裂紋對于模態(tài)頻率的影響

在齒輪嚙合傳動過程中，因為嚙合位置不斷發(fā)生變化，致使太陽輪齒根位置的應力、應變較大，長時間工作后可能發(fā)生疲勞損壞，成為裂紋萌生和擴展的主要區(qū)域[12]；因此，本文以含太陽輪齒根裂紋輪副為對象，通過創(chuàng)建不同齒根裂紋模型，研究不同齒根裂紋深度對行星齒輪傳動副自身模態(tài)的影響。圖17給出了行星齒輪嚙合狀態(tài)下，太陽輪齒根處出現(xiàn)應力、應變集中現(xiàn)象導致齒根裂紋的幾何模型，αA表示齒根裂紋深度，θA表示齒根圓裂紋角,默認將裂紋角設置為60°。

圖17 齒輪副裂紋情況

基于含齒根裂紋的幾何模型，設置與前面相同的模態(tài)分析約束條件，求解獲得含齒根裂紋模型的模態(tài)計算結果。圖18所示為太陽輪齒根裂紋深度不同時減速器行星齒輪副的前6階模態(tài)頻率變化規(guī)律圖。分析圖18可以看出，雖然階次越大、結構的頻率越高，但是從計算結果上可以看出，裂紋的存在對低階模態(tài)的影響更為顯著，4階模態(tài)之后，裂紋對結構的頻率影響甚至可以忽略不記；因此，在太陽輪齒根裂紋模態(tài)分析中，重點考察前3階模態(tài)的變化即可以滿足實際需求。從圖18中也可以看出，隨著太陽輪齒根裂紋深度的增大，結構的固有頻率降低，這是因為由于齒根裂紋的存在，導致輪齒的剛度發(fā)生了劇烈變化。因為抗彎剛度與尺寸的三次方成正比，所以一旦有裂紋產(chǎn)生，結構的剛度會迅速減小，從而影響了整個齒輪系統(tǒng)的模態(tài)頻率。

圖18 齒根裂紋深度對模態(tài)頻率的影響

5 結論

本文選用2K-H行星齒輪減速器作為研究對象，設計齒輪參數(shù)并進行三維建模和裝配，利用ANSYS Workbench探討了行星齒輪系多齒嚙合問題，研究結果表明：

1)該行星齒輪在工作過程中最大應力、應變發(fā)生在太陽輪的齒根部位，輪齒之間的動態(tài)嚙合情況呈現(xiàn)周期性變化，且在輪齒剛剛接觸的一瞬間會發(fā)生應力集中現(xiàn)象，導致齒輪嚙合部位應力、應變及接觸壓力突然增大，而在輪齒接觸后的時刻迅速減小并趨于穩(wěn)定。

2)對行星齒輪傳動模型進行了模態(tài)分析，得到行星齒輪副前6階固有頻率主要分布在370.8～5 841.3 Hz之間，而且隨著模態(tài)階次的提高，各齒輪的變形量逐漸減小，低階模態(tài)對其影響較大。

3)行星齒輪系中太陽輪齒根裂紋的出現(xiàn)使得整個齒輪傳動系統(tǒng)的結構和剛度發(fā)生了變化，隨著裂紋加長，模態(tài)頻率稍有下降，并且裂紋深度對前3階模態(tài)影響較大，4階以后影響非常小可以近似忽略。