朱國軍

【背景】

數(shù)學大師陳省身曾為廣大少年兒童題詞“數(shù)學好玩”，呼吁我們的數(shù)學教育要讓學生在“玩”中學，讓每一個兒童在“玩”中體會探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的無窮樂趣，真切地感受到數(shù)學充滿魅力。筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，學生興趣的激發(fā)、素養(yǎng)的形成，多依賴他們參與其中的活動及其對這些活動的感悟與思考。數(shù)學知識與技能是顯性的，數(shù)學思考與經(jīng)驗是隱性的，我們要嘗試在學科素養(yǎng)的基礎上將隱性的素養(yǎng)通過顯性的基礎知識進行顯性的培養(yǎng)。

在“圖形與幾何”教學中，筆者發(fā)現(xiàn)，學生的思維不夠靈活，思路不夠開闊，對基本圖形的面積計算均能熟練地掌握，但在進行組合圖形的面積計算時，時常束手無策。認真審視這類問題，最主要的原因在于學生的思維沒有打開，認知不夠靈活，未能在“變”中找“不變”，未能發(fā)現(xiàn)組合圖形的本質(zhì)。在平時的教學中，不少教師都偏重于關注解決這類問題的方法策略及技能的訓練，而對于“等積變形”的思想體驗不夠深入，教材中也恰恰缺少跨越這道思維之坎的內(nèi)容。因此，在學生熟練掌握“三角形的面積計算”之后，筆者拓延出了“A4 紙中的數(shù)學問題”這節(jié)課，借助玩轉(zhuǎn)A4 紙滲透“等積變形”的思想，在深化圖形面積計算的基礎上，引導學生發(fā)現(xiàn)圖形之間本質(zhì)的共通性，感悟數(shù)學思想的魅力，培養(yǎng)靈活變通的數(shù)學思維。

【教學過程及分析】

一、基于情境，培養(yǎng)創(chuàng)想意識

課件播放A4紙的魔法視頻，渲染氣氛。（最后定格在一摞彩色A4紙上）

師：大千世界，創(chuàng)意無限，一張A4紙竟然有如此的魔法。不過，這樣的創(chuàng)意想法要靠我們大膽的想象。今天，我們也借助具有魔法的A4紙來探尋數(shù)學上的相關知識。

二、動手操作，尋找共性問題

1.動手操作。師：研究A4紙的什么呢？請看大屏幕。

課件出示：折一折、畫一畫設計圖案，使陰影部分的面積是A4 紙的，盡量多設計幾種不同的圖案，看誰設計的圖案獨特、新穎、有創(chuàng)意。

教學中如果沒有挑戰(zhàn)性的任務或要求，學生一般都會把A4 紙對折平均分成兩份。鼓勵學生盡可能多地設計不同、新穎、獨特的圖案，就是逼著學生突破原有的認知和思維定勢，使他們巧妙運用“等積變形”的知識設計作品。

2.展示作品。

學生活動，教師搜集典型作品貼到黑板上。3.分類梳理。

師：把這些作品分分類，你打算怎么分？

（1）A4紙對折類

師：我們先看這幾幅圖（如圖1），哪些同學是這樣畫的？講給大家聽聽。

（圖1）

小結(jié)：這個對折的方法操作簡單，一眼就能看出對折后的三角形是A4紙的一半。不過折是有講究的哦。（引導學生說出折痕通過中心點）

（2）頂點在長邊或?qū)掃?/p>

生：因為這個三角形的底和A4紙所在的長方形的長相等，高和這張紙的寬相等，所以三角形的面積就等于這張紙的長×寬÷2，也就是這張紙面積的一半。

師：三角形的頂點是否可以是紙的長或?qū)捝系娜我庖稽c呢？

生：沿著長邊和寬邊延長找個點連起來的三角形的面積也相當于這張紙面積的一半。

幾何畫板演示在長方形的長和寬上不斷地滑動動點（如圖3），邊演示邊小結(jié)：這個P 點的位置沿著長邊或?qū)掃叢粩嘧兓?，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？隨著這個點慢慢移動，銳角三角形慢慢變成了直角三角形。什么在變？什么沒變？沿著這條邊移動到長方形的外面，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（底和高依然不變，面積也依然不變）真好！同學們能從變中找到不變。（板書：等底等高）

（圖3）

（3）頂點在長方形內(nèi)

師（出示圖4）：這些圖案形狀有點怪，情況有點復雜了，誰來解釋一下？

（圖4）

學生借助輔助線匯報，略。

師：那么，這兩個三角形的交點除了圖中的位置，還可以在其他位置嗎？

生1：可以在A4紙內(nèi)任意位置。

生2：不管怎樣連，都是利用等底等高的知識。

師：真好！借助輔助線我們可以透過現(xiàn)象看本質(zhì)。實際上，不論這個交點移到哪里，三角形都和它所在的長方形等底等高。想象的確很重要，不過，老師還是想讓你們看到你們想象的圖案，讓你們看得清楚、想得明白。

幾何畫板演示P 點移動到長方形的任意位置。（如圖5）

（圖5）

師：老師沿著這條輔助線向右慢慢移動P點，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？再向上移動呢？

生：圖形之間實際上是一樣的，移動P 點可以把不一樣的圖形變成一樣的圖形。

小結(jié)：學會在變化中找不變才能真正發(fā)現(xiàn)變與不變之間的關系。我們學習就要這樣，發(fā)現(xiàn)別人發(fā)現(xiàn)不了的才是最棒的。只要巧妙地移動P點，這些陰影部分的形狀都是相通的。

此環(huán)節(jié)是在學完圖形的面積計算之后，要求學生用多種方法表示A4 紙的，力求獨特新穎。然后要求學生根據(jù)不同的作品分分類，在分類交流時發(fā)現(xiàn)同樣是A4 紙的，卻可以有很多種不同的形狀來表示。在此過程中，借助“面積相等”強刺激，讓學生在變中找不變，突出等底等高的三角形面積相等。接著通過幾何畫板動態(tài)演示三角形的“等積變形”，讓學生感受到點在動，形在變，高與面積依然不變，透過表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其實每一個圖案之間都有共通性，它們的本質(zhì)是一樣的，力求從“思維的多樣化”向“本質(zhì)的統(tǒng)一性”過渡。

三、靈活運用，拓寬思維邊界

1.研究一張A4紙。

師：我們把這張紙的四個角分別標上A、B、C、D，剛才老師提到為了便于研究，把這張紙的面積約定為多少？（600平方厘米）也就是長方形ABCD的面積為600 平方厘米。E、F、G、H分別是這四條邊的中點，請你嘗試連接其中任意三個點畫出大小不一的三角形，并求出它的面積。

學生動手操作后展示交流。

師：誰來說一說你畫的三角形？

生：我畫的這個三角形和長方形的紙等底等高，所以是長方形面積的一半，300 平方厘米。（如下頁圖6中第一個圖形）

師：有比300平方厘米更大的三角形嗎？

生：沒有。

生：第二個三角形我們可以借助輔助線發(fā)現(xiàn)它和半張長方形紙等底等高，那它的面積就是這張紙的一半的一半，150 平方厘米。（如下頁圖6中第二個圖形）

師：還有比75 平方厘米小的三角形嗎？還有和這三個面積不一樣的三角形嗎？

（圖6）

小結(jié)：與眾不同，真厲害！發(fā)現(xiàn)別人發(fā)現(xiàn)不了的問題。有時候，添加輔助線可以使圖形簡單化，也是你想象力和創(chuàng)造力的集中體現(xiàn)。

如果說第一個環(huán)節(jié)設計是大膽想象，更多的是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，那么這個環(huán)節(jié)更多是思維力的提升。通過開放性的設計，在A4紙中找大小不一的三角形，從弄清三角形與等底等高長方形面積之間的關系提升到靈活運用的水平，意在充分盤活所學的知識，既是對前面找A4 紙的進行鞏固，也是一種變式和超越，同時能推動學生的空間觀念得到更好的發(fā)展。

師：老師看出有的同學洋洋得意了，現(xiàn)在，我們把這張A4 紙對折再對折平均分成四個小長方形，那么這個小長方形和大長方形（很相似，只是大小不一樣），將小長方形和大長方形拼在一起，你還能連接圖中的三個點，連出大小不一的三角形嗎？

態(tài)度均分為（5.22±1.40）分，最低為 1 分，最高為7分。單因素分析顯示，不同的月收入、本單位工作年限、科室、年齡及“是否與適齡兒童共同生活”、“是否主動了解”和崗位與疫苗及安全接種態(tài)度不同有關（Z/H=13.784、11.673、-4.054、14.656、-2.010、-2.447和 7.919；P 均＜0.05）。Logistic回歸分析顯示，醫(yī)務人員月收入和科室是疫苗及安全接種態(tài)度的影響因素。見表4。

學生操作時，教師巡視并提醒：能否挑戰(zhàn)一下自己，不要總畫大家一眼就看明白的簡單的直角三角形。之后學生展示交流。

生1：在講之前，我先補上兩條輔助線，這個三角形ABF是這個張紙的一半，450 平方

厘米。（如圖7中第一個圖形）

生2：這個三角形BDE雖然和前一個形狀不一樣，但面積是一樣的，只是它的底變成它的高，它的高變成它的底，換來換去，實質(zhì)不變。（如圖7中第二個圖形）

（圖7）

師：還有同學有不一樣的三角形嗎？

生：這個三角形BDF的面積是小長方形ABCD面積的，150 平方厘米。我是這樣想的，連接CF，我們發(fā)現(xiàn)CF和BD互相平行，平行線之間的距離處處相等，也就是三角形BDF和三角形BCD同底等高，所以它的面積是150 平方厘米。（如圖8中第一個圖形）

師：輔助線起到立竿見影的作用了，我們再來看看這個同學的三角形。（如圖8 中第二個圖形）

（圖8）

生：三角形AEG和三角形EGC等底等高，所以看似窄窄的三角形，實際上也是小長方形面積的一半。

小結(jié)：同學們真不錯！活學活用，平行線的知識在這兒起作用了！眼睛不要眨，我會讓你們剛才的推理盡情地顯現(xiàn)出來，（幾何畫板演示）瞧！點在線上平移，面就發(fā)生了變化，什么沒變？（高）

師：會看的人既能看到三角形，又能看到這個三角形隱形的樣子，還能看到三角形與它所在的圖形之間的關系。

師：老師還想了解一下，你們沒上這節(jié)課之前是怎么求它面積的呢？

生：用大面積減去幾個空白三角形的面積。

師：一個一個減？看來有些時候過程復雜，思考起來卻很簡單；有些時候過程簡單，思考起來卻很復雜。抓住變與不變就能讓復雜的思路簡單地呈現(xiàn)出來?。ò鍟簭碗s 簡單）此環(huán)節(jié)問題開始升級，讓學生在張A4

紙中設計各種不同形狀的三角形，組合圖形中連接三角形，實質(zhì)上是讓學生的思維呈現(xiàn)在他們的設計中，這樣的問題是具有挑戰(zhàn)性、開放性的。此時，可以“等積變形”的圖形呼之欲出，但有些學生能畫出來，卻看不出其中的門道，教師讓學生在作業(yè)紙上添加輔助線，讓學生一起想象移動三角形頂點，形在變，平行線之間的高的長度依然不變。這時，有少部分學生依然難以在直覺上充分感知，教師借助幾何畫板讓他們再次感受“等積變形”的動態(tài)變化，推動他們的想象變得形象、可感，使他們真正領會了變與不變，對所學知識、方法也有了提升和創(chuàng)新，思維不斷向縱深挺進。

3.組合圖形。

師：老師在A4 紙上畫出了這幅圖（如圖9中第一個圖形），告訴我，你看到了什么？你能求出陰影部分的面積嗎？

生：我看到四個三角形，但不知道底和高。

師：我看到的是這樣的!(動畫四步演示如圖9第二～四個圖形）

（圖9）

生：太奇妙了！一個四邊形竟然變變變，變成了面積相等的三角形。

師：是什么起了作用？

生1：等底等高。

生2：能在變中找不變。

師：老師希望，今天這節(jié)課留給大家印象最深的，不是“等底等高”，不是求三角形面積，也不是A4紙的一半，更多是思考“為什么我看不到的，他卻能看得到；我想不到的，他卻能想到；我做不到的，他卻能做到”。答案就在這里——

播放視頻“換個角度看世界——1分鐘”。

師：法國雕塑藝術家羅丹說，換個角度看問題，生命就會展現(xiàn)出另一種美。此時，朱老師想說，從不同角度思考問題，數(shù)學就會展現(xiàn)出獨特的魅力。

課尾，筆者設計了四個三角形組成的四邊形，這個圖形的多次變形給學生的視覺以強大的沖擊，看起來4 個不知底與高、無從下手求面積的三角形，竟然變魔術一樣變成了一個直角三角形（即A4紙的），學生直呼神奇。信息技術應用到課堂實踐中，能讓數(shù)學知識以綜合化的形式呈現(xiàn)出來，集萬千特色于一身，繼而形成對學生多重感官的刺激，幫助學生建立空間與圖形觀念，在提升知識傳遞和內(nèi)化效率的同時達成培養(yǎng)興趣、啟迪思維的核心素養(yǎng)培育目標，課堂的寬度和廣度也得到了很好的提升。